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文档简介

1、,6 压缩映射原理及其应用,Banach空间的压缩映射原理是完备度量空间概念的应用，它有助于证明微分方程、代数方程、积分方程等问题中许多关于存在唯一性的定理。 定义1 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数 ，0 1，使得对所有的x，yX，成立 d（Tx，Ty） d（x，y）， （1） 则称T是压缩映射。 压缩映射在几何上的意思是说点x和y经T映射后，它们像的距离缩短了，不超过d（x，y）的 倍（ 1）。,定理1 （压缩映射原理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（也就是说，方程 ，有且只有一个解）。 证明：设是X中任意一点。令 我们证明 点列是X中

2、柯西点列，事实上， （2） 由三点不等式，当nm时，,。,。,因0 1，所以 1，于是得到 （nm） （3） 所以当 时， ，即 是X中柯西点列，由X完备，存在 ，使 ，又由三点不等式和条件（1），我们有 上面不等式右端当 时趋向于0，所以 ，即 。 下证唯一性。如果又有 ，使 ，则由条件（1）， 因 1，所以必须 ，即 。证毕。 压缩映射原理在分析、微分方程、积分方程、代数方程解的存在和唯一性定理证明中起了重要作用。下文介绍隐函数存在定理以及常微分方程解的存在性和唯一性定理（Picard）。,定理2 设函数 在带状域 -y 中处处连续，且处处有关于y的偏导数 。如果还存在常数m和M，满足 0

3、m M，mM。 则方程 =0在区间 上必有唯一的连续函数 作为解： 。 证 在完备空间 中作映射A，使对任意的函数 ， 有 。按照定理条件， 是连续的，故 也连续，即 。所以A是 到自身的映射。,现证A是压缩映射。任取 ，根据微分中值定理，存在0 1，满足 = = 由于0 1，所以令 ，则有0 1，且 按 中距离的定义，即知 。 因此，A是压缩映射。由定理1，存在唯一的 满足 ，即 ，这就是说 定理证毕。,定理3（Picard）设 是矩形 上的二元连续函数，设 ，又 在D上关于x满足Lipschitz条件，即存在常数K，使对任意的 ，有 ， 那么方程 在区间 上有唯一的满足初 值条件 的连续函数解，其中 min . 压缩映射原理不仅证明了方程 解的存在性和唯一性，而且也提供了求解的方法逐次逼近法，即只

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