6统计第六课.ppt

1、玻色、费米统计及其应用,利用同样的思路（玻尔兹曼统计的推导过程），我们的到了遵从玻色和费米分布的（量子）系统的（热力学）统计公式，如：系统的平均粒子数目、内能、物态方程、熵、巨热力势等。据此可以得到系统平衡状态下的性质。,根据上述统计公式，我们对弱兼并的量子系统进行了讨论，看到了统计特性的影响；对于玻色系统，讨论了玻色爱因斯坦凝聚现象；对于固体，讨论了热容量模型。对于费米系统，讨论了接触电动势的产生。,这些讨论的基础在于对（近独立系统的）粒子的能级和兼并度的假设和计算。,玻色、费米统计的热力学公式：,费米统计的应用：金属中的自由电子气,原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属中自由运动。失

2、去价电子后的原子变成离子。由于离子空间排列的周期性，离子在金属中产生一个周期势场。电子在周期势场中运动。为了简单，采用自由电子模型，把价电子看作是在恒定的势阱中的自由电子，形成自由电子气。根据费米分布，在温度为T时，处在一个能量为的量子态上的平均电子数目为：,考虑到电子的自旋，在体积V内，能量从到 d 范围内的电子的量子态数目为：,我们使用了能量准连续近似。,费米统计的应用：金属中的自由电子气,在体积V内，能量从到 d 范围内的平均电子数目为,在给定电子数目N，温度T和体积V时，化学势由下式计算：,所以化学势是温度T和电子密度n=N/V的函数。,费米统计的应用：金属中的自由电子气,现在讨论温度

3、T0K时的情况。,在T0K时，能量小于化学势的能级都被占据了；能量高于化学势的能级都空着。根据泡里不相容原理，化学势是0K时电子的最大能量。,费米统计的应用：金属中的自由电子气,所以，T0K时的化学势(0)可以由下式得到：,0K时电子的最大动量，称为费米动量:0K时电子气的内能为：,0K时电子的平均能量为3(0)/5。,现在对0K时的化学势 （0）作一个估计。以Cu为例，N/V=8.5 1023 m-3， (0)=1.1 10-18 J。定义费米温度： 得到Cu的费米温度TF为7.8104K。在一般温度下金属中自由电子气的化学势与0K时近似相等,化学势也被称为费米能级。由于 kT，e0K时有：

4、,温度不为零时，在与相差kT量级的范围内分布函数发生了变化。热激发将电子激发到能量稍高一些的能级上。,费米统计的应用：金属中的自由电子气,从图中看出，温度T下，同0K时相比，只有在费米能级附近的分布发生了改变。所以：只有费米能级附近的电子对热容量有贡献。,粗略估计以下。假设对热容量有贡献的电子数目为：,利用能量均分定理，金属中自由电子对热容量的贡献为,室温范围内，T/TF1/260，所以，电子的贡献很小，可忽略,费米统计的应用：金属中的自由电子气,对自由电子气体的热容量进行定量计算。化学势由右式决定：,求出化学势后，可以利用右式计算系统的内能：,对于粒子数和内能分别为：,这两个积分式子可以写成

5、：,费米统计的应用：金属中的自由电子气,定义：,令：,可以证明：,有：,费米统计的应用：金属中的自由电子气,当T0K时，,利用kT/(0)代替 kT/，有：,系统的内能近似为：,热容量近似为：,与前面的粗略估计为相比，两者相差一个系数。,费米统计的应用：金属中的自由电子气,由于费米温度很高，在常温下电子对热容量的贡献可以忽略不计。但是当温度很低时，由于离子振动的贡献按照T3衰减，电子热容量就不能再忽略不计。低温下离子和电子的运动对热容量的贡献可以从德拜模型和上述公式分别计算。,以Cu为例，D345 K，所以离子的运动对热容量的贡献为：,以Cu为例，TF7.8 104 K，电子的运动对热容量的贡

