平面应力问题与平面应变问题.ppt

1、,弹性力学 第二章,1,Chapter 2 Theory of Plane Problems 第二章：平面问题的理论,2.1 Plane stress and plane strain 平面应力问题与平面应变问题,2020/8/3,弹性力学 第二章,2,Spatial problems and plane problems空间问题转化为平面问题。,a spatial problem a plane problem the body has a particular shape. particular external forces. 当物体的形状特殊，外力分布特殊，空间问题转化为平面问题。 P

2、lane problems: plane stress problems and plane strain problems 平面问题: 平面应力问题与平面应变问题,2020/8/3,弹性力学 第二章,3,A. conditions for plane stress problem平面应力问题的条件,Body-a very thin plate of uniform thickness. 很薄的等厚度薄板 External forces- 1. The surface forces act on the edges only. 面力仅作用板周边 2. The surface forces an

3、d body forces are parallel to the faces of the plate and distributed uniformly over the thickness. 面力、体力平行于板面且沿厚度无变化。,2020/8/3,弹性力学 第二章,4,2020/8/3,弹性力学 第二章,5,B. Coordinate system for plane stress problem平面应力问题的坐标系,x and y axes are in the middle plane and z axis is perpendicular to the middle plane.

4、x,y轴放在薄板的中面内，z垂直于中面,2020/8/3,弹性力学 第二章,6,C. Stresses for plane stress problem平面应力问题的应力,Noting the absence of surface forces on the faces of the plate, we have 板 面无面力作用，故: since stress gradients through plate are small, 通过板的应力梯度小 (z zx zy)z=any 0 (x y xy)0 ,They are functions of x and y only. the plat

5、e is said to be in a plane stress condition 板称为处于平面应力状态。,2020/8/3,弹性力学 第二章,7,1. plane stress problem,(1) Geometry character,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,等厚度薄 平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2) Force character,（1）板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力； （2）体力平行于板面且不沿厚度变化。,(3) Stress character,2020/8/3,弹性力学 第二章,8,思考题： 斜放的平板可否视为平面应力问题？

6、,平面应力问题只有三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2020/8/3,弹性力学 第二章,9,D. conditions for plane strain problem平面应变问题的条件,Body-a cylindrical or prismatical body with infinite length 无限长的柱形体 External forces- 1. The surface forces are acting on the lateral surface. 面力仅作用横向周边 2. The surface forces and body for

7、ces are parallel to any cross section of the body and not varying along the axial direction. 面力体力平行于横截面且不沿长度变化。,2020/8/3,弹性力学 第二章,10,2020/8/3,弹性力学 第二章,11,E. Coordinate system for plane strain problem平面应变问题的坐标系,x and y axes are in any cross section of the body, and z axis is perpendicular to the xy p

8、lane. x,y轴放在任意的横截面内，z垂直于xy面,2020/8/3,弹性力学 第二章,12,F. Displacements for plane strain problem平面应变问题的位移,Noting motion constrained in z direction, we have ： w=0 z向运动受限制，故：w=0 (u,v)0,They are functions of x and y only u v 通常不为零，且只是x y的函数。 Plane displacement problem 平面位移问题,2020/8/3,弹性力学 第二章,13,G. Stresses

9、for plane strain problem平面应变问题的应力,Symmetric condition 对称条件: zx=0 zy=0 z 0 not independent 不独立 (x y xy) 0, They are functions of x and y only x y xy 通常不为零，且只是x y的函数,2020/8/3,弹性力学 第二章,14,Symmetric condition对称条件:zx=0,zy=0,A,B,2020/8/3,弹性力学 第二章,15,将mn作为对称面，按作用反作用关系，左部分某点若有 ，右部分则有 ，大小与 相等。 由对称性，对称点切应力应具有

10、相同方向，右边又可有 ，而 均代表同一点的切应力，故有,，,所以,，因而,同理,2020/8/3,弹性力学 第二章,16,H. Strain for plane strain problem平面应变问题的应变,w=0-z=0 zx=0 zy=0-rzx=0, rzy=0 (x y rxy) 0 functions of x and y only x y rxy 通常不为零，且只是x y的函数 The body is said to be in a plane strain condition. 物体处于平面应变状态。,2020/8/3,弹性力学 第二章,17,2. plane strain p

