群的定义(离散数学).ppt

1、6.2群定义，6.2.1半群，6.2.2群，6.2.3群性质，6.2.1半群-半群的定义，让g是非空集，如果它是g上的二元代数运算并且满足关联定律，那么代数系统(g)称为半群。6.2.1半群-半群的例子。如果S是非空集，(S)是S的幂集，和是(S)上的交和并运算，那么，(S)、(S)、(S)都是半群。设z是一个整数集，和-，是数的加法、减法和乘法，那么(z)和(z)是半群。(z，-)不是半群。设n为自然数集，对n的运算“”规定如下：a b=a b ab，显然，它是对n的二元代数运算。有：(ab)c=(A b ab)c=(A b ab)c(A b ab)c(A b ab)c=A b c ab B

2、C AC ABC，A(BC)=A(b c BC BC)=A(b c BC)A(b c BC)=A b c ab c AC ABC，所以(ab)c=a(bc)。因此，(n)是半群。设(g)是半群，如果满足下列条件：(1)有一个(单位元素):g中有一个元素1，它适用于g中的任何元素a，1a=a1=a；(2)反演：对于G中的任何一个A，可以找到G中的一个元素a-1，如果aa-1=a-1a=1，(G)，称为一个群。如果一个群G包含有限数量的元素，它被称为有限群；否则，它被称为无限群。6.2.2组-组的定义，6.2.2组-组的示例。如果Z是一个整数集，并且是数的加法和乘法，那么半群(Z)是一个群，称为整

3、数加法群。因为有元素0，所以Z中的任何元素A都适合有0a=a0a；对于z中的任意一个a，可以找到z中的一个元素a，满足a (-a)=(-a) a=0。半群(z)不是一个群。因为虽然有一个单位元素1，它适用于Z中的任何元素A具有1a=a1=a，但是除了1和-1之外，其他元素没有相反的元素。设Q是所有有理数的集合，R是所有实数的集合，C是所有复数的集合，Q*是所有非零有理数的集合，R*是所有非零实数的集合，C*是所有非零复数的集合，并且，是数的加法和乘法，那么(Q)、(R)、(C)都是群；(q)、(r)、(c)不是群体；(Q*，)，(R*，)，(C*，)都是群。6.2.2组-组的示例。如果S是非空

4、集，(S)是S的幂集，和是(S)上的交与并运算，那么半群(S)，)不是一个群，具有单位元素3360 s，但是除了S之外的其他元素中没有逆元素；半群(，)也不是一个群，有单位元素：但在其他元素中没有逆元素，除了。6.2.2组-组的一个示例，让n为自然数集，并指定对n的操作“”如下：a b=a b ab。已经证明了(n)是半群。但是(n)不是一个组。相反证明：如果不是，(n)是一个群，那么一定有一个单位元素。如果设置为e，那么n中的任何元素a都有e a=a，也就是说，e a ea=a，所以e=0，但是0N是矛盾的。因此，(n)没有单位元素，所以它不是一个组。6.2.2组-组的示例。设A是实数域中所

5、有N阶非奇异矩阵的集合，并且*是矩阵的乘积，那么(a*)是一个群。例如，让S=0，1，2，m-1，并指定对S的运算如下：a b=其中a，b是S中的任何元素，-数字的加法和减法。那么(S)就是一个群，叫做模m的整数加法群，6.2.2群一个群的例子，让S=a，b，用乘法表来定义对S的运算如下：a b a a b b b a问(S)是否是一个群。6.2.2组-组的一个例子、G=1，-1关于普通乘法运算是否构成一个组？G=1，-1，I，-i普通乘法运算组成一个组吗？其中i=(-1)1/2。理解群体的定义。单位元素是群中唯一的幂等元素。证明：设(G，*)是一个群，它的单位元素是1。显然，1是幂等元素。设

6、x在g中是幂等的，即x*x=x，那么：x=1 * x=(x-1 * x)* x=x-1 *(x * x)x-1 * x=1(或x*x=x，得到x-1 * x * x=证明了(G *)是一个群，它的单位元是1。当G=1时，它的唯一元素被认为是单位元。当G1，使用反证方法。假设(g，*)有零个元素，xG有x*=*x=1，即xG不存在，所以x*=*x=1，即没有逆元素，这是与g的群矛盾。理解群的定义。群体淘汰法必须成立。证明了如果(G，*)是一个群，它的单位元是1，(1)如果a * b=a * c，那么a-1 * (a * b)=a-1 *(a * c)，即(a-1 *) (2)同样可以证明：如果b

7、 * a=c * a，那么b=c，理解群的定义。例如，只有一个组的元素号为1，只有一个组的元素号为2。定理6.2.1表明一个群的单位元素是唯一的，任何元素的逆元素也是唯一的。也就是说，假设(g)是一个群，那么g中只有一个元素1适用于1a=a1=a，并且只有一个元素a-1适用于aa-1=a-1a=1，对于任何a，6.2.3群-(1)的性质证明，如果1和1是单位元素，那么1=11=1，所以1=1。结论：(a-1)-1=a，因为a-1=a-1 a=1 (a b) -1=b-1 a-1，因为A B-1a-1=1 B-1a-1b=11-1=1，因为1 1=1，定理6.2.2 (2)还有一个逆：对于G中的