6、献为：,费米统计的应用：金属中的自由电子气,以Cu为例，D345K，TF7.8 104 K。,费米统计的应用：金属中的自由电子气,经典统计（能量均分定理）可以给出高温下的热容量数值，但是不能解释热容量随着温度下降而减小的事实。定域的爱因斯坦模型（玻尔兹曼统计）可以定性解释随着温度下降的现象，但是具体趋势不对（下降太快）。德拜模型比爱因斯坦模型进了一步（声子模型，玻色统计），可以定量解释气变化趋势，对于绝缘体正确，但对于金属在3K以下，又不对了。考虑金属中自由电子的贡献后（自由电子气，费米统计），金属在3K以下的热容量规律也可以被解释了。,费米统计的应用：金属中的自由电子气,对于固体热容量的解释

7、有个过程：经典统计的能量均分定理定域的爱因斯坦模型（玻尔兹曼统计） 德拜模型（声子模型，玻色统计） 考虑金属中自由电子的贡献（自由电子气，费米统计）。,费米统计的应用：金属中的自由电子气,现在讨论电子气体的压强。非相对论气体的压强与内能的关系式为：,根据前面的数据可以估计在0K时电子气体的压强为：3.71010 Pa。根据泡里不相容原理，电子填充了能量从0到(0)的状态。这些状态的能量与V-2/3成正比。如果压缩电子气体的体积，则所有电子的能量都要增加。因此压缩电子气体时，外界需要作很大的功。在金属中电子气体的压强被电子与离子间的相互作用力补偿。,费米统计的应用：金属中的自由电子气,费米统计的

8、应用：热电子发射,高温下金属发射电子的现象称为热电子发射。根据前面所讲的，金属中的自由电子可以看成是在一个恒定势阱中的自由粒子。假如势阱的深度为，它等于将基态的电子（能量0）移到金属外需要的最小功。如果将处在费米能级处的电子移出金属外，所需的最小功为： 。W称为功函数。,考虑在常温下，在单位体积内动量在dpxdpydpz范围内的可能状态数目为：,则在此范围内的电子数目为：,单位时间内，碰到单位面积的金属表面上，动量在dpxdpydpz范围内的电子数目为：,将上式改写为：,满足x的电子可以摆脱金属的束缚到达金属外。则发射电流为：,费米统计的应用：热电子发射,在一般情况下，1：,功函数W一般是电子

9、伏特的量级，因此一般在高温下（103 K）才会发生可观的热电子发射。功函数越大，发射需要的温度越高。同样的温度下，功函数小的发射电流大。,费米统计的应用：热电子发射,近独立粒子系统的统计理论,对于由近独立粒子组成的系统，粒子之间仅仅存在着微弱的相互作用。这种相互作用可以忽略。 对于这类系统，可以使用最概然分布的方法处理：玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布。据此，得到相应的热力学函数计算公式，确定系统在平衡时的性质。 基础：粒子的能级和兼并度、等几率原理。,对于粒子之间存在着强的相互作用的系统，粒子之间的相互作用不能被忽略时，应当用系综理论（Ensemble）讨论系统的性质。,系综理论,本课内容,

10、相空间和刘维尔定理,首先说明如何描述系统的微观（力学）运动状态。对于由N个近独立粒子组成的经典系统，假设每个粒子的自由度为r，则可以用N个在由r个广义坐标和r个广义动量组成的空间中的点精确描述。如果粒子间的相互作用不能忽略时，应当把系统看作是一个整体来考虑。在经典情况下，假设N个全同粒子组成的系统，粒子的自由度为r，则系统的自由度为fNr。如果粒子包含多种粒子，则：,Ni是第i中粒子的数目，ri是粒子第i中粒子的自由度。根据经典力学，系统在任一时刻的,运动状态可以用f个广义坐标q1，q2，qf和f个广义动量p1，p2，pf在此时刻的数值确定。如果以这f个广义坐标和f个广义动量为直角坐标构成一个

