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文档简介

1、2.4 随机变量函数的分布,为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布.,问题的引入,1. 一元函数,例1. 随机变量的分布律如下表， 分别求出 =2-1 和 = 2 的分布律。,一、离散型随机变量函数的分布,解：,0.2,0.1,2. 二元函数,例2. 随机变量(1, 2)的分布律如下 表，求(1)= 1+2 ,(2) =1 2 的 分布律。,解：,解,例4 与的分布律为:,与相互独立， 求+的分布律。,解： 与相互独立与的联合分布律为,二、连续型随机变量函数的分布1. 一元函数,方法及步骤：,例4. 已知的概率密度是f(x)，设=4-1，求 的概率密度f(x)。,例5（P.65）设

2、,解,（1）当b0时，,（2）当b0时，,综合起来，对于 有,重要结果, 特别：,标准化,与P.51 (2.37)一致。,例6 设,求 =2的概率密度f (y).,解：设,两边同时对y求导得：,2 二元函数,设 的分布函数为,特别地，当, 相互独立时，有,由此可得概率密度函数为,由于 X 与 Y 对称,卷积公式：,由公式,解,标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,例7 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从,得,推广：,正态分布的可加性（P.83 22题）,泊松分布的可加性，二项分布的可加性，见P.83的23题和24题。,另外,例 (P.68例5),解法1（一般方法）,所以,当z0时，,

3、解法2（卷积公式）,由前面的例子知与相互独立，且,由卷积公式有,因此，,例8：设和是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：,解法1：由卷积公式,解法2：由和 是相互独立的，,当z0时，f (x,y)=0, F(z)=0.,例9 设随机变量在区间0，5上服从均匀分布。,（1）对进行100次独立观测，求至少有两次观测值小于0.1的概率；,（2）求关于 x 的方程,有实根的概率。,解：由已知,表示对进行100次观测中事件A发生的次数,(2) B表示“关于x的方程有实根”:,例10.设(, )的概率密度为,(1) 求 和 的边际概率密度，判断 和 是否相互独立；,(2) 求在 = y的条件下的条件概率密度。,解：(1) 的边际概率密度,的边际概率密度,(2)在 =y的条件下的条件概率密度： 当y0时， f(y)0,当 y 0时， 的条件概率密度不存在。,(3),例11 设随机变量(,)的分布律为：,求(1) a 值；(2) (,)的联合分布函数F(x, y); (3) (,)关于 和 的边际分布函数 F(x)与 F(y).,解：,六设某元件的寿命 (单位:万小时)服从分布,某系统并联三个这种电子元件，且它们独立工作，求系统寿命大于2万小时的概率。,七设随机变量(, ) 服从分布,(1)求, 的边际概率密度f(x),

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