11、roblem,(1) 几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。, 近似无限长等截面柱体,(2) 外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,(3) 变形特征, plane strain problem,2020/8/3,弹性力学 第二章,18,水坝,滚柱,厚壁圆筒,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,2020/8/3,弹性力学 第二章,19,2020/8/3,弹性力学 第二章,20,2020/8/3,弹性力学 第二章,21,如图所示三种情形，是否都属

12、平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,2020/8/3,弹性力学 第二章,22,3. Solution of plane problem,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：, 仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立边界条件：, Differential equations of equilibrium, Geometrical equations,Physical equations,（1）

13、 stress boundary problems ；,（2） displacement boundary problems ；,（3） mixed boundary problems ；,2020/8/3,弹性力学 第二章,23,2.2 Differential equations of equilibrium 平衡微分方程,Equations of equilibrium in mechanics of materials 材料力学中的平衡方程 isolated element (脱离体,单元体) L*h*b 从整体平衡中可求得反力 x*h*b 从部分梁的平衡可求得内力， dx*h*b 从

14、dxh的单元体平衡可求得M、Q和q之间的微分关系 dx*dy*dz Spatial elasticity problems dx*dy*1 Plane elasticity problems,2020/8/3,弹性力学 第二章,24,问题：“如果单元体取得更小成dxdy，那将怎样呢？” 回答: dxdy的单元体也是平衡的，由平衡条件就可导得应力和体力之间的关系式，即平衡微分方程，这就是弹力研究的内容。 比较类推: 可见弹力的平衡微分方程的推导并不是全新的内容，其所用的方法（取单元体，考虑单元体的平衡）在材力中早已用过,2020/8/3,弹性力学 第二章,25,弹力的单元体变小了，所得方程从反力

15、、内力的四则运算和常微分关系变成了应力体力的偏微分关系。 弹力的研究更前进了一步，因为叠加弹力中无穷多个平衡的无穷小微元单元体就可得到材力中有限大的平衡单元体；相反，材力中有限大单元体的平衡不能保证弹力中无穷小微元单元体的平衡。,2020/8/3,弹性力学 第二章,26,2020/8/3,弹性力学 第二章,27,Review: Taylors series: 泰勒级数,2020/8/3,弹性力学 第二章,28,Review: Taylors series: 泰勒级数,F(x+dx, y)=F(x,y)+F(x,y)/x dx+0.5 2F(x,y)/x2 dx2+ F(x,y)+F(x,y)/

16、x dx,F(x,y+dy)=F(x,y)+F(x,y)/y dy+0.5 2F(x,y)/y2dy2+ F(x,y)+F(x,y)/y dy,注： 这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。,2020/8/3,弹性力学 第二章,29,两边同除以dx dy，并整理得：,两边同除以dx dy，并整理得：,2020/8/3,弹性力学 第二章,30,由微元体PABC平衡，得,整理得：, 剪应力互等定理,2020/8/3,弹性力学 第二章,31,平面问题的平衡微分方程：,（2-2）,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：, 超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、

17、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。,2020/8/3,弹性力学 第二章,32,Notes about differential equations of equilibrium 平衡方程注,-x方向的平衡方程，体 力和应力都是x方向，故应力的第二个下标为x方向。对应力的第一个下标求导。 -y方向的平衡方程，体力和应力都是y方向，故应力的第二个下标为y方向。对应力的第一个下标求导。 In the first (second) differentia

18、l equation of equilibrium, the body force and stresses are in the x (y) direction, the second coordinate subscript in stresses is x (y), the differential of stresses is respect to the first subscript .,2020/8/3,弹性力学 第二章,33,空间问题转化为平面问题的条件。 试述两类平面问题z面上的应力情况？ 平面应力问题z面上的三个应力z zx zy是否精确为零？ 平面应变问题z面上的两个应力

19、 zx zy是否精确为零？ 平面应变问题的位移和应变？ 检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答. (1) x = 5x, y = 3y , xy=0 (2) x = 2x2,y = 2y2 , xy=- 4xy,2020/8/3,弹性力学 第二章,34,Check whether the following stresses may be the possible solution when =0 and =0 (1 x = 5x, y = 3y , xy=0 (2) x = 2x2,y = 2y2 xy =-4xy,2020/8/3,弹性力学 第二章,35,2.3 Stress at a

20、 point. Principal stresses 一点的应力，主应力,problem 1: the stress components x y xy at a point P are known. Let n be the outward normal to the plane AB passing through point P. The cosines of the angles between n and axes x and y are denoted by l and m respectively. We want to know the stresses acting on A