11、2f维的空间，称为相空间或者空间，则系统在任意时刻的状态可以用该空间中的一个点描述：系统运动状态的代表点。,相空间和刘维尔定理,系统的运动状态随着时间改变，遵从哈密顿正则方程：,其中H是系统的哈密顿量。为了明确起见，我们考虑保守系统，则哈密顿量就是系统的能量，包括粒子的动能、粒子间相互作用能和粒子在保守势场中的势能：是广义坐标和广义动量的函数；有外场时还是外场的函数。,当系统的状态随着时间变化时，代表点相应的在相空间中移动，移动轨道由上式决定。轨道的运动方向由坐标和动量的一阶微分确定，而哈密顿量和它的微商又是单值函数，所以经过相空间任意一点，轨道只能有一条。这样，系统从某一初态出发，代表点在相

12、空间中的轨道是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线。当系统从不同的初态出发，代表点沿着相空间中不同的轨道运动时，不同的轨道也不相交。,相空间和刘维尔定理,由于保守系统的能量E不随着时间改变，所以系统的广义坐标和广义动量必然满足条件：,这实际上确定了相空间中的一个曲面，称为能量曲面。保守系统的运动状态的代表点一定在能量曲面上。,设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态出发，独立的沿着正则方程所规定的轨道运动。这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形成一个分布。,相空间中的一个体积元,表示在时刻t，运动状态在体积元内的代表点数,相空间和刘维尔定理,那么，对整个相空间积分，就得到了设想的系统数

13、目：一个不随着时间的改变而改变的量。,现在考虑代表点密度随着时间的变化。时间从t变化到tdt：,相空间中代表点的运动,则在后一处的密度为：,其中，有：,为什么？,相空间和刘维尔定理,运动状态密度在相空间中是常数。为什么？,考虑一个相空间中的一个固定的体积元，由下面2f对平面为边界组成。,在时刻t，在该体积元内的状态数目为：d。经过时间dt后，有些代表点走出了这个体积元，有些则走进了这个体积元，使得这个体积元内的代表点数目发生了变化。,？,两者相减，得到体积元内代表点的增加数目为：,代表点需要通过这2f对边界平面才能够进入或者走出体积元。现在计算通过平面qi走进体积元内的代表点数目。体积元在平面

14、qi上的边界面积为：,相空间和刘维尔定理,在dt时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以dA为底，以 dt 为高的柱体内。柱体内的代表点为：,同样地，在dt时间内通过平面qidqi走出体积元的粒子数目为：,两者相减得到经过一对平面（qi，qidqi）净进入体积元的代表点数目：,由类似的讨论，可以得到经过一对平面（pi，pidpi）净进入体积元内的代表点数目为：,相空间和刘维尔定理,将前面两个式子相加，再对i进行求和，就得到了在dt时间内由于代表点的运动穿过边界而进入体积元的净增加数目。,根据哈密顿正则方程，有：,相空间和刘维尔定理,所以，有：,上式为刘维尔定理：随着一个代表点在相空间中运动，

15、其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。,相空间和刘维尔定理,将哈密度正则方程带入上式，得到刘维尔定理的另一种形式：,本式对于变换tt保持不变，说明刘维尔定理是可逆的。,如果密度仅仅是哈密顿量H（即能量E）的函数，则上式中右边为零，此时有：,微正则分布：,上面讨论了系统微观（力学）运动状态的描述及其随着时间的变化。统计物理学研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。例如：孤立系统，给定的宏观条件是：体积V，粒子数目N，和能量E（EEdE的范围）。,给定了宏观条件后，系统可能取得的微观状态数目是十分巨大的。不可能肯定系统在某一时刻一定处在或者一定不处在某个微观状态。只能确定系统在某一时刻处在某个微观状

16、态的概率。宏观量是相应的微观量在一切可能满足给定宏观条件的微观状态上的平均值。,在经典理论中，可能的微观运动状态在相空间中构成一个连续分布。以,表示相空间中的一个体积元，在时刻t系统的微观状态处在该体积元内的概率为：,（q，p，t）称为分布函数，满足归一化条件。表示微观状态处在相空间各区域的概率总和为1。,为了形象的表示上式给出的统计平均值，我们设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定的宏观条件下。这大量系统的集合称为系综。显然，在统计系综所包含的大量系统中，在时刻t运动状态处在d内的系统数目将与（q，p，t）成正比。如果在时刻t，从统计系综中任意选取一个系统，这个系统处在d内的概率为：

