05位移计算.ppt

1、第五章 静定位移计算,虚功及虚功原理 结构位移计算的一般公式 图乘法及举例 温度改变产生的位移计算 支座移动产生的位移计算 线弹性体互等定理,50 结构位移计算概述,a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析 打基础； c）建筑起拱。,M Q N,不产生内力， 产生变形产生位移,b）温度改变和材料胀缩；,c）支座沉降和制造误差,不产生内力和变形 产生刚体移动,位移是几何量，自然可用几何法来求，如,但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。,a）荷载作用；,2、产生位移的原因主要有三种：,计算位移时，常假定：1）=E；2）小变形；3）具有理想约束的体系。即：线弹性体系。荷载

2、与位移成正比，计算位移可用叠加原理。,如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移,将各下弦杆做得 比实际长度短些，拼 装后下弦向上起拱。,在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。,返航,51 虚功原理,一、实功与虚功,实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22。实功恒为正。 虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。 如T12，如力与位移同向，虚功为正，如 力与位移反向，虚功为负,P1,P2,荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由 零增大到11，对线弹性体系P与成正比。,元功 dT=Pd,T11=dT=SOAB =1/2P111,再加P2，,P2在自身引起的位移22上作

3、的功,T22=1/2P2,22,在12过程中，P1的值不变，,T12=P1,12,12与P1无关,Kj,位移发生的位置,产生位移的原因,二、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力S； 与位有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关系是： 它们的乘积是虚功。即：T=S 1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在 力的方向上的分量。,P,m,2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。,3）若广义力是等值、反向的一对力P,T=PA+PB,=P（ A+B）,=P,这里是与广义力相应的广义位移。,表示AB两点间距的改变，即AB两 点的相对位

4、移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶m,T=mA+mB,=m（ A+ B）,=m,这里是与广义力相应的广义位移。,表示AB两截面的相对转角。,刚体虚功原理 静力分析的方法,基本方法：选分离体，列平衡方程。 虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。,1、虚功原理 设在具有理想约束的刚体体系上作用任意的平衡力系，,又设 体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，,则主动力在位移上 所作的虚功总和恒为零。,是指约束反力在可能位移 上所作虚功恒等于零的约束,作功的双方（平衡力系、 可能位移）彼此独立无关,虚功原理的应用,1）需设位移求未知力（虚位移原理） 2）需设力系求位移（虚力原理）,1）需设位移求未

5、知力（虚位移原理）,求杠杆在图示位置平衡时X的值。,P,X,X,X,P,P=0,（X,X =1，P=b/a,刚体内力在可能的位 移上所作虚功恒为零,1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡 方程。如（c）式就是力矩平衡方程MC0 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方 便，可以随意虚设，如设X=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解 静力平衡问题。,X=0,=0 （c）,例 各段杆长为a，求该机构在图示位置平衡时，P与X的关系。,1、虚设位移，建立位移之间的关系,2、建立虚功方程，求未知力,虚功法的特点： 1、将平衡问题归结为几何问题求解； 2、直接建立荷载与未知力之间的

6、关系， 而不需求其它未知力。,2、应用虚功原理求静定结构的约束力,作出机构可能发生的刚体虚 位移图；,2、应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的方法： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，,使原来的约束力X变成主动力。,2）沿X方向虚设单位虚位移。,利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。,3）建立虚功方程，求未知力。,q,虚功方程为: YC1,+qa0.75,qa20.75/a,q1.53a/20,YC=2.25qa,虚功方程为: QC1,+qa0.25,qa20.25/a,q(12a/2+0.5 a/2 )0,QC=1.25qa,虚功方程为: MA1,(上拉),+

7、qa0.25a,qa20.25,+q(a2a/2 0.5a a/2,MA= 0.75qa2,)0,3、应用虚功原理求静定结构的位移,建立虚功方程：P+Rac=0,（）,1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。 2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便， 可以随意虚设，如设P=1。 3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何 问题。,刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。,T12 0,三、刚体虚功原理,四、变形体系的虚功原理:状态1是 满足平衡条件的力状态，状态2是 满足变形连续条件的位移状态，状 态1的外力在状态2的位移上

8、作的外 虚功等于状态1的各微段的内力在 状态2各微段的变形上作的内虚功 之和,即：T12=,d2=2ds,微段的变形可分为2ds，,2ds，,2ds,=N12ds+Q12ds+M12ds,例：图a所示刚架由于某种原因横梁和立柱同时发生图示常 曲率的弯曲变形且B点无线位移。现已知横梁的曲率为BC= 0.001m-1。试应用虚功原理求立柱AB的曲率AB。,M=1,M=1,虚设力系,解：,虚功方程为：,A=B=C,52 单位荷载法 位移计算的一般公式,虚拟力状态 1,需首先虚拟力状态,在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1.,上式是结构位移计算的一般公式, 注:1) 适用于静定结构和超

