系统数学模型.ppt

1、自动控制原理第2章系统数学模型，信息控制专业的重要基础课程之一，第2章控制系统数学模型，2-1导论2-2微分方程(时域模型)2-3传递函数(复域模型)2-4结构图和信号流程图(图形描述)2-5小结，2-1导论，1。数学模型的概念描述了系统2的内部变量之间的关系的表达。数学模型的研究意义可以比定性分析更加精确，系统的性能可以从理论上进行定量分析和计算。许多控制系统，在表面上似乎没有共同之处，可能有完全相同的运动定律，可以用运动方程来表示。用模型分析一类系统。3.数学模型类型静态模型：静态条件下变量之间的关系动态模型：描述变量导数之间关系的微分方程4。数学模型的建立方法分析方法(白盒模型)分析系统

2、各部分的运动机理，并根据物理和化学定律列出相应的运动方程。例如，基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等实验方法(黑箱模型)人为地将某个测试信号应用到系统中，记录其响应，并用合适的数学模型近似，形成了一门独立的学科：系统辨识、综合方法(灰箱模型)，但实际上，一些系统仍然知道它的一部分，这可以与工程实验方法一起使用，以更准确、更方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往非常复杂。一般来说，可以忽略一些影响较小的因素进行简化，但在简化和准确性之间存在矛盾。不应过于简化而使数学模型不准确，也不应过于精确而使系统的数学模型过于复杂。数学模型形式时域(t):微分方程复域(s):传递函数频域(w):

3、频率特性，2-2控制系统时域模型，1。微分方程的建立例1 RLC电路如下图所示，分析了输入电压ur(t)作用下电容器上电压uc(t)的变化。根据电学中的基尔霍夫定律，通过公式(2)两边的推导，消除中间变量i(t)，建立以下机械平移系统的数学模型例2，求出物体在外力F(t)作用下的运动轨迹。首先，确定输入F(t)和输出x(t)。其次，根据牛顿第二定律、k、F(t)、x(t)位移、阻尼系数F、阻尼器、弹簧、m、F2是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，其大小与运动速度成正比；f是阻尼系数。机械翻译系统的微分方程是：注：写微分方程时，常把输出写在方程的左边，把输入写在方程的右边，微分次数由高到低排

4、列。这两个方程非常相似，所以电子电路可以用来模拟机械平移系统，这也证明了前面提到的看似完全不同的系统具有相同的运动规律，可以用相同的数学模型来描述。讨论：微分方程是控制系统最基本的数学模型。为了研究系统的运动，有必要列出系统的微分方程。编制微分方程的基本步骤如下：1)确定系统的输入和输出；2)将系统分成几个环节，从输入端开始，按照信号传输的顺序，按照每个变量遵循的物理定律，列出每个环节的线性化原始方程。3)去掉中间变量，写一个只包含输入和输出变量的微分方程，并将其转化为标准形式(与输入量相关的项写在方程的右端，与输出量相关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项按幂次递减排列)。例3求电枢控制

5、DC电机的微分方程。电枢电压ua(t)作为输入，电机速度m(t)作为注：电能转化为机械能，输入电枢电压ua在电枢电路中产生电枢电流ia，电流ia与励磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm，驱动负载移动。(1)根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡方程为，Ce为反电动势系数，其中为转矩系数，(2)电磁转矩Mm与电枢电流成正比，(3)电机轴上的转矩平衡方程为，Jm:电机的转动惯量和转换到电机轴上的负载；fm:电机的粘滞摩擦系数和负载转换成电机轴、电枢电路的电压关系，电能和机械能的转换，机械能的转矩平衡，所以电机的运动方程是，电机的时间常数，电机的传动系数，通常La很小，可以忽略不计，2。线性系统的性质，1)

6、定义如果系统的数学模型是线性微分方程，2)性质：满足叠加原理。假设元件的输入为r(t)、r1(t)和r2(t)，相应的输出为c(t)、c1(t)和c2(t)。如果r(t)=r1(t) r2(t)，C (t)=C(t)=ac1(t)，则线性元素是那些满足同质性、叠加性和同质性的元素。21，例如，一个二阶模型可以表示为分别满足上述方程，也就是说，如果系统是线性的，那么下面的点也满足方程，22，代入下面的方程，满足叠加原理和均匀性，所以它是线性的，3)叠加表明，如果你想得到系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，你只需要分别找到这些外部作用的响应，然后把它们加起来就是总响应。同质性表明，当外

