阅读与思考函数概念的发展历程.pptx

1、函数概念,人教A版必修一 函数概念的发展历程,1.早期函数概念几何观念下的函数,2、十八世纪函数概念 代数观念下的函数,3.十九世纪函数概念 对应关系下的函数,4.现代函数概念 集合论下的函数,1.早期函数概念几何观念下的函数,十七世纪伽俐略在两门新科学一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。,伽俐略G.Galileo， 1564-1642 意大利数学家,1.早期函数概念几何观念下的函数,1643年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，大部分函数是被当作曲线来研究的。,笛卡尔Descar

2、tes 1596-1650 法国数学家,凄美的爱情故事百岁山广告背后的真相,1650年在斯德哥尔摩街头，52岁的笛卡尔落魄无比，穷困潦倒又不愿意请求别人的施舍，每天只是拿着破笔破纸研究数学题。,1650年发生在斯德哥尔摩街头发生的一件事，52岁的笛卡尔邂逅了18岁瑞典公主克莉丝汀，,道别后的几天笛卡尔收到通知，国王要求他做克莉丝汀公主的数学老师。,其后几年中相差34岁的笛卡尔和克莉丝汀相爱 国王发现并处死了笛卡尔 在最后笛卡尔写给克莉丝汀的情书中出现了r=a（1-sin）的数学坐标方程，解出来是个心形图案，就是著名的“心形线”，这封情书最后被收录到欧洲笛卡尔博物馆中。,笛卡尔的心形曲线,r=a

3、(1-sin)。一封情书 与公主的爱情故事,当=0度时，A点 当=90度时，B点 当=180度时，C点 当=270度时，D点 把A，B，C，D四点用弧线连接起来形成的线就是有名的心脏线,莱布尼兹 GWLeibniz 16461716 德国数学家,1673年，莱布尼兹首次使用“function”(函数)表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。,1.早期函数概念几何观念下的函数,约翰伯努利 （Bernoulli Johan） 1667-1748 瑞士数学家,函数概念,2、十八世纪函数概念

4、代数观念下的函数,1718年约翰柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。” 强调函数要用公式来表示。,欧拉 LEuler 17071783 瑞士数学家,函数概念,2、十八世纪函数概念 代数观念下的函数,18世纪中叶欧拉给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。” 欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。,欧拉的故事,小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。其实，天上的星星数不清，是无限的。这个老师不懂装懂，回答欧拉说:“天上有多少颗星星，这无关紧要，只要

5、知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”欧拉感到很奇怪:“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到天幕上的呢?上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢?上帝会不会太粗心了呢?”老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。 在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，小欧拉没有与教会和上帝“保持一致”，学校便开除了他。但是，在小欧拉心中，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住?他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。,函数概念,3.十九世纪函数概念 对应关系下的函数,182

6、1年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。,柯西 Cauchy 1789-1857 法国科学家,在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西。 这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西的做出了一些成就的，他. 他的著作多达28卷 承包了那个时期的数学公式的前缀. 他开创了积分几何，首先证明了阶数超过了的矩

7、阵有特征值，成功地建立了极限论，首先阐明了有关定积分的概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题等等等等这位鼎鼎有名的数学大家就是.柯西。,他以前的绰号都很奇怪，一个是“苦瓜”，一个是“脑筋劈哩啪啦叫的人”(意思就是神经病) 苦瓜从上面的表情包上可以看出一些端倪小时候的柯西长得可太严肃了。他平常像一颗植物一样，静静啥也不说。如果说了什么，也就是很简短的那种，正常智商的人基本都无法理解他在说什么. 想也知道，和这种大佬沟通，随时都会感受到智商受辱的。于是小伙伴们都叫他“苦瓜”了。 （实际上叫苦瓜一定是因为周围的人还是爱他的） 至于“脑筋劈哩啪啦叫的人”，是因为当时法国正在流行社会哲学，但是柯西闲着