21、B 问题1：已知 1.P点的x y xy 2.过 P 点的斜面的法线n的方向余弦 l=cos(n,x) m=cos(n,y)求斜面上应力,2020/8/3,弹性力学 第二章,36,2020/8/3,弹性力学 第二章,37,AB=ds PA=mds PB=lds Fx=0: px ds-xl ds-yxm ds+fx0.5lds mds=0 Fy=0: pyds-ym ds-xyl ds+fy0.5 lds mds=0 px=lx+m yx py=my+lxy (2-3),Problem1: stresses acting on any plane斜面上应力 px py,2020/8/3,弹性力

22、学 第二章,38,Problem2: stresses acting on any plane斜面上主应力 n n,projection of px py on the normal n will give n , projection of px py perpendicular to the normal n will give n px py(px=lx+m yx py=my+lxy )投影到法线方向为 n ，投影到和法线垂直的方向为 n n= lpx+m py=l2 x +m2y+2lmxy (2-4) n=lpy - mpx =lm (y- x)+(l2- m2)xy (2-5),2

23、020/8/3,弹性力学 第二章,39,2. 一点的主应力与应力主向,（1）主应力,若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力 ；,当 时，有,求解得：,（2-6）, 平面应力状态主应力的计算公式,2020/8/3,弹性力学 第二章,40,Problem 3: Principal stress 主应力,1= (x + y)/2 + (x - y ) /22 +xy2 2= (x + y)/2 - (x - y ) /22 +xy2 tan(1,x)=(1- x )/ xy tan(2,x) = xy /(2- y) 1 + 2= x + y invariant of the sta

24、te of stress 应力的不变量,主应力 所在的平面 称为主平面；,主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；,由式（2-6）易得：, 平面应力状态应力第一不变量,（2）应力主向,设1 与 x 轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则,设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则,应力主向的计算公式：,由,得,显然有,表明：,1 与 2 互相垂直。,结论,任一点P，一定存在两 互相垂直的主应力1 、 2 。,（3）n 用主应力表示,由,1 与 2 分别为最大和最小应力。,2020/8/3,弹性力学 第二章,43,由,显然，当,时，n为最大、最

25、小值：,由,得，,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,Problem4:Maximum and minimum shearing stress,2020/8/3,弹性力学 第二章,44,Problem4:Maximum and minimum shearing stress 最大最小剪应力,max= (1 - 2)/2 min= - (1 - 2)/2 They are acting on planes inclined at 45 with 1 or 2 最大与最小剪应力发生在与应力主向成45度的斜面上 N= (1 + 2)/2 The normal stresses on t

26、he planes of maximum and minimum shearing stresses at a point are equal and take the mean value of the two principal stresses at the point. 在发生最大与最小剪应力的面上，剪应力的数值都等于两个主应力的平均值。,2020/8/3,弹性力学 第二章,45,2.2.已知X=q， y=0， xy = -2q 求 1 ， 2 ，a1 解： 1 =( x+ y)/2+ (x- y)/2)2 + xy 2 = ( x+ y)/2-(x- y)/2)2 + xy tga

27、1 =(1- x )/ xy 分别代入后，得 1=2.562q 2=-1.562q tga1=-0.781 a1=-37.99o=-37o59,2020/8/3,弹性力学 第二章,46,2.4 Geometrical equations. Rigid-body displacements 一几何方程，刚体位移,几何方程,刚体位移,2020/8/3,弹性力学 第二章,47,line segments PA, PB, PC,To study deformation condition at a certain point P, we consider line segments PA, PB, P

28、C 研究一点的变形，考虑通过P点的三个正向微段PA,PB,PC PA/x PA=dx P A -positive x direction PB/y PB=dy P B -positive y direction PC/z PC=dz P C -positive z direction,2020/8/3,弹性力学 第二章,48,Normal strain-a change in length per unit length正应变-单位长度的长度改变,x-change in length per unit length of PA y-change in length per unit lengt

29、h of PB z-change in length per unit length of PC positive (negative) for elongation (contraction) x-x向微段PA的相对伸缩 y-y向微段PB的相对伸缩 伸长为正 z- z向微段PC的相对伸缩 缩短为负,2020/8/3,弹性力学 第二章,49,Shearing strain-the change of a right angle（radian)剪应变-直角的改变量(弧度),rxy-the change of a right angle APB ryz-the change of a right