7、部作用的价值增加数倍时，其反应的价值也增加数倍。这样，我们可以使用单位典型的外部动作(单位阶跃、单位脉冲、单位斜率等)。)来分析系统并简化问题。3.为了求解线性定常微分方程，用拉普拉斯变换法和拉普拉斯变换法求解线性定常微分方程的过程可以概括为：1)考虑初始条件，对微分方程中的每个项进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为变量S的代数方程；2)通过代数方程得到输出拉普拉斯变换函数的表达式；3)对输出的拉普拉斯变换函数进行逆变换，得到输出的时域表达式，即微分方程的解。影响系统响应的因素(1)输入ur(t) -指定r(t)=1(t) (2)初始条件-指定0初始条件，在t=0之前，系统的输入和输出及其导数都

8、是0 (3)系统的结构参数-它们自身的特性决定了系统的性能，4)非线性系统的系统性能参数如电阻、电容和电感都与周围环境(温度、湿度、压力等)有关。)和流过它们的电流，它们不是很高。3)线性化方法难以求解非线性微分方程，在一定条件下可以近似转化为线性微分方程，大大简化了系统动态特性的分析，具有很大的现实意义。方法1:忽略弱非线性环节。如果元件的非线性因素很弱或不在系统的线性工作范围内，它们对系统的影响很小。方法2:偏微分法(小偏差法、切线法、增量线性化法)假设在控制系统的整个调节过程中，各部件的输入和输出在平衡点附近仅略有变化，并且该区域是线性的。符合许多控制系统的实际工作条件。如果A(x0，y

9、0)是平衡点，并且函数在平衡点处是连续可微的，那么它将在平衡点附近扩展成泰勒级数，忽略不止二次项，并且得到非线性元件的线性化数学模型，其中5。运动模态，数学上，线性微分方程的解由齐次微分方程的特解和通解组成。一般解由代表自由运动的微分方程的特征根决定。运动的模态(模态)由微分方程描述，复域2-2数学模型：传递函数，时域数学模型：微分方程的优点：直观，易于分析系统响应缺点：当结构改变或参数改变时，微分方程必须重写。系统地分析和设计复杂领域的数学模型是不方便的：传递函数经典控制理论中最基本和最重要的概念：拉普拉斯变换(拉普拉斯变换)，1。拉普拉斯变换的定义。如果函数f(t)是在t=0且积分存在时定

10、义的，那么F(s)就是f(t)的拉普拉斯变换。F(t)被称为F(s)的拉普拉斯逆变换，2。常用函数的拉普拉斯变换(1)阶跃函数f(t)=A1(t)的拉普拉斯变换。单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉普拉斯变换为。(2)求单位脉冲函数f(t)=(t)的拉普拉斯变换。(3)找出指数函数f(t)=的一些重要的拉普拉斯变换。3.拉普拉斯变换的基本性质(1)线性性质(2)微分性质。如果是，当t=0时，f(0)是原始函数f(t)的初始值。(3)积分性质公式是t=0时的积分值。f(t)二重积分的拉普拉斯变换是，如果原始函数f(t)及其重积分的初始值等于0，(4)原始函数的最终值等于其镜像函数的初始值乘以s。注

11、：如果时间f(t)极限不存在，则不能使用最终值定理。对于正弦函数和余弦函数，不能应用终值定理。(5)初值定理：(6)位移定理：实位移定理，复位移定理，(7)时间标度定理当原始函数在时间上收缩(或加宽)几次时，图像函数及其自变量都增加(或减少)相同的倍数。即：(8)卷积定理两个原函数卷积的拉普拉斯变换等于两个镜像函数的乘积。4。拉普拉斯逆变换1)定义：从图像函数F(s)中寻找原始函数f(t)的操作称为拉普拉斯逆变换。其中c是一个实常数，大于F(s)所有极点的实部。根据上面的公式找到原始函数太复杂了。一般来说，拉普拉斯逆变换是通过拉普拉斯变换表找到的，但是F(s)必须是可以直接找到的原始函数的一种

