材料力学 第三章 扭转.ppt

1、第三章扭转,第三章 扭 转 (Torsion),3.1 扭转的概念及实例 3.2 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图 3.3 薄壁圆筒扭转 3.4 圆轴扭转时的应力 3.5 圆轴扭转时的变形 *3.6 非圆截面杆扭转的概念,机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等, 扭转是其主要变形之一。,3.1 扭转的概念及实例,3.1 扭转的概念及实例,在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶, 致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动, 这就是扭转变形。,扭转角(): 任意两截面绕轴线相对转动而发生的角位移。,切应变(): 纵向线

2、倾斜的角度(直角的改变量)。,3.1 扭转的概念及实例,3.2 传动轴的外力偶矩扭矩及扭矩图,3.2.1 传动轴的外力偶矩,一传动轴, 转速为n, 所传递的功率为P, 则作用在该轮上的外力偶矩Me,GB3101-93中规定的数值方程式的表示方法。,3.2 传动轴的外力偶矩扭矩及扭矩图,轴所承受的力偶矩与传递的功率成正比, 与轴的转速成反比。,所以在传递同样的功率时, 低速轴所受的力偶矩比高速轴大。传动系统中, 低速轴的直径要比高速轴的直径粗一些。,3.2.2 扭矩及扭矩图,分析图示圆轴任一横截面nn上的内力。在nn截面处假想将轴截开取左侧为研究对象。,横截面上的内力应是一个力偶, 称为该横截面

3、上扭矩,取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。,3.2.2 扭矩及扭矩图,扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离开截面时的扭矩为正。,反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。,3.2.2 扭矩及扭矩图,用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置, 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩, 从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线, 称为扭矩图。,例: 一传动轴如图所示, 其转速n300r/min, 主动轮输入的功率为有P1=500kW。若不计轴承摩擦所耗的功率, 三个从动轮输出的功率分别为P2150kW、P3150 kW及P4200kW

4、。试做扭矩图。,A,B,C,D,M1,M2,M3,n,M4,解: 计算外力偶矩,计算CA段内任横一截面2-2截面上的扭矩。假设T2为正值。,x,T2是负值扭矩。,同理, 在BC段内,x,在AD段内,x,作出扭矩图,x,从图可见, 最大扭矩发生在CA段内, 其值为9.56 kNm。,3.3 薄壁圆筒的扭转,薄壁圆筒: 壁厚d远小于平均半径r0,3.3.1 薄壁圆筒扭转时的切应力,外力偶矩Me。任一横截面n-n上的扭矩为T,由于横截面上的应力合成结果等于横截面上的扭矩, 所以横截面上的应力只能是切应力。,3.3 薄壁圆筒的扭转,实验:,预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线, 从而形成一系列的

5、正方形格子。施加外力偶矩Me。,现象:,所有的圆周线都保持不变; 所有的纵向线发生倾斜, 在小变形时仍保持为直线。,3.3 薄壁圆筒的扭转,设想:,薄壁圆筒扭转后, 横截面保持为形状、大小均无改变的平面, 相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。,3.3 薄壁圆筒的扭转,t dA,结论:横截面上各点处的切应力的方向必与圆周相切。,3.3 薄壁圆筒的扭转,圆筒两端截面之间相对转动的角位移, 称为相对扭转角, 用j表示。,圆筒表面上每个格子的直角的改变量, 称为切应变。用g表示 。,3.3 薄壁圆筒的扭转,切应变g与横截面上沿圆周切线方向的切应力是相对应的。圆周各点处切应力的方向与圆周相切, 且数值相

6、等。,由于薄壁圆筒的壁厚d远小于平均半径r0, 可以近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。,3.3 薄壁圆筒的扭转,薄壁圆筒扭转时, 横截面上任一点处的切应力t都是相等的, 而其方向与圆周相切。横截面上的内力与应力间的静力关系为:,Me,t dA,r0,n,n,x,对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。,3.3 薄壁圆筒的扭转,从圆筒上取出微小矩形单元体如图所示:,3.3.2 切应力互等定理,3.3 薄壁圆筒的扭转,由平衡方程SFy=0可知, 两侧面的内力元素t dy dz大小相等, 方向相反, 将组成一个力偶。其矩为(t dy dz)dx。,要满足平衡方程,SMz=0,SFx=0,