8、任何一个A，都可以找到G中的一个元素a-1，6.2.3群-(2)的性质，证明：只需要证明a1=a和aa-1=1。证明，证明aa-1=1。因为(a-1a)a-1=1a-1=a-1，(a-1a)a-1=a-1。根据(2)，a-1也应该有一个适合ba-1=1的左逆。因此，一方面，有：b(a-1a)a-1)=ba-1=l；另一方面，有：b (a-1a) a-1)=(ba-1) (aa-1)=aa-1。因此，为了证明a1=a.a1=a(a-1a)=(aa-1)a=1a=a .证书已完成。将(1)和(2)中的左侧要求改为右侧要求。然而，仅满足左逆和右逆的可能不被聚类，仅满足右逆和左逆的可能不被聚类。第二个

9、证明是A 1=A。从(1)我们知道有1 1=1，从(2)我们知道a-1a=1，并且用它的一部分代替上面公式中的1，得到(a-1a) 1=a-1a。从(2)我们知道a-1有左逆，所以让它是B，把上面公式的两端乘以B。以前的证书a a -1=1。与第一份证书相同。证明A 1=A的三种方法。与第二种证明方法相同。证明a -1=1。从(2)可知，Aa-1是左逆的，所以a -1=1。将方程的两端与A相乘，得到(b a-1) a=1 a，即b (a-1 a)=1 a，即b=a，因此AA-1=1。证明了定理6.2.3中群的定义中的条件(1)和(2)等于下列可分条件：对于任何A，B，有a=b，Y使AY=B，6

10、.2.3群的性质-(3)，证明：首先，证明任何群的可分条件成立因为=ba-1，y=a-1b，也就是说，a=b，ay=b，所以从(1)和(2)可以推导出可剥离件成立。(1)和(2)也可以从可分条件中推导出来，所以(1)和(2)可以推导出来。以任何cG为例，如果生命1适合于c=c，那么1c=c。目前，对于任何a，y使cy=a，所以1a=1(cy)=(1c)y=cy=a，即(1)成立。假设a-1适合a=1，那么a-1a=1，所以(2)成立。在定理6.2.4中，假设G是一个群，它的值可以通过在乘积a1an中任意加括号来计算。6.2.3群-(4)的性质，证明：为了证明定理，只需用数学归纳法证明具有任意括

11、号的乘积等于从左到右依次具有括号的乘积(a1a2)a3)an-1)an (1)。N=1，2，3，这个命题很明显。假设小于n个因子的乘积的公式(1)成立，则以下n个因子的乘积的公式(1)也成立。设a是任意给a1an加圆括号得到的乘积，并证明a等于公式(1)。A中的最后一个计算集是B和C两部分的乘积：A=(B)(C)乘以归纳假设，C等于从左到右依次加上括号得到的乘积(D)。根据结社法，a=(b)(c)=(b)(d)an=(b)(d)an。证明了(B)(D)的因子个数小于n，然后通过归纳法假设(B)(D)等于从左到右依次括号的乘积：(B)(D)=(a1 a2)a3)an-2)an-1，所以a=(b)

12、 (d) an。证明了6.2.3群的性质是-(5)，将n乘以A所得的乘积称为A的n次方，表示为an。规定： a0=1，a-n=(an)-1。对于任意整数m，n，下列定律适用第一指数定律：aman=am n，第二指数定律：(am)n=amn，但第三指数定律(ab)n=bn在一般群中不适用。阿贝尔群如果群(g)的运算适用于交换律，(g)称为阿贝尔群或交换群。(Z)、(Q)、(R)、(C)都是无限阿贝尔群。(Q*，)，(R*，)，(C*，)都是无限阿贝尔群。例：实数域中所有n阶非奇异矩阵的集合不是矩矩阵乘法下的阿贝尔群。例如，元素号为1和元素号为2的群都是有限阿贝尔群。设(g)是一个群，那么(g)是

13、Abel群，当且仅当它被证明是a，bG和(a b)2=a2 b2的必要条件。如果(g)是Abel群，即对于A，bG，B=B A，因此，(ab)2=(ab)(ab)=A(ba)B=A(ab)B=(aa)(bb)=a2 B2就足够了。关于a和BG，从(a b)2=a2 b2，我们得到a-1(ab)(ab)b-1=a-1(a)(b)b-1，所以ba=ab，所以(g)是阿贝尔群。定理6.2.5在阿贝尔群(g)中，乘积可以通过任意颠倒因子的顺序来计算。证据：考虑一个产品a1an。设它是1，N上的一对一变换。为了证明a(1) a(n)=a1an对N使用数学归纳法，当n=1时，这个定理显然是有效的。假设定理在n-1时成立，并证明定理在n时成立，6.2.3群的性质(性质在6:阿贝尔群中)，假设a1an中的因子按顺序任意颠倒，公式P=a(1)a(n)因子an必须出现在P的某处，所以P可以写成P=(P)an(P) P或P中可能没有元素，但下面的论点仍然适用，根据交换定律，P=P(anP)=P(潘)=PP(an)， 现在在PP中只有n-1个元素a1，