左矩形求积公式

1、Chapter 7 数值积分与数值微分,内容提纲（Outline),求积公式的代数精度 插值型求积公式 复化求积法,为什么要数值积分？ 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数f(x) 有解析表达式； f(x)的原函数F(x)为初等函数,Why do we do numerical integral?,问题 f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g.， 它们的原函数都不是初等函数.,求定积分就得通过近似计算数值积分求得积分近似值 基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积分，同时考虑近似精度。 下面首先给出代数精确

2、度的概念,7.1 代数精确度,本章讨论的是形如 的定积分的数值计算，其中为权函数，要满足5.4节中所提的条件.,一般把积分区间n个点xk上的函数值f(xk)加权Ak的和 作为积分I(f)的近似, 即 或记 (2),上式中xk，Ak分别称为求积节点、求积系数.求积系数与被积函数f(x)无关,而与求积节点、求积区间、权函数有关称公式(2)为n点求积公式，有时也称 为一个n点求积公式，为求积公式的误差用此公式)求积分近似值的计算称为数值积分或数值微分,构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有 (i) 确定求积系数Ak和求积节点n； (ii)求积公式的误差估计和收敛性 用什么标准来判定两个节点数相同

3、的求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一个标准在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好下面给出代数精确度的定义,定义若对任意的，求积公式(2)的误差都满足，则称该求积公式具有n次代数精确度 验证一个求积公式所具有的代数精确度用定义是极不方便的，为此给出另一个定义,定义2 若对函数， 求积公式(2)精确成立，即 而， 则称其具有n次代数精确度 因为函数组 是的一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体应用时，定义2比定义1要方便的多,例验证求积公式 具有3次代数精确度 解：当 而 有,（1）当 （2

4、）当 （3）当,（1）当 故求积公式具有三次代数精确度,7.2 插值型求积公式,这一节所讨论的求积公式，都是用在区间a, b上对被积函数f(x)作插值所得插值多项式Pn(x)代替被积函数f(x)导出的公式这一类求积公式的求积节点 xk，就是对f(x)作插值时的插值节点，所以这类求积公式称为插值型求积公式 为简便起见，这节讨论节点分布为等距并且权函数 时的插值型求积公式的构造等问题,7.2.1 Newton-Cotes求积公式,一、公式的推导 设将积分区间a,bn等分，求积节点为 ， 那么， 令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由 可知 由Lagrange插值基函数有 而，所以,将n次Lag

5、range插值多项式Ln(x)代替被积函数f(x)得 记 称为Cotes求积系数它与(3)式中的求积系数Ak相差一个常数b-a 即,把Ak代入到(3)式中，得到Newton-Cotes求积公式例如 当n=4,5时，Newton-Cotes公式分别为 n=0,1,2三种情形，在讨论(3)式中的余项R(1, f)后再详细讨论,二、误差估计 求积公式(3)计算出的积分I(f)的近似值In+1(f)的误差多大？ 若被积函数 ，记 ， 对n次Lagrange插值余项求积，可得n+1个节点的Newton-Cotes求积公式的误差估计式为 (5),验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，而用

6、直接对插值余项求积的形式，即 (5) 由(5)式，显而易见，当时，因 可知，R(1, f)=0，所以我们所n+1点的求积公式(3)至少具有n次的代数精确度进一步可以证明，当n为偶数时，求积公式(3)的代数精确度可以达到n+1次,三、几种常见的Newton-Cotes求积公式 对 n=0, 1, 2, 按公式(3)可以得出下面三种常见的Newton-Cotes求积公式. 1. n=0时的矩形求积公式 分别以积分区间a, b的左、右端点和区间中点，即x=a，b，(a+b)/2为求积节点得到： 左矩形求积公式： 右矩形求积公式： 中矩形求积公式： 三个求积公式的误差估计，可将函数f(x) 分别在 处展开到含f(x)的一阶导数的Taylor公式在区间a, b上积分 推得,2. n=1时的梯形求积公式 按Cotes系数公式计算得 故求积系数A0, A1为 ， 梯形求积公式为 记 (6)式的几何意义如图7-2所示（见p327） 容易验证公式(6)的代数精确度的次数为1. 考虑梯形求积公式(6)的误差估计R(1, f)假定 时，用推广的积分中植定理，将过(a, f(a), (b, f(b)点的线性 插值的余项 在a, b上积分，可得 其中,也称为梯形求公式,3. n=2时的Simpson求积公式 按Cotes系数公式可以计算出 为此， 所以 (8) 公式(8) 称为Simpson求