7、在单元体的上、下两平面上必有大小相等, 指向相反的一对内力元素t dx dz并组成力偶, 其矩为(t dx dz)dy。,此力偶矩与前一力偶矩数值相等而转向相反, 于是得,t =t,单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在, 且大小相等, 都指向(或背离)该两平面的交线。,切应力互等定理：,纯剪切应力状态：,单元体平面上只有切应力而无正应力, 则称该单元体为纯剪切应力状态。,3.3 薄壁圆筒的扭转,3.3.3 切应变 剪切虎克定律,r为薄壁圆筒的外半径。,Me,Me,l,A,B,3.3 薄壁圆筒的扭转,剪切虎克定律: 当切应力不超过材料的剪切比例极限时(ttp), 切应力与切应变成正比关系。,

8、薄壁圆筒的扭转实验发现, 当外力偶Me在某一范围内时, j与Me(在数值上等于扭矩T)成正比。,切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料, 这三个弹性常数之间存在下列关系:,可见, 在三个弹性常数中, 只要知道任意两个, 第三个量就可以推算出来。,式中: G是材料的一个弹性常数, 称为切变模量, 因g无量纲, 故G的量纲与t相同, 不同材料的G值可通过实验确定, 钢材的G值约为80 GPa。,3.3.4 剪切应变能,假设单元体左侧固定, 因此变形后右侧将向下移动dx。,因为变形很小, 所以在变形过程中, 认为上、下两面上的外力将不作功。只有右侧面的外力(dydz)

9、对相应的位移dx上作了功。,c,g,3.3 薄壁圆筒的扭转,应变能密度为,当材料在线弹性范围内内工作时, 上述力与位移成正比, 因此, 单元体上外力所作的功为,3.4 圆轴扭转时的应力,1) 变形几何关系,在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物理关系和静力关系三个方面着手。,为研究横截面上任一点处切应变随点的位置而变化的规律, 先观察一个实验。,3.4.1 横截面上的应力,实验:,预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外力偶矩Me。,Me,Me,3.4 圆轴扭转时的应力,现象:, 两圆周线绕杆轴线相对旋转了一个角

10、度, 圆周线的形状和大小均未改变;, 在变形微小的情况下, 圆周线的间距也未变化, 纵向线则倾斜了一个角度g。,Me,Me,Me,Me,根据圆周线形状大小不变, 两相邻圆周线发生相对转动的现象, 可以设想, 圆轴扭转时各横截面如同刚性平面一样绕轴线转动, 即假设圆轴各横截面仍保持为一平面, 且其形状大小不变; 横截面上的半径亦保持为一直线, 这个假设称平截面假设。,根据实验结果, 在杆扭转变形后只有等截面的直圆杆的圆周线才仍在垂直于杆轴的平面内, 所以平截面假设只适用于等直圆杆。,根据上述实验现象还可推断, 与薄壁圆筒扭转时的情况一样, 圆轴扭转时其横截面上不存在正应力s, 仅有垂直于半径方向

11、的切应力t 作用。,Me,Me,倾角g是横截面圆周上任一点A处的切应变, dj是b-b截面相对于a-a截面象刚性平面一样绕杆轴转动的一个角度。(相对扭转角),截取长为dx的杆段进行分析。,D,3.4 圆轴扭转时的应力,作一条与轴线平行且距离为r的纵向线 EG。,纵向线 EG 也倾斜了一个角度gr。,gr是横截面半径上任一点E处的切应变。,T,T,dx,O2,O1,a,b,b,a,dj,A,E,D,D,G,G,3.4 圆轴扭转时的应力,这就是圆轴扭转时切应变沿半径方向的变化规律。此式说明: 同一半径r圆周上各点切应变gr均相同, 且其值与r成正比。,T,T,dx,O2,O1,a,b,b,a,dj

12、,A,E,D,D,G,G,r,dj /dx是相对扭转角沿杆长度的变化率, 是个待定参数。,由剪切胡克定律,这就是圆轴扭转时横截面上切应力的分布规律。同一圆周上各点切应力tr均相同, 且其值与r成正比, tr垂直于半径。,2) 物理关系,3) 静力关系,由于在横截面任一直径上距圆心等远的两点处的内力元素trdA等值而反向, 整个横截面上的内力元素trdA的合力必等于零, 并组成一个力偶, 即为横截面上的扭矩T。,极惯性矩仅与横截面的几何量有关, 单位是m4。,上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式。,3.4 圆轴扭转时的应力,横截面周边各点处, 切应力将达到最大值, 圆心处的切应