9、静定结构; 2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) 公式右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。,5.3荷载作用下的位移计算,NP QP MP,真实位 移状态,注：（1）EI、EA、GA是杆件截面度； k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。 （2） NP、QP、MP实际荷载引起的内力， 是产生位移的原因；虚设单位荷载 引起的内力是,（5）桁架 =,ds =,（6）桁梁混合结构,（7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在扁平拱中 计算水平位移 时才考虑轴向 变

10、形对位移的影响，即,+,=,（3） 公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。 （4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的,=,=,（8）该公式既用于静定结构也用于超静定结构。但必须是弹性体系,（9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应 的广义单位荷载。,位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载！,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,例 1：求刚架A点的竖向位移。,解：构造虚设状态,（实际状态）,分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程 （或画出

11、内力图），如：,（虚拟状态）,5.4 荷载作用下的位移计算举例,（）,例 2：已知图示梁的E 、G,求A点的竖向位移。,解：构造虚设单位力状态.,对于细长杆,剪切变形 对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计.,位移方向是如 何确定的?,54 荷载作用下的位移计算举例,解：,例3:求图示桁架(各杆EA相同) k点水平位移.,NP,Ni,练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.,NP,Ni,54 荷载作用下的位移计算举例,P,P,1.5,1.5,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,1,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,例4 计算屋架顶点的竖向位移。,AD

12、,DC,DE,CE,AE,EG,A,B,C,D,E,F,G,例：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。,解：1）虚拟单位荷载,虚拟荷载,3）位移公式为,ds=Rd,钢筋混凝土结构G0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,可见剪切变形和轴向变 形引起的位移与弯曲变形 引起的位移相比可以忽略 不计。但对于深梁剪切变 形引起的位移不可忽略.,2）实际荷载,例：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载,MP（x1）=Px/2 0 x1l/2 MP（x2）=P（lx）/2 l/2 x2l,0 xl,积分常可用图形相乘来代替,2）MP须分段写,Mi=xtg,注：,表示对各杆和各杆段分别

13、图乘再相加。 图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。,y0=x0tg,55 图乘法 位移计算举例,几种常见图形的面积和形心的位置：,=hl/2,二次抛物线=2hl/3,二次抛物线=hl/3,二次抛物线=2hl/3,三次抛物线=hl/4,n次抛物线=hl/(n+1),顶点,顶点,顶点,顶点,顶点,ql2/2,例:求梁B段转角。,例:求梁B点竖向位移。,例：求图示梁中点的挠度。,3a/4,例：求图示梁C点的挠度。,？,？,温故而知新,图乘法 位移计算举例,

14、表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。 图乘法的应用条件： 竖标y0 面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。,几种常见图形的面积和形心的位置：,a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。,取在直线图形中，对应另一图形的形心处。,非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形,各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线 同侧乘积取正，否则取负。,=111,=15,= 33,b)非标准抛物线成直线形,例6-8 预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算简图。 已知：板宽1m，厚2.5cm,混凝土容重为25000N/m3,求C点的挠度。 解：q=2500010.02562

15、5N/m I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6m4 E=3.3 1010N/m2 折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2,举例,折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2,P=1,0.8,2,ql2/2,ql2/8,P=1,l,y3,B,NP=ql/2,NP=0,求AB两点的相对水平位移。,6,3,),EI=常数,求B点的竖向位移。,？,ql2/8,l/2,？,上式中的两项积分都是标准图形相乘。,如l1=l/2，EI2=2EI1,，则,+,=,2-1,、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。,（,）,AB杆的转角,AB连线的转角,AB杆和AC杆的

16、相对转角,例：试求等截面简支梁C截面的转角。,1,=,1）温度改变对静定结构不产生内力，材料的自由胀、缩。 2）假设：温度沿截面高度为线性分布。,t0,t0=（h1t2+h2t1）/h t=t2-t1,3）公式,该公式仅适用于静定结构,56 温度改变而产生的位移计算,例8-11求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。,1,a,静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0 g=0。代入,得到：,仅用于静定结构,57 支座移动而产生的位移计算,应用条件:1)应力与应变成正比; 2)变形是微小的。 即:线性变形体系。,N1 M1 Q1,N2 M2 Q2,1、功的互等定理,功的互等定理

17、：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态 的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即： W12= W21,58互等定理,2、位移互等定理,位移互等定理： 在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应 的位移影响系数21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影 响系数12 。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。,称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。,注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。 2）12与21不仅数值相等,量纲也相同。,3、反力互等定理,称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。,r12=r21 反力互等定理： 在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应 的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影 响系数r12 。或者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力 r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12 。,注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。 2）反力互等定理仅用与超静定结构。,例：已知图结构的弯矩图 求同一结构由于支座A的转动 引起地C点的挠度。 解：W12=W21 W21=0 W12=PC3Pl/160 C