30、angle BPC rzx-the change of a right angle APC positive (negative) for a decrease(increase) of the right angle rxy- 直角APB的改变量 ryz- 直角BPC的改变量 直角 变小为正 rzx- 直角APC的改变量 直角 变大为负,2020/8/3,弹性力学 第二章,50,2020/8/3,弹性力学 第二章,51,x-change in length per unit length of PA x-x向微段PA的相对伸缩 x =(A点x向位移- P点x向位移)/PA =(u+u/x d

31、x-u)/dx= u/x,2020/8/3,弹性力学 第二章,52,y-change in length per unit length of PB y-y向微段PB的相对伸缩 y =(B点y向位移- P点y向位移)/PB =(v+v/y dy -v)/dy= v/y,2020/8/3,弹性力学 第二章,53,rxy-the change of a right angle APB rxy- 直角APB的改变量,= (A点y向位移- P点y向位移)/PA =(v+v/x dx -v)/dx = v/x = (B点x向位移- P点x向位移)/PB =(u+u/y dy -u)/dy = u/y r

32、xy = + = u/y+ v/x,2020/8/3,弹性力学 第二章,54,Notes 注：规律,x=u/x -x方向的位移u对x坐标求导u/x 为x方向线段的正应变 x 。 y=v/y -y方向的位移 v 对y坐标求导 v/y 为y方向线段的正应变 y 。 u/y-x方向的位移 u 对y坐标求导为y方向线段的转角。 v/x-y方向的位移 v 对x坐标求导为x方向线段的转角。,2020/8/3,弹性力学 第二章,55,Rigid-body displacements-displacements corresponding to zero strains刚体位移-应变为零时的位移,x=u/x

33、=0 u=f1(y) y=v/y=0 v=f2(x) rxy=u/y+v/x=df1(y)/dy+df2(x)/dx=0 -df1(y)/dy=d f2 (x)/dx= -df1(y)/dy= f1(y)=- y+u0 df2(x)/dx= f2(x)= x+v0 u= - y +u0 v= x+v0,2020/8/3,弹性力学 第二章,56,Physical meanings of u0 v0 刚体位移中 u0 v0 的物理意义。,u= - y +u0 v= x+v0 u0-the rigid-body translation in the x direction x向刚体平动 v0-the

34、 rigid-body translation in the y direction y向刚体平动 -the rigid-body rotation of the body about z axis.绕z 轴的刚体转动,2020/8/3,弹性力学 第二章,57,u= - y +u0 v= x+v0,Assume: u00,v0 =0, =0, u(x,y)= u0, v(x,y)=0 u0 -the rigid-body translation in the x direction. x向刚体平动 Assume: u0 =0,v00, =0, u(x,y)= 0, v(x,y)= v0 v0

35、-the rigid-body translation in the y direction. y向刚体平动 Assume: u0 =0,v0 =0, 0, u= - y v= x -the rigid-body rotation of the body about z axis. 绕z 轴的刚体转动,2020/8/3,弹性力学 第二章,58,2020/8/3,弹性力学 第二章,59,2-5 Physical equations. 物理方程,Hooks law 虎克定律 - 实验得 物理关系，本构关系 x=x- (y+z)/E rxy=xy/G y=y- (x+z)/E rxz=xz/G (2

36、-10) z=z- (x+y)/E rzy=zy/G,A.Physical equations for spatial problems A 空间问题的物理方程,2020/8/3,弹性力学 第二章,60,E-the modulus of elasticity or Youngs modulus 弹性模量 杨氏模量 -Poissons ratio 泊松比 G-the shear modulus 剪切模量 They are interrelated by the equation。 E G 的关系式 G=E/2(1+),2020/8/3,弹性力学 第二章,61,B.Physical equatio

37、ns for plane stress problems B. 平面应力问题的物理方程,Substituting z=0 , zx=0 and zy=0 into eq. (2-10), we obtain: 将 z=0 , zx=0 和 zy=0 代入方程(2-10)得： x=x- y/E (2-11) y=y- x/E rxy=xy/G z=- x+y/E 算板厚改变 it can be used to find the change of thickness of the plate .,2020/8/3,弹性力学 第二章,62,B.Physical equations for plan

38、e stress problems B. 平面应力问题的物理方程,x=x- y/E (2-12) y=y- x/E rxy=xy/G x=E/(1-2)x +y y=E/(1-2)y +x xy= G rxy,2020/8/3,弹性力学 第二章,63,C.Physical equations for plane strain problems C. 平面应变问题的物理方程,z=z- x- y/E =0- z= (x+y) Substituting z= (x+y) , zx=0 and zy=0 into eq. (2-10), we obtain: 将 z= (x+y), zx=0 和 zy

