1.4生活中的优化问题举例【备用】.ppt

1、生活中的优化问题举例,知识回顾,一、如何判断函数的单调性？,f(x)为增函数,f(x)为减函数,二、如何求函数的极值与最值？,知识背景：,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题.,例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,图3.4-1,因此，x=16是函数

2、S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。,解法二：由解法(一)得,练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？,解：,结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。,变式:某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形场地.如果铁丝网长40 m,问靠墙的一面多长时,围成的场地面积最大?,y=-x+20 令y=0得,x=20 当00,当20x40时,y0. x=20时,y最大=2010=200. 答:靠墙的一面长20 m时,围成的场地面积最大,为200 m2.,练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的

3、正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?,x,h,x,h,解： 设箱底边长为 x,箱子容积为,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,当x(0,40)时,V(x)0;当x(40,60)时,V(x)0.,函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值.,答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3,练习3,A,由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：,优化问题,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,上述解决优化问题的过程是一个典型的数学

4、建模过程。,解决生活中的优化问题的基本步骤,作业：课本P37习题1.4 A组1、2,课本P371、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？,则两个正方形面积和为,由问题的实际意义可知：,课本P373：某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?,R,h,解: 设圆柱的高为h,底面半径为R.,则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,答 :罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.,生活中的优化问题举例,问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?,你是否注意过,市场上等量的小包

5、装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?,第二课时,例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，()瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ (）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,-,+,减函数,增函数,

6、-1.07p,每瓶饮料的利润：,背景知识,解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是,当半径r时，f (r)0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r时，f (r)0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低,1.半径为cm 时，利润最小，这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值,半径为cm时，利润最大,练习1:已知某工厂生产x件产品的成本为c=2 500+200 x+x2(元). (1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?,答:生产100件产品时,平均成本最低为250元.

7、,练习2. 某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0 x30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期将多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?,解 (1)设商品降价x元,则多卖出的商品件数为kx2,若记商品一个星期的获利为f(x), 则依题意有 f(x)=(30-x-9)(432+kx2) =(21-x)(432+kx2). 又由已知条件,24=k22,于是有k=6. f(x)=-6x3+126x2-432x+907

8、2,x0,30.,(2)根据(1)有f(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,故x=12时,f(x)达到极大值,f(0)=9072,f(12)=11664, 定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.,练习3. 某单位用2160万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费

9、用,平均购地费用,答:为了楼房每平方米的综合费用最少,该楼房应建为15层.,作业：课本P37习题1.4 A组 6 B组 1,问题3、磁盘的最大存储量问题,(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？,(3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？,第三课时,例3：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r与R 的环行区域。,是不是r越小，磁盘的存 储量越大？,(2) r为多少时，磁盘具有最大存储量 （最外面的磁道不存储任何信息）？,解：存储量=磁道数每磁道的比特数,设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小

10、于n，且最外面的磁道 不存储任何信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁 道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须 装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量,（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.,(2)为求 的最大值，计算,令,解得,因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大 存储量为,解:设B(x,0)(0x2), 则 A(x, 4x-x2).,从而|AB|= 4x-x2,|BC|=4-2x.故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：,优化问题,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。,解决生活中的优化问题的基本步骤,作业：课本P