电磁场数学方法-数学物理方程5格林函数.ppt

1、电磁场数学方法,任课教师：陈其科,联系方式：E_mail： 电 话：61830311 总 学 时: 80课时 教 材：梁昆淼，数学物理方程（第四版） 成绩构成：平时20%+半期考试20%+期末考试60%,第二篇 数学物理方程,要想探索自然界的奥秘，就得解微分方程 -牛顿,课程内容,三种方程 四种求解方法 二个特殊函数,行波法 分离变量法 积分变换法 格林函数法,波动方程 热传导 拉普拉斯方程,贝赛尔函数 勒让德函数,第八章 格林函数法,格林（Green）函数，又称为点源影响函数， 是数学物理中的一个重要概念。,格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一,格林函数物理意义： 表征一个点源在一定的边

2、界条件下和初始条件下所产生的场。,格林函数应用： 若能求出某点源所对应的格林函数（场），即可用叠加的方法计算出任意源所产生的场,第八章 格林函数法,一个格林函数应用的实例：,静电荷（点电荷）产生电位分布满足泊松方程：,而在静电场问题中，点源即为点电荷。位于r处的单位点电荷产生的电位分布为：,泊松方程在无界空间的格林函数,则任意分布电荷 在无界空间产生电位,第八章 格林函数法,8.1 点源的表示 8.2 泊松方程的积分解 8.3 格林函数的求解,（一）狄拉克函数,由于Green函数与点源产生的场相关，因此首先讨论点源的密度分布函数的数学表达形式。 以电荷为例：,若为点电荷：,狄拉克函数 具有与点

3、电荷分布相似的性质。,8.1 点源的表示,（一）狄拉克函数,狄拉克函数定义：,主要相关性质：,(1),(2),8.1 点源的表示,狄拉克函数常用于描述能量或质量在空间或时间上高度集中的各种现象，如：质点、点电荷、点光源，脉冲信号等。,(归一性),(选择性),(3),(可导性),(4),(可分离变量性),（一）狄拉克函数,狄拉克函数相关公式：,直角坐标系下：,柱面坐标系下：,球面坐标系下：,一维展开式：,8.1 点源的表示,（一）格林公式,8.2 泊松方程的积分解,设 和 在区域T内有连续二阶导数，在其边界 上有连续的一阶导数。,第一格林公式,第一格林公式：,（一）格林公式,8.2 泊松方程的积

4、分解,设 和 在区域T内有连续二阶导数，在其边界 上有连续的一阶导数。,第一格林公式,第二格林公式：,同理：,相减,第二格林公式,（二）泊松方程的定解问题表示,8.2 泊松方程的积分解,根据边界条件的给定方式，边界条件可分为三类：,第一类边界条件：,第二类边界条件：,第三类边界条件：,（1),边界条件一般形式,（三）利用格林函数法求解泊松方程,8.2 泊松方程的积分解,设在区域D中某点 处存在一电量为 的点电荷，其产生的场满足泊松方程，由 格林函数的定义，有,（2),（1),求,第二格林公式,左边=,（三）利用格林函数法求解泊松方程,8.2 泊松方程的积分解,若通过（2）式求出格林函数 ，并根

5、据原问题边界条件确定格林函数满足的边界条件，则可由上式求解出点 处的场的解。,边界条件给定,泛定方程给定,泊松方程积分解,8.2 泊松方程的积分解,1、第一类边值问题时的泊松方程解,（1),由于格林函数是引入的待确定函数，已知条件并未对其进行限定。我们可设定其边界条件为 ，则,其中：,第一类边值问题格林函数,（三）利用格林函数法求解泊松方程,8.2 泊松方程的积分解,3、第三类边值问题的泊松方程解,（3),令格林函数满足边界条件,（4),其中：,第三类边值问题格林函数,（三）利用格林函数法求解泊松方程,8.2 泊松方程的积分解,2、第二类边值问题的泊松方程解,（1),令格林函数满足边界条件,其

6、中：,第二类边值问题格林函数？,（三）利用格林函数法求解泊松方程,无解,8.2 泊松方程的积分解,2、第二类边值问题的泊松方程解,引入推广的格林函数,推广的第二类边值问题格林函数,（三）利用格林函数法求解泊松方程,（一）无界空间的格林函数 基本解,8.3 格林函数的求解,确定了格林函数G，即可得泊松方程边值问题的解。而格林函数求解比直接求解边值问题简单。,无界空间的格林函数，称为方程的基本解G0。,格林函数基本解的应用：,+,令,齐次方程，易解,格林函数基本解,非齐次方程(直接求解困难),（一）无界空间的格林函数 基本解,8.3 格林函数的求解,1、三维泊松方程的基本解,将方程在球坐标系下展开

