二次函数专题二：面积问题

1、二次函数专题二：面积问题1、（2012石景山一模第25题8分）25已知二次函数中，m为不小于0的整数，它的图像与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边（1）求这个二次函数的解析式；（2）点C是抛物线与轴的交点，已知AD=AC（D在线段AB上），有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q从点C出发，以某一速度沿线段CB移动，经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，求四边形ACQD的面积25.（1）二次函数的图像与x轴有两个交点， . .1分m为不小于0的整数，m取0、1. .2分 当m=1时，图像与x轴的两个交点在

2、原点的同侧，不合题意，舍去； 当m=0时，符合题意. 二次函数的解析式为： .3分 （2）AC=AD，ADC=ACD CD垂直平分PQ，DP=DQ，ADC=CDQ. ACD=CDQ，DQAC BDQBAC， .4分 AC=，BD=，AB=4. DQ=， .5分PD=. AP=AD-PD=， t= .6分 （3）BDQBAC易求， .7分. 8分2、（2012顺义一模25题8分）24如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3）（1）求抛物线的解析式； （2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）的

3、条件下，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P，使的面积与四边形AABB的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由24解：（1）抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3）， 抛物线的解析式为： 2分（2）令，得，得，抛物线向右平移后仍经过点B，抛物线向右平移2个单位 3分 4分 平移后的抛物线解析式为 5分（3）由抛物线向右平移2个单位，得，四边形AABB为平行四边形，其面积 设P点的纵坐标为，由的面积=6，即， 6分当时，方程无实根，当时，方程的解为，点P的坐标为或 7分Ox3、（2012通州一模23题7分）23已

4、知二次函数（1）求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点.（2）当x2时，函数值随的增大而减小，求的取值范围.（3）以二次函数图象的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 23. 解：（1） 无论a为何实数 (1分)抛物线与x轴总有两个交点(2分)（2） (3分)由题意得，（只写或=其一，不给分） (4分)（3）解法一：以二次函数图象的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（，两点在二次函数的图象上），这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关。二次函数

5、的图象可以看做是二次函数的图象通过平移得到的。如图，正三角形的面积等于正三角形的面积.因此，与a的取值无关点在二次函数的图象上，,点在的图象上， 舍去 .(5分),. .(6分)正三角形AMN的面积是与a无关的定值,定值为.(7分)解法二：根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则设又=4、（2012西城二模第23题7分）23. 在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限内的双曲线（）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于 y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线（）交于点C . x轴上一点位于直线AC右侧，AD的中点为E. (1)当m=4时，求ACD的面积（用含，的代数 式

6、表示）； (2)若点E恰好在双曲线（）上，求m的值； (3)设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当点D的坐标为时，若BDF的面积为1，且CFAD，求的值，并直接写出线段CF的长. 23解：(1)由题意得A，C两点的坐标分别为，（如图6） 1分 ， 点A在第一象限，点C在第四象限， 图6图7图8当m=4时，2分(2) 作EGx轴于点G（如图7） EGAB，AD的中点为E， DEGDAB，G为BD的中点 A，B，D三点的坐标分别为， ， 点E的坐标为 点E恰好在双曲线上， 3分 ， 方程可化为，解得4分(3)当点D的坐标为时，由(2)可知点E的坐标为（如图8） ， 5分设直线BE的解析式为（

7、a0） 点B，点E的坐标分别为， 解得 ， 直线BE的解析式为 线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F， 点F的坐标为， 6分线段CF的长为 7分5、（2012东城二模第25题8分）25如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标. 6、（2012石景山23题7分）23已知：直线分别与 x轴、

8、y轴交于点A、点B，点P（，b）在直线AB 上，点P关于轴的对称点P 在反比例函数图象上(1) 当a=1时，求反比例函数的解析式；(2) 设直线AB与线段PO的交点为C当PC =2CO时，求b的值；(3) 过点A作AD/y轴交反比例函数图象于点D，若AD=，求PDO的面积 解：23（1）点在直线上, 时，=1分， ，代入 得， 2分（2）联结点和点关于轴对称轴 3分 =与轴交于点、点，可得 =4 5分（3）当点在第一象限时：点和点关于轴对称且在上 6分当点在第二象限时： 7分7、已知二次函数y=-x2+（k+1）x-k的图象经过一次函数y=-x+4的图象与x轴的交点A（如图）（1）求二次函数的

9、解析式；（2）求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标；（3）若二次函数图象与y轴交于点D，平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，则直线l截四边形ABCD所得的线段的长是多少？（直接写出结果）解：（1）由y=-x+4，得A（4，0），又二次函数图象经过点A，则0=-16+4（k+1）-k，解得k=4，所以二次函数解析式为y=-x2+5x-4（2）由，解得，所以点B的坐标为（2，2）（3）令y=0代入二次函数得x=1或x=4，则C点坐标为（1，0）令x=0代入2此函数得y=-4，则D点坐标为（0，-4）四边形面积为：（4-1）2+（4-1）4=9，若直线在点B的左侧，令

10、平行于y轴的直线交BC于E，交CA于F，交AD于G，求得BC的函数为y=2x-2则，同理求得AD的函数为y=x-4，AF=FG，设CF=a0，则EF=2a，AF=3-a，FG=3-a，SEFC+S四边形FCDG=SEFC+S梯形OFGD-SOCD=a2a+（3-a+4）（a+1）-14=，解得：a=（舍去）；若直线在点B的右侧，令平行于y轴的直线交AB于E，交CA于F，交AD于G，求得AB的函数为y=-x+4，则EF=FA，同理求得AD的函数为y=x-4，AF=FG，设AF=a0，则EF=a，AF=a，FG=a，SEFC+SAFG=aa+aa=3，解得：a=，EG=故线段长为8、如图，二次函数

11、y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是-1，点B的横坐标是2（1）求二次函数的表达式；（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值；（3）试确定以点A为圆心，半径为 的圆与直线OB的位置关系解：（1）把x=-1和x=2代入y=x+2，得A的坐标为（-1，1），B的坐标为（2，4）A，B在二次函数y=ax2+bx的图象上，解得，二次函数的表达式为y=x2；（2）如图，设四边形OABC的面积为S，点C的坐标为（t，t2），0t2，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足依次为A1，B1，C1，则OA1=1，AA1=1，OC1=t，C1C=t2，B1C1=4-t，BB1=4，于是，S=S梯形AA1B1B-SOC1C-S梯