13、力为零。切应力与成正比, 且垂直于半径。指向与T的转向一致, 分布图如图所示。,Wp 称作抗扭截面系数, 单位为m3。,推导切应力计算公式的主要依据为平面假设, 且材料符合胡克定律。因此公式仅适用于在线弹性范围内的等直圆杆。,3.4 圆轴扭转时的应力,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件: 提高强度, 节约材料, 重量轻, 结构轻便, 应用广泛。,横截面上的应力分布,抗扭截面模量公式,极惯性矩公式,3.4.2 极惯性矩及抗扭截面系数,3.4 圆轴扭转时的应力,实心圆截面杆,空心圆截面杆,3.4.3 斜截面上的应力,在圆杆的表面处用横截面

14、、径向截面以及与表面平行的面截取一微小的正六面体，称为单元体。,单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef的外法线n与x轴间的夹角为a, 并规定从x轴至截面外法线逆时针转动时a为正值, 反之为负值。,设斜截面ef的面积为dA, 则eb面和bf面的面积分别为dAcosa和dAsina。,x,t,t,a,b,c,d,n,a,a,f,e,t,t,应用截面法研究其左边部分的平衡。,ta,sa,3.4.3 斜截面上的应力,利用切应力互等定理, 整理得,a,t,a,b,f,e,t,ta,sa,h,x,由式(b)知, 单元体的四个侧面(分别为a0和a90)上的切应力绝对值最大, 均等于t。,a,t,a,b,

15、f,e,t,ta,sa,h,x,smax,smax,smin,smin,由式(a)知, 在a45和a45两斜截面上的正应力分别为,该两斜截面上的正应力分别为sa中的最大值和最小值, 一个为拉应力, 另一个为压应力, 其绝对值均为t。最大、最小正应力的作用面与最大切应力作用面之间互成45夹角。,在圆轴的扭转实验中, 对于剪切强度低于拉伸强度的材料(如低碳钢), 破坏是从杆的最外层沿横截面发生剪断产生的。,对于拉伸强度低于剪切强度的材料(如铸铁), 其破坏是由杆的最外层沿与杆轴线约成45倾角的螺旋形曲面发生拉断而产生的。,例: 试验算薄壁圆筒横截面上切应力公式的精确度。已知圆筒的壁厚d 和平均直径

16、d0。,解: 按精确公式计算, 薄壁圆筒横截面上切应力沿壁厚d的变化情况如图。最大切应力在截面最外层,按近似公式计算, 薄壁圆筒横截面上切应力沿壁厚不变, 算式为,以tmax为基准分析误差的大小,式中,以tmax为基准的误差为,例: 在强度相同的条件下, 用d/D0.5的空心圆轴取代实心圆轴, 可节省材料的百分比为多少?,解: 设实心轴的直径为d1 , 由,得:,3.4.4 圆轴扭转强度条件,圆轴扭转时, 杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作切应力max不超过材料的许用切应力 。,圆轴扭转时的最大工作切应力max 发生在最大扭矩所在横截面(危险截面)的周边上的任一点

17、处(危险点) , 强度条件为,根据上述条件, 可以解决三个方面的问题:, 校核强度:, 设计截面尺寸:, 确定许可载荷:,3.4.4 圆轴扭转强度条件,例: 已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T 1930 Nm, 传动轴用外径D = 89 mm、壁厚d2.5 mm的钢管做成。材料为20号钢, 其许用切应力t70 MPa。校核此轴的强度。,解: (1) 计算抗扭截面系数,(2) 强度校核,可知轴满足强度条件。,如果传动轴不用钢管而采用实心圆轴, 并使其与钢管有同样的强度(即两者的最大应力相同), 则,可见, 采用钢管时, 其重量只有实心圆轴的30, 耗费的材料要少得多。,例:图示阶梯圆轴, A

18、B段的直径d1120 mm, BC段的直径d2 = 100 mm, 扭转力偶矩为MA22 kN.m, MB36 kN.m, MC14 kN.m, 已知材料的许用切应力= 80MPa, 试校核该轴的强度。,解: 作轴的扭矩图,因此, 该轴满足强度要求。,分别校核两段轴的强度,D1=120mm, d2=100mm, MA=22kN.m, MB=36kN.m, MC=14kN.m, = 80MPa,1 扭转时的变形,等直圆轴扭转时的变形用相对扭转角j度量。,长为l的一段杆两端面间的相对扭转角j为,3.5 圆轴扭转时的变形,对于同一材料制成的等直圆轴, 当只在两端受一对外力偶作用时, 从上式可得,GI