17、（q，p，t）dt。这样，上式可以看作是微观量B在统计系综上的平均值。,微正则分布：,当微观状态处在体积元d内时，微观量B的数值为B（q，p）。微观量B在一切可能的微观状态上的平均值（宏观量）为：,同样地，在量子理论中，在给定的宏观条件下，系统的微观状态数目也是巨大的。以s1，2，表示系统可能的微观状态，用s（t）表示在时刻t系统处在状态s上的概率，则s（t）为分布函数，满足归一化条件：,如果用Bs表示微观量B在态S上的数值，则微观量B在一切可能的微观状态上的平均值为：,上式中给出了宏观量与微观量之间的关系。要具体的根据上式求出宏观量，必须知道系综的分布函数。因此确定分布函数是系综理论的根本问

18、题。 系综的分布函数与宏观条件有关。下面我们考虑处在平衡态的孤立系统。,微正则分布：,当孤立系统处在热平衡时，它的宏观性质不随时间而改变。因此，上式分布函数中不含时间变量。根据刘维尔定理，如果密度函数只是能量的函数，则不含有时间变量。孤立系统的能量具有确定值，更精确的说，能量E在一个范围内：E到EdE之间。显然，系统不可能处在这个能量范围以外的微观状态上。但是在这个范围内，系统的微观状态数目也是巨大的。这些状态都满足给定的宏观条件，它们应当是平权的。因此，一个合理的假设是：一切可能的微观状态出现的概率都相等（等概率原理）。这也称为微正则分布（N，V，E）。 等概率原理是平衡态条件物理的基本假设

19、。它的正确性由它的推论与实际相符合而得到肯定。,微正则分布：,等概率原理的经典表达式为：,等概率原理的量子表达式为：,式中表示能量在E到EdE之间的微观状态数目。由于这各微观状态出现的几率都相等，所以每一个状态出现的几率为：1/ 。,如果把经典统计理解为量子统计的经典极限，对于含有N个自由度为r的全同粒子的系统，在能量在E到EdE范围内系统的微观状态数目为：,微正则分布：,系统的一个微观状态在相空间中的体积为hNr。,系统的一个微观状态在相空间中的体积为hNr。考虑粒子的全同性，N个粒子交换所产生的N！个相格实际上是一样的。,如果系统中含有不同的粒子，第i种粒子的自由度为ri。粒子数目为Ni，

20、则系统在能量为E到EdE范围内的微观状态数目为：,微正则分布：,微正则分布的热力学公式：,前面引进了在给定N，E，V条件下系统可能的微观状态数目（N，E，V）。下面讨论（N，E，V）与热力学量的关系和微正则分布的热力学公式。,考虑一个孤立系统A（0），它由两个具有微弱相互作用的系统A1（N1，V1，E1）和A2（N2，V2，E2）构成。其对应的微观状态数目为： 1（N1，E1，V1） 2（N2，E2，V2）。这时复合系统A（0）的微观状态数目为：,令A1和A2进行热接触：只能交换能量，不能改变粒子数和体积。则下式成立：,上式说明，对于给定的E（0），（0）取决于E1。或者说，取决于能量在子系A

21、1和A2间的分配。,根据等概率原理，在平衡态下孤立系统一切可能的微观状态出现的概率都相等。假设当E1 时，系统具有状态数目的极大值。这意味着，A1具有能量 ，A2具有能量 E（0） 时，是一种最概然分布。由于其他能量分配出现的概率远远小于最概然分布，所以可以认为此时就是A1和A2达到热平衡时的内能。,下面推导确定 和 的条件。系统微观状态数目取极大值时，有下式成立。利用前面的微观状态数目公式，有：,微正则分布的热力学公式：,上式确定A1和A2达到热平衡时的内能。同时表明，在热平衡时，两个子系的 相等，用表示这个量。,微正则分布的热力学公式：,则热平衡条件为：,在热力学中曾经得到类似结果，两个系统达到热平衡的条件为：,由此可知：应该与1/T成正比，令：,玻尔兹曼公式不仅适用于近独立粒子组成的系统，也适用于粒子间存在相互作用的系统。此时我们没有触