7、,当点电荷位于坐标原点( )，则,又因为,电量为 的点电荷在无界空间中产生的电位满足方程,（一）无界空间的格林函数 基本解,8.3 格林函数的求解,当点电荷不在坐标原点时( ),三维格林函数的基本解,1、三维泊松方程的基本解,(点电荷在坐标原点),仅当点电荷电量 时成立，即：,注意：格林函数基本解为,（一）无界空间的格林函数 基本解,8.3 格林函数的求解,1、三维泊松方程的基本解,当电荷电量 时，基本解应根据电量乘以比例系数。例如：若电荷电量 ，则对应的格林函数基本解为,（二）无界空间的格林函数 基本解,8.3 格林函数的求解,2、二维泊松方程的基本解,当点电荷位于坐标原点( )，则,电量为

8、 的点电荷在无界平面中产生的电位(格林函数基本解)满足方程,将方程在极坐标系下展开,又因为,（一）无界空间的格林函数 基本解,8.3 格林函数的求解,当点电荷不在坐标原点时( ),二维格林函数的基本解,注：当电荷电量不为 时，则该基本解应根据实际电荷电量按比例乘以系数。,2、二维泊松方程的基本解,点电荷在坐标原点,（二）利用电像法求格林函数,8.3 格林函数的求解,1、接地导体球问题的格林函数,由电像法：接地导体球的镜像电荷电量q及位置d,由电像法：感应电荷可由镜像电荷等效，则球外空间的电位(格林函数)可由点电荷q与镜像电荷q产生的电位求得。,问题：求解点电荷q位于接地导体球外时的格林函数。,

9、分析：电荷q将在导体面上激励器非均匀分布的感应电荷，球外电位应为点电荷与感应电荷共同产生。,（二）利用电像法求格林函数,8.3 格林函数的求解,1、接地导体球问题的格林函数,q(r0),P,a,q(r0),r,R,R,若原电荷电量为 ，位于r0点,则球外任一点的总电势(格林函数)由点电荷与镜像电荷电位叠加，为,则像电荷,（二）利用电像法求格林函数,8.3 格林函数的求解,2、半空间的三维格林函数(导体分界面),接地导体平面的镜像电荷电量q及位置d,若原电荷电量为 ，位于h处,像电荷,则上半空间任一点的总电势(格林函数)为,（二）利用电像法求格林函数,8.3 格林函数的求解,3、半空间的二维格林

10、函数(导体分界面),接地导体平面的镜像线电荷电量 及位置h,若原线电荷密度为 ，位于h处,像电荷,则上半空间任一点的总电势(格林函数)为,（三）格林函数的应用,8.3 格林函数的求解,1、求解无界空间达朗贝尔方程定解问题,相应的 格林函数,(1),(2),对(1)(2)式做以下处理：,8.3 格林函数的求解,0,无 界,由格林函数基本解，知,当点源位于坐标原点时，,表示反射波（舍去),（三）格林函数的应用,8.3 格林函数的求解,以点源为中心，取一半径a0的小球体，并对方程体积分,(a0),（三）格林函数的应用,8.3 格林函数的求解,(a0),当点源位于 时，,则无界空间中达朗贝尔方程的解为

11、,（三）格林函数的应用,这相当于在点 放置着电量为 的点电荷时，求接地导体平面 上方的电势。这由电像法求得。,例 在半空间 内求解三维拉普拉斯方程边值问题,解: 本问题为拉普拉斯方程的第一类边值问题。通过先求第一类边值问题的Green函数，则可用积分解公式求解u。,8.3 格林函数的求解,由前面的讨论可知，第一类边值问题三维格林函数为：,（三）格林函数的应用,8.3 格林函数的求解,由电像法，可知上半空间任一点 的电位(即格林函数),由泊松方程积分解可知，第一类边值问题解为,0,（三）格林函数的应用,（续上例）,8.3 格林函数的求解,做变量代换，即 ，上式变为,（三）格林函数的应用,这相当于在 放置着电荷密度为为 的无限长线电荷时，求接地导体平面 上方的电势。这由电像法求得。,例 在半平面 内求解二维拉普拉斯方程边值问题,解: 本问题为拉普拉斯方程的第一类边值问题。通过先求第一类边值问题的Green函数，则可用积分解公式求解u。,8.3 格林函数的求解,由前面的讨论可知，第一类边值问题二维格林函数为：,（三）格林函数的应用,8.