二级倒立摆数学模型的建立

1、二级倒立摆数学模型的建立专业：自研-09姓名：刘文珍学号： 2009Y01310126一、二级倒立摆系统的构成二级倒立摆主要由以下4个部分构成：1 .在有限长度的轨道l上直线运动的小车2 .与推车连接，可在垂直平面内分别围绕q、q点旋转的下、上摆3 .驱动推车的直流力矩电动机和转轮、钢丝等传动部分4 .使上下稳定在垂直向上的平衡位置，使推车稳定在轨道中心位置放置附近的控制器。二级倒立摆的结构简图如图1的监视管理功能，例如实时画面、数据采集等数据采集卡安装在计算机内，用完成的模拟/数字、数字/模拟转换的功率放大器， 用于电压及功率放大的电动机是系统的驱动器，电位计是系统的测量元件，分别检测小车相

2、对于轨道中心点的相对位置、下摆相对于铅直线的角位移、下摆相对于下摆延长线方向的角位移。图1倒立摆系统的校正计算机控制系统一套二级倒立摆系统的机械零件安装在一个钢架上，上面固定着导轨、马达底座、转轮等装置。 滑车通过导轨支架安装滑动导轨，滑车用马达和车轮通过传动线运动。2 .结构残奥仪表根据实际物理测量，得到的二级倒立摆系统的残奥仪为以下的：购物车的等效质量：=1.0kg；推车和轨道之间的折动摩擦系数：=5.0kg/s；下摆的质量：=0.1481kg；下摆半长：=0.18m；围绕下摆重心的惯性力矩：=0.0019摆锤质量：=0.0998kg；上摆一半的长度：=0.24m；围绕其重心的惯性力矩：=

3、0.0018上下重心间的距离：=0.29m；上下摆间的旋转摩擦系数：=0.0l/s；下摆和推车之间的旋转摩擦系数：=0.01/s；电机及功率放大器的增益为：=15Nt/V。3、Lagrange方程的介绍Lgarnage方程式是(1-1)仪式中t-系统的动能函数q、Lganarge变量分别为广义的坐标和广义的速度作用于系统的广义力(1-2)式中：v-系统的势能函数有力量的广义力量不是有力的广义力量将式(2-2)代入式(2-l )而得到二、二级倒立摆数学模型的推导二级倒立摆是一个多变量、高速、非线性、强灾害和绝对不稳定的系统，为了简化数学模型的建立过程，我们作出了以下的假设：1 .上摆、下摆都是均

4、匀的刚体2 .力矩电动机的输出驱动力与其输入电压成正比，无延迟地直接作用于推车上3 .车与轨道之间的摩擦力只是与车的速度成正比，下摆与车股的摩擦力只是与摆的角速度成正比，上下股的摩擦力只是与摆的角速度成正比4 .忽略电机的电感5 .无视钢丝的弹性。在以上假设的基础上，我们利用分析力学中的Lganarge方程建立了系统的数学模型。 将：作为水平导轨运动的位移，擦拭，氏分别作为下摆和上摆在垂直方向偏移的角度。 由于系统存在摩擦力并且属于一个耗散系统，方程(2-3)的部分应加上能量消耗，对于既受到保守力又受到耗散力的倒立摆系统，Lagrange方程是：式中：-广义坐标，即r，不是具有势能的广义力，=

5、r时=，u为控制量、增益常数，=，时=0t、v、d-分别是系统的动能、势能、消耗能量、(1-5)式中：n-倒立摆级数，这里n=2汽车和各级的动能汽车和各级的势能汽车和各级跌倒的消耗能量如果将上述各式、(i=0、1、2 )代入式(2-4)，则得到二级倒立摆的数学模型式(2-6)的式子是非线性矢量微分方程式。 考虑到系统操作，在平衡位置附近运动的方程式(2-6)在u=0的平衡位置r=0附近线性化，可以使用线性化后的方程式代替方程式(2-6)的非线性矢量微分方程式。具体线性化可以通过忽略二阶以上的项(或由于在二阶以内)，确定dr、d、d的线性化微分方程，并接着将dr、d、d重写为r来获得系统的状态方

6、程。可根据物理模型的实测数据求出平衡点处的常数阵列：Matlab中的求逆指令可用于求解数组因此，如果对式(2-6)进行线性化，则系统状态方程式如下所示下摆有角时，要取摆的相对角位移因此，式(2-7)表示将状态向量x可以由式(2-8)得到将物理模型的实测残奥参数代入式(29 )，得到二级倒立摆的系数矩阵为由此可见，二级倒立摆系统的数学模型式中： A=0 0 0 1.0000 0 00 0 0 0 1.0000 00 0 0 0 0 1.00000-1.9600.0940-4.8000.0040-0.0040046.1200-25.010018.7600-0.1300.24000-51.01007

7、8.1600-20.7500.2400-0.5700B=00014.4137-52.286462.2532C=1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0系统状态图：首先，使用MATLAB确定系统的控制矩阵是否具有全秩。 程序如下：A=0 0 0 1 0 0； 0 0 0 0 1 0； 零零零一； 0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004。 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24。 0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57；B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532；B1=B；C=

8、1 0 0 0 0 0； 0 1 0 0 0 0； 0 0 1 0 0 0；RCT=等级(ctrb (a，B1) )修正计算结果为rct=6根据判别系统的能量控制性定理，该系统的能量控制性矩阵为全秩，因而该系统是可控的。 因为系统是可控制的，所以可以根据状态反馈任意定位极点。不失一般性s1=-6、s2=-6.5、s3=-7、s4=-7.5、s5=-8、s6=-8.5在MATLAB中输入程序：A=0 0 0 1 0 0； 0 0 0 0 1 0； 零零零一； 0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004。 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24。 0 -

9、51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57；B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532；B1=B；P=-6 -6.5 -7 -7.5 -8 -8.5 。k=放置(a、B1、p )修正结果是K=4.869628.242536.0516.31367.83205.7267因此，求出的状态反馈矩阵K=4.869628.242536.0516.31367.83205.7267用MATLAB/Simulink构建二级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。三、状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真首先，用MATLAB判断系统的能量矩阵是否是全秩。 输入以下程序A

10、=0 0 0 1 0 0； 0 0 0 0 1 0； 零零零一； 0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004。 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24。 0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57；B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532；B1=B；C=1 0 0 0 0 0； 0 1 0 0 0 0； 0 0 1 0 0 0；rob=等级(obsv (a，c ) )rob=6由于该系统的可观测矩阵为全秩，所以该系统是可观测的。 由于系统可以观测，所以可以设定、修改状态观测器。 系统是可以控制的，可以通过

11、状态观测器实现状态反馈。状态观测器矩阵被校正为使得其特征值的所有实部都为负，并且其绝对值大于状态反馈布置的极点的绝对值。 模拟结果表明，为了确保状态观测器观测到的状态与原系统的状态十分接近，需要保持状态观测器的收敛速度足够快。 状态观测器的特征量如下所示键入以下命令A=0 0 0 1 0 0； 0 0 0 0 1 0； 零零零一； 0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004。 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24。 0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57；A1=A；C=1 0 0 0 0 0； 0 1 0 0 0 0； 0 0 1 0 0 0；C1=C；P=-20 -21 -22 -23 -24 -25；g1=放置(a 1、C1、p )；G=G1求状态观测器的矩阵G=38.2600 0.1197 -0.283617.7903 44.7264 0.7555-17.4652 0.6889 46.5137275.9610 1.1437 -5.5261690.809