12、形式。如果F(s)不能直接在表中找到原始函数，有必要将F(s)展开成一些部分分数的和，这些部分分数的拉普拉斯变换可以在表中找到。例：的逆变换。解决方案：例如。2)。拉逆变换的部分分数展开的解有不同的极点。这时，F(s)总是可以展开成下面简单的部分分数之和。例1图中所示为RC电路，微分方程为：例如，零初始条件下的拉普拉斯变换为：1。传递函数定义，定义传递函数描述系统的固有特性。它只取决于系统本身的结构参数，与输入信号等外部因素无关。51，用下面的n阶线性常微分方程描述线性时不变系统：其中c(t)是系统输出，r(t)是系统输入，ai和bj是与系统结构和参数有关的常数系数，当t=0时，r(t)、c(

13、t)和它们的各阶系数都为零，即零初始条件，然后分别计算上述公式中的每一项。传递函数的性质，性质1。传递函数是复变函数的有理真分式函数，它具有复变函数的所有性质。传递函数在物理上是可实现的，它不满足因果关系，在物理上是不可实现的。55.财产2。G(s)取决于系统或部件的结构和参数，与输入量的形式(振幅和大小)无关。G(s)仅描述输出和输入之间的关系，并不反映系统的任何物理结构。因此，许多不同的物理系统具有相同的传递函数，它只代表系统的输入输出关系，而不反映系统内部的任何信息。56.财产3。传递函数和微分方程之间有关系。如果传递函数，微分方程，微分算子，注意：零初始条件！57，物业4。传递函数的拉

14、普拉斯逆变换是脉冲响应。脉冲响应(脉冲转换函数)g(t)是输入单位脉冲时系统的输出响应。2.传递函数的零点和极点是传递系数或根轨迹增益，前1形式，零极点增益形式，根轨迹形式，传递函数的表达式形式，以及传递函数的零点传递系数(增益)，返回，尾部1形式，因式分解，时间常数形式，典型链接形式，每个项目提取一个，每个项目提取一个，传递函数的第二个表达式形式，3。传递函数的零点和极点对输出的影响(1)传递函数的极点可以被输入函数激发，在输出响应中形成自由运动模式。现在，由于传递函数的极点是微分方程的特征根，它们决定了所述系统的自由运动模式，并且这些自由运动模式也包括在强迫运动中(即，零初始条件响应)。设

15、系统的传递函数为，其中前两项与输入函数r(t)具有相同的模式，后两项包含由极点-1和-2形成的自由运动模式。这是系统的“固有”成分，但它的系数与输入函数有关，因此可以认为这两项是由输入函数的激励形成的。(2)传递函数的零点不形成自由运动模式，但影响各模式在响应中的比例和响应曲线的形状。让我们举个例子：让具有相同极点但不同零点的传递函数是-1和-2，G1的零点Z1-0.5和G2的零点Z2-1.33。在零的初始条件下，它们的阶跃响应分别为：上述结果表明，模式e-t和e-2t在两个系统的单位阶跃响应中所占的比例不同，这取决于极点之间的距离、极点与零点之间的距离以及零点与原点之间的距离。当极点相同时，

16、G1的零点z1靠近原点，远离两个极点。因此，这两种模式占很大比例，零点z1的作用很明显。G2(s)的零点z2远离原点，靠近两极，因此两个模式的比例很小。因此，尽管两个系统的模式相同，但是由于零点的不同位置，它们的单比特阶跃响应C1(t)和C2(t)具有不同的形状。典型元件的传递函数电位计将线性位移或角位移转换成电压的装置。单个线绕环形电位计(角位移型)在空载时的传递函数为：K1是对应于电刷单位角位移的输出电压，称为电位计传递系数。e是电位计电源电压和电位计的最大工作角度。误差检测器由一对电位器组成，空载时的传递函数为：测速发电机是一种测量角速度并将其转换成电压的装置，一般有交流和DC装置。无源网络通常由电阻、电容和电感组成。可以使用两种方法来计算无源网络的传递函数。一种方法是先写出网络的微分方程，然后在零初始条件下进行拉普拉斯变换，从而得到输出变量和输入变量之间的传递函数。另一种方法是引用复阻抗直接写出网络的代数方程，然后计算其传递函数。在图中，可以直接从图中写出来，电路的传递函数是单个水箱，它是普通