19、p 称作 抗扭刚度,杆在扭转时各横截面上的扭矩可能并不相同,注意: 以上公式都只适用于材料在线弹性范围内的等直圆杆。,各段杆的长度也可能不相同,扭转杆的刚度用相对扭转角沿杆长度的变化率dj/dx来度量。用j来表示这个量, 称为单位长度扭转角,例: 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知: M11592 Nm, M2955Nm, M3637Nm。截面A与截面B、C之间的距离分别为lAB300mm和lAC500mm。轴的直径d70mm, 钢的切变模量为G80GPa。试求截面C对截面B的相对扭转角。,B,C,A,M1,M2,M3,I,II,B,C,A,M1,M2,M3,I,II,解: 由截面法求得I、I

20、I段内的扭矩分别为T1955 Nm, T2-637 Nm。,jAB,jAC,解法1, 假设A截面不动, 先分别计算截面B、C对截面A的相对扭转角jAB和jAC。,与M2的转向相同,与M3的转向相同,与M3的转向相同,截面C对截面B的相对扭转角jBC 为,jAB,解法2: 设截面B固定不动, 先分别计算M1、M3单独作用下截面C对截面B的相对扭转角jCB1和jCB2, 然后叠加, 即采用叠加法。,jCB1,M1单独作用下截面C对截面B的相对扭转角,M3,jCB2,M3单独作用下截面C对截面B的相对扭转角,C截面对截面B的相对扭转角,与M3的转向相同,2 刚度条件,式中j是单位长度的扭转角, j为

21、单位长度的许用扭转角, 两者的单位皆为rad/m(弧度/米)。,3.5 圆轴扭转时的变形,机器中的轴如扭转变形过大, 就会影响机器的精密度, 或者使机器在运转过程中产生较大的振动。因此对圆轴的扭转变形需要有一定的限制。,通常要求单位长度的扭转角不能超过某一许用值, 即扭转构件应满足刚度条件,在工程实际中j的常用单位为()/m(度/米)。如果使j也采用()/m, 则上述的刚度条件又可写成,单位长度的许用扭转角j是根据载荷性质和工作条件等因素决定的。,3.5 圆轴扭转时的变形,在精密、稳定的传动中, j 常取0.150.3 ()/m之间; 对于一般的传动轴, 则可放宽到2()/m左右。各种轴的许可

22、单位长度扭转角的具体数值可由有关的机械设计手册中查出。,例: 某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成, 钢管外径D76mm, 壁厚d2.5mm, 轴传递的转矩Me1.98kNm, 材料的许用切应力100MPa, 切变模量G80GPa, 轴的许可扭角2 ()/m。试校核轴的强度和刚度。,d,Me,d,D,Me,d,Me,d,D,解: 轴的扭矩等于轴传递的转矩,轴的内、外径之比,Me,D76 mm d2.5 mm Me1.98 kNm 100 Mpa G80 Gpa 2 ()/m。,d,Me,d,D,刚度条件,强度条件,Me,该轴既满足强度条件也满足刚度条件,将空心轴改为同一材料的实心轴, 仍

23、使max=96.1MPa,实心轴的直径为d47.2mm,实心轴的截面面积为,空心轴的截面面积为,两轴材料、长度均相等同, 故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比,在最大切应力相等的情况下空心轴比实心轴轻, 即节省材料。,例: 某组合机床主轴箱内第四轴的示意图如图示。轴上有II、III、IV三个齿轮, 动力由5轴经齿轮III输送到4轴, 再由齿轮II和IV带动1、2和3轴。1和2轴同时钻孔, 共消耗功率0.756kW; 3轴扩孔, 消耗功率2.98kW。若4轴的转速为183.5r/min, 材料为45钢, G80GPa。取40MPa, 1.5 ()/m。试设计轴的直径。,解: 求扭矩, 画轴的扭矩

24、图,39.3 Nm,155 Nm,n183.5 r/min P20.756 kW P42.98 kW,T图,由强度条件,由刚度条件,取 D30 mm,刚度条件是4轴的控制因素。由于刚度是大多数机床的主要矛盾, 所以用刚度作为控制因素的轴是相当普遍的。,像4轴这样靠齿轮传动的轴, 它除了受扭外, 同时还受到弯曲, 应按扭弯组合变形计算。,在开始设计时, 由于轴的结构形式未定, 轴承间的距离还不知道, 支座反力不能求出, 所以无法按扭弯组合变形计算。,而扭矩的数值却与轴的结构形式无关, 这样, 可以先按扭转的强度条件和刚度条件初步估算轴的直径。在根据初估直径确定了轴的结构形式后, 就可再按第八章和

