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1、7. 约束极值问题的最优性条件,Kuhn - Tucker 条件（极值点的必要条件）,Kuhn Tucker ( K T ) 条件:,上述为K T条件，满足该条件的可行点称为 K T点。,若定义 Lagrange 函数,极值点的充分条件：,若 x* 为 K T 点，且对符合以下条件的方向 p,例. 用 K T 条件解问题,解. Lagrange 函数,K T 条件,可行性条件,8. 二次规划,Lagrange 函数,K T 条件,求二次规划的 K T 点等价于求线性等式及不等式组 (i)、(ii)、(iii)、(iv) 的一个可行点，并且满足互补条件 (*) 。,设 x 0 是一个满足条件 (

2、i) 、(ii) 的基本可行解，则求 (i) - (iv) 的可行点可转化为线性规划问题:,上述线性规划有初始基本可行解：,初始基本可行解中的基变量包括 x 0 中的基变量和所有 z j 。,9. 可行方向法,在迭代点 x k ，选择一个可行下降方向 p k 为搜索方向， 则 p k 应满足,p k 可以通过解下述线性规划获得：,改进方法：在找可行下降方向时考虑所有约束，即,可证：改进方法具有全局收敛性。,10. 制约函数法,将约束非线性规划问题转化为一系列无约束问题求解。（SUMT：Sequential Unconstrained Minimization Technique）,（1）外点法,记可行域为 D,构造罚函数,其中 c 是充分大的正数。,考虑无约束问题,F(x) 称为增广目标函数，它的极小点也是原问题的极小点，但 F(x) 不能保持原目标函数 f (x) 可能具有的良好性态（如连续、光滑），因为 F(x) 在可行域 D 的边界上发生跳跃。,另构造罚函数,（2）内点法,内点法的迭代点列在可行域的内部移动，并对接近可行域边界的点施加越来越大的惩罚，对可行域边界上的点施加无限大的惩罚，这好比在边界上筑一道墙阻止迭代点穿越边界。,内点

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