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文档简介

1、3.1.2 数学归纳法应用举例,数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确； 假设推理 （3）由（1）、（2）得出结论. 点题,找准起点 奠基要稳,用上假设 递推才真,写明结论 才算完整,一、复习引入：,1、数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。 2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足

2、，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷.,数学归纳法的核心思想,练习巩固,1.用数学归纳法证明： 在验证 n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ）,A1 B. C D.,C,例1、是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,(1)数学归纳法证明等式问题：,二、数学归纳法应用举例：,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,例2、已知正数数列an中,前n项和为sn,且

3、 用数学归纳法证明:,证:(1)当n=1时, =1,结论成立.,(2)假设当n=k时,结论成立,即,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.,(2)数学归纳法证明整除问题：,例1、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.,证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立.,(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,则当n=2k+2时,有,都能被x+y整除.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.,由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.,例1、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数,(3)数学归纳法证明几何问题：,练习:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 的条数f(n+1)=f(n)+_.,n-1,(4)数学归纳法证明不等式问题：,例1、用数学归纳法证明:,证:(1)当n=2时, 左边= 不等式 成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例2、求证:,证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于 故不等式成立.,(2

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