8、没事的时候看的课外书是拉格朗日数学全集、效法基督这种画风的. 而且当时他学的还是工科的道路规划，所以会被这么叫，也不奇怪了.,函数概念,3.十九世纪函数概念 对应关系下的函数,1822年傅里叶发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。,傅里叶 Fourier 1768-1830 法国数学家,傅里叶与拿破仑,拿破仑，是少数几个对军人与科学家持同等狂热兴趣的人。很多科学界的著名人物都受到拿破仑的重用并授予荣誉。 1802年傅立叶，他被拿破仑任命为格勒诺布尔市的行政长官，1809年傅立叶被拿破

9、仑授予帝国贵族头衔，可以说拿破仑对傅立叶可是非常非常的器重，一定程度上甚至可以说是拿破仑成就了傅立叶。稍后发生的事情我非常佩服拿破仑。 一八一四年拿破仑战败，被送到地中海的厄尔巴岛，而傅立叶投靠了法国新的董事长兼总经理路易十八同志。后来拿破仑逃离厄尔巴岛回到法国，傅立叶却公开反对拿破仑，傅立叶到里昂，请当地指挥官反抗拿破仑，傅立叶立刻被捕；如果要是按照本国的“可以犯罪，不能犯错”的政治红宝书，傅立叶同志可是犯了严重的路线错误，后果肯定是“死啦死啦的”。但是，当傅立叶身铐铁链被带到拿破仑面前，拿破仑斥责了傅立叶的不忠行为，却仍然任命傅立叶为里昂的行政长官。,狄利克雷 P.G.L.Dirichle

10、t 18051859 德国数学家,函数概念,3.十九世纪函数概念 对应关系下的函数,1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。,狄利克雷的轶事,狄利克雷不善于社交是出了名的。他妻子出自于音乐世家，才气横溢，同时又是一位漂亮的社交家。妻子经常邀请一些朋友到家里来，使得一向不善实际应酬的狄利克雷深感困扰。据说，到最后，一有客人来，他就干脆把自己锁在书房里，不愿出来见

11、人。此外，狄利克雷笔下功夫的差劲也是人所熟知的。据说，连他最亲近的朋友也不曾收过他的信。然而，有一次，狄利克雷碰到不得不写信的情况了，因为妻子生了个小娃娃，他必须将此事转告给在外国的双亲。这又累坏了狄利克雷，他只好硬着头皮提笔写信，然而，他只写了三个数字：“2+1=3”。,函数概念,3.十九世纪函数概念 对应关系下的函数,康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。,康托尔(18451918)，生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商

12、家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。 由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在18741876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。

13、,康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。 真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。 。,函数概念,4.现代函数概念 集合论下

14、的函数,1914年豪斯道夫在集合论纲要中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。,费利克斯豪斯道夫 Felix Hausdorff 18681942 德国数学家,李善兰 18111882 清朝数学家,在1859年和英国传教士伟烈亚力和译的代微积拾积中首次将“function”译做“函数”,李善兰，原名李芳兰，字竞芳。他出生于1811年1月22日，浙江海宁人。李善兰出生于清代时期，他的家庭情况很好，从小他就在私塾读书，受到了良好的教育，而且他从小就天赋惊人，过目

15、不忘，熟读诗词。那么李善兰在9岁的时候，在父亲的书房中读书，偶然发现了书架上的一本书，也就是著名的九章算数，所以他就抱着对这本书的好奇，而看完了此书。也就是从这时候起，他迷上了数学。李善兰在他14岁时，又学习了欧几里得几何原本，也因此，他开始了数学知识的研究。,之后，在中国爆发了鸦片战争，激发了李善兰强烈的爱国主义，所以李善兰决定刻苦钻研，好好学习数学知识，用数学知识来发展我们中国的石器行业，从此，李善兰呆在家乡开始苦练并且钻研数学知识。之后，李善兰经常和一些有名的数学研究者讨论数学知识，并且他在浙江嘉兴还设立了数学研究所，还给很多人教学，也因此，李善兰的数学也更上了一层楼。在此期间，李善兰书写了很多关于数学知识的读本，其中最著名的有对数探源、方圆阐幽、弧矢启秘、四元解等，这些文本对当时的数学发展造成了非常大的影响，也为中国后来的数学发展起到了至关重要的作用。,函数概念,4.现代函数概念 集合论下的函数,1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)