39、=0 代入方程(2-10)得： x=x- /(1-)y(1-2) /E y=y- /(1-)x (1-2)/E (2-13) rxy=xy/G,2020/8/3,弹性力学 第二章,64,E E/(1- 2) /(1- ) G GPlane stress problem Plane strain problem平面应力问题 平面应变问题 E(1+2)/(1+)2 E /(1+) G G,2020/8/3,弹性力学 第二章,65,2. 已知平面问题的位移分量为 u(x,y)=c(x-5)y v(x,y)=c0.5(10-x)x-0.1y2 其中c是个常数。求以下物理量在点 P(x=2.5, y=1

40、)的值： (1) 应变分量 (2) 应力分量，已知 E=200000, = 0.2. (3) PA (PA=dx, PA/x)的转角 (4) PB (PB=dy, PB/y) 的转角,2020/8/3,弹性力学 第二章,66,u(x,y)=c(x-5)y v(x,y)=c0.5(10-x)x-0.1y2 x=2.5, y=1 E=200000, =0.2. x=u/x=cy=c y=v/y=c(-0.2y)=-0.2c rxy=u/y+v/x=c(x-5)+c(5-x)=0 PA的转角=v/x=c(5-x)=2.5c PB的转角=u/y=c(x-5)=-2.5c x=E/(1-2)x +y=

41、E/(1-2) c-0.22c=Ec y=E/(1-2)y +x=E/(1-2) -0.2c+0.2c=0 xy= G rxy=0,2020/8/3,弹性力学 第二章,67,2-6 Boundary conditions边界条件,Elasticity problems: displacement boundary problems, stress boundary problems, mixed boundary problems 弹性力学问题：位移边界问题，应力边界问题，混合边界问题,2020/8/3,弹性力学 第二章,68,Displacement boundary problems 位移

42、边界问题,All the surface displacements of the whole body are specified。 物体全部边界上所有位移分量均已知。 Displacement boundary condition:位移边界条件 (u)s = u(s) (v)s= v (s) (2-14) in which us vs-displacement components on the surface. 欲求的位移分量在边界点的值。 u v-prescribed functions of coordinates on the surface.给定的边界点的位移分量值,2020/8

43、/3,弹性力学 第二章,69,2020/8/3,弹性力学 第二章,70,Stress boundary problems 应力边界问题,All the surface forces acting on the body are prescribed. 物体全部边界上所有面力分量均已知。 stress boundary condition: 应力边界条件: (lx+m yx)s = fx (my+lxy)s =fy (2-15) in which x y xy -stress components on the surface. 欲求的应力分量在边界点的值 fx fy -prescribed f

44、unctions of coordinates on the surface. 给定的边界点的面力分量值,2020/8/3,弹性力学 第二章,71,斜面外法线 n 的关于坐标轴的方向余弦：,在边界上取出一个三角形块,AB为边界。,两边除以ds，可得：,给定面力分量 边界 应力边界,式中取：,可得：,2020/8/3,弹性力学 第二章,72,Stress boundary conditions on a coordinate plane坐标面上的 应力边界条件,(lx+myx)s = fx (my+lxy)s =fy (x)s= fx (xy)s = fy (positive x plane 正

45、x面: l=1,m=0) (x)s=- fx (xy)s=- fy (negative x plane负x面 : l= -1,m=0) (yx)s= fx y)s= fy (positive y plane 正y面 : l=0,m=1) (yx)s=- fx y)s=- fy (negative y plane 负y面 : l=0,m=-1),2020/8/3,弹性力学 第二章,73,y y fy (x)s= fx (xy)s =fy (x)s=- fx (xy)s=- fy x x (yx)s= fx (y)s= fy (yx)s=- fx (y)s=- fy fx fx y fy,2020

46、/8/3,弹性力学 第二章,74,y y (x)s=-fx (x)s= fx fx x x fx x fy xy xy fy (xy)s=-fy (xy)s =fy,2020/8/3,弹性力学 第二章,75,fy y fx (y)s=fy (yx)s= fx x x y yx x (y)s=-fy y yx (yx)s=-fx fy fx,2020/8/3,弹性力学 第二章,76,（2-15）,在边界上是坐标的已知函数,应力边界条件表达了物体边界上各点的应力分量与面力分量间的关系。由于面力分量是给定的，因此，应力分量的绝对值等于面力分量的绝对值；而面力分量的方向就是应力分量的方向，并可按照应力

