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1、第3章 方差分析,方差分析是两个母体参数假设检验的推广，它是根据来自多个母体的样本，来检验它们所属的母体是否为同一母体的问题。 对于抽样所得的数据，一方面由于观测条件不同而引起的试验结果的差异，称为条件误差（或系统误差）；另一方面，由于各种偶然因素的干扰对试验结果的影响所产生的差异，称为随机误差（偶然性的）。 目的：确定各因素作用的大小，从而把条件误差与随机误差用数量的形式区别开来，以确定在某项试验中有否系统性因素起作用。,3.1 单因素方差分析,一、基本概念 One-Way Analysis of Variance（单因素方差分析，或称一元方差分析）过程用于检验多个独立样本是否来自于具有相同

2、均值的正态总体，相当于检验假设： H0：u1= u2= un= u 目的：用于检验两个或两个以上样本均数间差别有无统计意义。,单因素方差分析只分析一个因素对指标影响是否显著，假设在试验中某因素A可能影响试验结果，现在在A的t个不同水平下观测到如下表中的数据。 每一水平下的数据叫做同一组数据。当对同一水平Ai下进行ni次试验，由于试验中存在随机误差，其结果可能都不一样。,二、样本均数间差别的原因(变异的来源)： 1、总变异：全部试验数据大小不等。用观察值与总均数的离均差平方和sum of squares of deviations from mean表示，记为SS总，或l总; 总的自由度总N1

3、2、组间变异：各处理组的样本均数大小不一，用各组均数与总均数的离均差平方和表示，记为SS组间或l组间。 组间自由度 组间k-1。MS组间l组间/ 组间 组间变异反映的是处理因素的作用，同时也包括随机误差。 均方：mean square, MS,3、组内变异：各处理组内部观察值大小不等，用各处理组内部每个观察值与组均数的离均差平方各表示，记为l组内。 组内(n1-1)+(nk-1)=N-k MS组内l组内/ 组内 组内变异反映的观察值的随机误差，如个体差异和随机测量误差。,4、三种变异的关系 l总l组间l组内,总N1(k-1)+(N-k)= 组间组内,4、三种变异的关系 l总l组间l组内,三、方

4、差分析的基本思想： 总变异可分解为组间变异和组内变异两个部分，相应的总自由度也分解为组间自由度和组内自由度。 如果各样本均数来自同一总体，即各组之间无差别，则组间变异和组内变异均只反映随机误差，这时若计算组间均方与组内均方的比值，FMS组间/MS组内，应接近1。 反之，若各样本均数不是来自同一总体，组间变异较大，F值将明显大于1。 要大到多大程度才有统计学意义？,这个程度就是与随机误差而言。即以随机误差进行衡量，若处理组间的变异明显大于组内变异，则不能认为组间的变异仅反映随机误差，也就是说处理因素有作用。 R. A. Fisher于20世纪20年代推导出在无效假设成立的情况下，统计量F的分布规

5、律。1934年G. W. Snedecor以Fisher的名字命名了这一分布，称F分布，故ANOVA又称F检验。F(组间，组内)查表,基本思想： 根据资料变异的不同来源，将全部观察值总的离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分， 除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用(或某几个因素的交互作用)加以解释， 如各组均数间的变异SS组间，可由处理因素的作用加以解释，通过比较不同变异来源的均方，用F分布作出统计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。,注意： 1、ANOVA与试验设计类型联系在一起，并非任何变异都有适当的分解。 2、数据要求： 各次观察独立，即任何两个观察值间均不相关 ；

6、每一水平下的观察值xij分别服从总体均数为ij的正态分布； 各总体的方差相等，即方差齐性homogeneity of variance.(任何观察值都是独立地来自具有等方差的正态总体)。,例：设有5块砂岩标本，其胶结物都是碳酸盐，现欲确定此5块标本中的碳酸盐含量是否相等。为此，可将每块标本碎成6份，并测定每份的碳酸盐含量百分比，得到下表数据：,求解步骤： 在本例中因素A的不同水平即为不同的标本，因而t=5，每组的观测次数ni(i=1,2,5)均为6，故总数为30。 1、建立检验假设和确定检验水准： H0：5块标本中的碳酸盐含量的总体均数相等， 即 1 2 3 = 4 = 5 H1： 5块标本中的碳酸盐含量量的总体均数不全相等 0.05 2、计算检验统计量F值，如下表：,成组设计方差分析计算表,按方差分析表计