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文档简介

1、常微分方程,辅导课程十二,主讲教师：王稳地,线性微分方程组的存在唯一性,设A(t)和发f(t)在a,b上连续， 则(1)存在唯一解 满足(2),初值问题解存在唯一,可以用逐次逼近法证明,齐线性微分方程组,对于（5）来说（n个方程），利用初值问题解 的存在唯一性定理可以证明，(5)的所有解构成 了一个n维线性空间，也就是存在一个由n个解 组成的基本解组.,定义,叫做解矩阵，解矩阵的行列式叫做这些解的 Wronski行列式，W(t), 若线性无关，叫做 基解矩阵 定理,定理,例:,可以验证这两个都是解, 并且是线性无关的, 因为,解矩阵,基解矩阵,(5)存在一个基解矩阵,定理 (5)的任何一个解

2、x(t) 可以表示为,c 是一个常值向量,因此, 求(5)的解归结为求基解矩阵,如果知道了（1）一个特解, 并且知道了(5)的基解矩阵, 则(1)的任何一个解可表示为,定理,常系数齐线性微分方程组,A 是 n 阶常数矩阵. 定义,可以证明矩阵级数是收敛的, 并且 exp(At) 是(9) 的基解矩阵, 满足初始条件 x(0)=E. 因此, (9)满足初始条件 x(0)=,的解为,标准基解矩阵的计算,设n阶矩阵 A 有 k 个不同的特征值,重数,考虑线性代数方程组,解空间记为,可以证明维数是,于是, 任意一个向量,可以表示为,计算公式,再分别令,得 n 个解,注 如果矩阵 A 只有一个 n 重特征值,例:,求方程组的标准基解矩阵, 并求满足 x(0)=,的解,考虑,令,令,得,令,得,令,得,求下面两个方程组的

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