47、分量的正负号规定来确定应力分量的正负号。,2020/8/3,弹性力学 第二章,77,Mixed boundary problems-1 混合边界问题-1,Some portion of the boundary is specified with known displacements while the other portion is subjected to known surface forces. 物体一部分边界上已知所有位移分量，因而具有位移边界条件：us = u vs= v 物体另一部分边界上已知所有面力分量，因而具有应力边界条件： (lx+myx)s = fx (my+lxy)

48、s =fy,2020/8/3,弹性力学 第二章,78,Mixed boundary problems-2 混合边界问题-2,A boundary is specified with a known displacement in one direction and subjected to known surface force in the perpendicular direction. 物体同一部分边界上一个方向已知位移分量，因而具有位移边界条件，另一正交方向已知应力分量，因而具有应力边界条件,2020/8/3,弹性力学 第二章,79,us=u=0 (xy)s=fy=0,vs=v=0 (

49、x)s=fx=0,2020/8/3,弹性力学 第二章,80,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),2020/8/3,弹性力学 第二章,81,例2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB段（y = 0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x = l）：,(3),AC段（y =x tan ）:,2020/8/3,弹性力学 第二章,82,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,2020/8/3,弹性力学 第二章,83,例4,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：, 平面应力

50、问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得, A 点处无应力作用,2020/8/3,弹性力学 第二章,84,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,上侧：,下侧：,右侧,2020/8/3,弹性力学 第二章,85,图示构件，试写出其应力边界条件。,例6,上侧：,下侧：,2020/8/3,弹性力学 第二章,86,2-7 Saint-venants principle-1 圣维南原理,If a system of forces acting o

51、n a small portion of the surface of an elastic body is replaced by another statically equivalent system of forces acting on the same portion of the surface, the redistribution of loading produces substantial changes in the stresses only in the immediate neighborhood of the loading, and the stresses

52、are essentially the same in the parts of the body which are at large distances in comparison with the linear dimension of the surface which the forces are changed.,2020/8/3,弹性力学 第二章,87,2-7 Saint-venants principle-1 圣维南原理,把物体一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那末，离面力变换处较近的地方的应力将有显著变化，离面力变换处较远的地方的应力将基本不变。 stat

53、ically equivalent systems 静力等效力系 By “statically equivalent systems” we mean that the two system have the same resultant force and the same resultant moment. 静力等效力系是指两个力系的主矢量相同，对同一点的主矩相同。,2020/8/3,弹性力学 第二章,88,2020/8/3,弹性力学 第二章,89,2-7 Saint-venants principle-2 圣维南原理,If a balanced system of surface for

54、ces is applied to any small portion of a body, it will induce significant stresses only in the neighborhood of the surface forces. 作用在物体小部分边界上的平衡面力系仅在面力作用的附近产生显著的应力。 A balanced force system can be regarded as the difference between two statically equivalent force systems. 静力等效的两个力系的差异是个平衡力系。,2020/8/

55、3,弹性力学 第二章,90,2020/8/3,弹性力学 第二章,91,补:Mathematical expressions for elasticity problem (plane stress )弹性力学平面应力问题的数学表述,(2-2),（2-8）,（平面应力问题）,（2-12）,位移：,（2-14）,应力：,（2-15）,1. 平衡微分方程,2. 几何方程,3. 物理方程,4. 边界条件,2020/8/3,弹性力学 第二章,92,2020/8/3,弹性力学 第二章,93,3.圣维南原理的应用,(1),对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。,(2),有些位移边界不易满足时，也可用静力

56、等效的分布面力代替。,注意事项：,(1),必须满足静力等效条件；,(2),只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。,如：,2020/8/3,弹性力学 第二章,94,例如，图29中，由于hl，左右两端为小边界，在左右边界上有一般分布的面力fx 、fy，严格满足（2-15）式是非常困难的。 在右端小边界上，使应力的主矢量等于面力的主矢量，应力对某点的主矩等于面力对同一点的主矩（即数值相同，方向一致）。具体的表达式为：,2020/8/3,弹性力学 第二章,95,2020/8/3,弹性力学 第二章,96,如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，如图29所示的FN，FS,M，则在x=l的小边界上，三个积分边界条件成为：,2020/8/3,弹性力学 第二章,97,例7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,2020/8/3,弹性力学 第二章,98,2020/8/3,弹性力学 第二章,99,2020/8/3,弹性力学 第二章,100,Three ways for the solut