25、第十章提出的方法, 作进一步的计算。,例: 圆轴如图所示。已知d175 mm, d2110 mm。材料的许用切应力40 MPa, 轴的许用单位扭转角0.8 ()/m, 剪切弹性模量G80 GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。,d2,d1,A,B,C,8KN.m,5KN.m,3KN.m,8 kNm,3 kNm,解: 画扭矩图,d175 mm, d2110 mm。40 MPa, 0.8 ()/m, G80 GPa,8 kNm,3 kNm,等直圆杆在扭转时积蓄在杆中的应变能可由下式计算,*等直圆杆扭转时的应变能*,以上应变能表达式可利用外力功与应变能数值上相等的关系, 直接从作用在杆端的外力偶矩Me

26、在杆发生扭转过程中所作的功W算得。,当杆在线弹性范围内工作时, 截面B相对于A的相对扭转角j与外力偶矩Me在加载过程中成正比关系, 于是,*密圈螺旋弹簧的应力和变形,密圈螺旋弹簧受轴向拉(压)力作用。设弹簧圈的平均半径为R, 簧丝的直径为d, 材料的切变模量为G。弹簧圈的有效圈数为n。,F,近似地认为簧丝横截面与弹簧轴线(力F)在同一平面,可以略去簧丝曲率的影响,先用截面法求得簧丝横截面上的内力。将簧丝的斜度视为零度。,簧丝的横截面上有两个内力分量即,TFR (扭矩),FSF (剪力),FS,T,与剪力FS对应的切应力, 按实用计算方法, 可认为均匀分布在横截面上,与扭矩对应的簧丝横 截面上最

27、大切应力为,在靠近轴线的内侧点A处, 总应力达到最大值。,总应力最大值为,弹簧的强度条件为,由上式算出的最大切应力是偏低的近似值。,若d与2R之比并不很小, 则需考虑剪力及簧丝曲率的影响, 一般将上式左端乘以修正系数, 弹簧的强度条件为,承受拉、压力的弹簧, 修正系数为,式中,由能量守恒弹簧的弹性能Ve与外力作功W相等,在弹性范围内, 弹簧的轴向变形与所受的力成正比, 故在变形过程外力所作的功为,若只考虑簧丝扭转的影响, 则簧丝内的应变能为,弹簧的变形,由于在计算应变能Ve时略去了剪力的影响,并应用直杆扭转的公式, 所得的Ve值是近似的, 且比实际值为小, 因而, 算出的变形也较实际值略小,

28、但其相对误差小于应力计算式。,k代表弹簧的刚度系数(通常称为“弹簧常数”)。,令,例: 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为: D125mm, 簧丝直径为: d18mm, 受拉力F500N 的作用, 试求最大切应力的近似解和修正解；若G82GPa, 欲使弹簧变形等于6mm, 问: 弹簧至少应有几圈？,解: 最大切应力的近似值:,D125mm, d18mm, F500N，G82GPa, 变形6mm, 最大切应力的修正解:, 弹簧圈数:,（圈）,3.6 非圆截面杆扭转的概念,等直非圆杆, 如图所示矩形截面杆扭转后横截面将发生翘曲而不再是平面。,等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲, 但当等直杆在两端受外力

29、偶作用, 且端面可以自由翘曲时, 其相邻两横截面的翘曲程度完全相同。横截面上仍然只有切应力而没有正应力。这一情况称为纯扭转或自由扭转。,若由于约束条件或受力条件的限制, 造成杆件各横截面的翘曲程度不同, 这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除切应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。图示即为工字钢约束扭转的示意图。,像工字钢、槽钢等薄壁杆件, 约束扭转时横截面上的正应力往往是相当大的。,但一些实体杆件, 如截面为矩形或椭圆形的杆件, 因约束扭转而引起的正应力很小, 与自由扭转并无太大差别。,杆件扭转时, 横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。因为, 边缘各点的切应力如不与边界相切, 总可分解为边界切线方向的分量tt和法线方向的分量tn。,根据切应力互等定理, tn应与杆件自由表面上的切应力tn相等。但在自由表面上不可能有切应力tn, 即tntn0。这样, 在边缘各点上, 就只可能有沿边界切线方向的切应力tt。,3.