电磁场与电磁波第5章.ppt

1、第5章静态场边值问题(一),高斯定理或安培环路定理可以用于求解简单或对称分布的静态场分布，但无法用于复杂的或非对称问题的求解。 工程中通常会遇到更复杂的情况，通常可以用求解边值问题的方法来求解。 求解边值问题的方法通常有解析法和数值法。,5.1 边值问题的分类,边值问题包括方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边界条件，根据在场域V的边界S上的边界条件，边值问题类型有： 第一类边值问题：其边界条件为,如果f1(S)=0称为齐次边界条件,狄里赫利问题,第三类边值问题：其边界条件为,纽曼问题,混合边值问题,第二类边值问题：其边界条件为,5.2.1 静电场的惟一性定理,边值问题的求解有多种方法，各种方法得

2、到的结果是否正确，需要有理论依据。 静电场唯一性定理的表述 区域V内的和 给定，边界S上给定f1(S)或f2(S)的值，则拉普拉斯方程或泊松方程的解惟一确定。 静电场惟一性定理的证明 设有两个解1和2，分别满足方程,5.2 惟一性定理,将上式在V上积分，得,对于第一类和第二类边值问题，在边界S上分别有,对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。,静电场惟一性定理综述,涵义：只要给定了边界条件，标量位拉普拉斯方程或泊松方程的解就是惟一确定的（至多相差一个常数） 意义：无论用什么方法求得拉普拉斯方程或泊松方程的解，只要满足给定的边界条件，所得的解就是正确的,5.2.2 静磁场的惟一性定理,静磁场惟一

3、性定理的表述 区域V内的J和给定，边界S上给定矢量位A或磁场强度H的的切向分量，则V内的磁场可惟一确定。 静磁场惟一性定理的证明 设有区域V内磁场存在两个解B1和B2，分别满足,由此构造一个新的场，即,且在边界上有,利用矢量恒等式可将上式变成以下两种形式：,考虑积分,要使积分为零，应有。可见，假设的两个解实际上是一个解。,5.3 镜像法求解静电场边值问题,当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷和极化电荷将影响场的分布。同样的，磁场分布也有类似问题。 此时，用高斯定理求解很困难，可以用镜像法进行求解。,q,q,非均匀感应电荷,等效电荷,非均匀感应电

4、荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,几个实例（以电场分布为例） 接地导体板附近有一个点电荷，如图。,5.3.1 镜像法的基本思想,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。 结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为一个或多个点电荷或线电荷的作用。 问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？,镜像法的理论依据 由惟一性定理，满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是相同的（至多相差一个常数），所以引入像电荷（等效电荷）后，

5、应该有 电位函数仍然满足原方程（拉普拉斯方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件 如果要使得这两个条件同时满足，需要合理地选择像电荷的位置和电量,理论依据,唯一性定理,解的可靠性,像电荷的确定,5.3.2 导体平面的镜像,点电荷对无限大接地导体平面的镜像 原问题,由图可知，接地导体板附近有一个点电荷时，电力线垂直导体板，等位线平行导体板。这是点电荷与导体板上的感应电荷共同作用的结果。,计算机模拟的接地导体板附近有一个点电荷时的电场分布图,显然可将感应电荷的作用用位于h的像电荷qq替代。,显然，满足边界条件，原问题不变，所得的解是正确的。,q,-h,考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z0区

6、域，原方程不变，且有,P,线电荷对无限大接地导体平面的镜像 原问题,显然可将感应电荷的作用用位于h处的像电荷ll替代。,显然，满足边界条件。 所以，原问题不变，所得的解是正确的。,考察原问题是否得到满足： 由于像电荷位于z0区域，原方程不变，且有,P,点电荷对相交半无限大导体平面的镜像,q3,设：两个半无限大导体平板相互垂直相连且接地，点电荷q位于(d1，d2)处。,对于平面2，有镜像电荷q2 =q ，位于d2。,显然，q1对平面2、 q2对平面1不能满足边界条件。 只有再加上q3后，所有边界条件才能得到满足。,r,r1,r2,r3,对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于d1。,P,用计算机模拟

7、的，当夹角为60的两个半无限大接地导体平板之间有一个点电荷q时，镜像电荷的位置示意图,由图可知，点电荷q共有5个像电荷 6个电荷两两成对地分别构成两个平面（包括平面的延伸部分）的镜像关系，缺一不可,例1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，（外力）需要做多少功？。,解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q移至无穷远时电场力所做的功。 由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷qq替代。当电荷q位于x时，像电荷q应位于x，则有,5.3.3 导体球面的镜像,点电荷对接地导体球面的镜像 原问题,用镜像法求空间任意点的电位，

8、可将镜像电荷q选择在导体球内（显然不影响原方程），则有,利用边界条件可以确定未知的d2和q。,a,q,q,d2,a,R0,P,d1,O,令ra，此时有R=R0，R=R0。由球面上电位为零，即0，得,此式在整个球面上都成立。成立的条件是什么？,所以，使R0与R0之比为常数的条件是,像电荷的位置,像电荷的电量,1,用计算机模拟的，接地导体球旁有一个点电荷q时，空间的电位、电场分布图,由图可知，点电荷q产生的电力线只有一部分终止在导体球上，另一部分延伸至无穷远。所以,点电荷对接地空心导体球壳的镜像 原问题,r,P,用镜像法求空间任意点的电位，显然应该将镜像电荷q选择在导体球外，有,利用点电荷在球外时

9、的结果，得,| q|q|，可见球外的电荷量大于球内电荷量（绝对值） 像电荷的位置和电量与外半径b无关（为什么？）,用计算机模拟的，接地空心导体球壳中有一个点电荷q时，球内空间的电位、电场分布图,由图可知，点电荷q在内球面将产生电量为q的非均匀感应电荷 但是，感应电荷的总量不等于镜像电荷，也就是说，用镜像电荷替代感应电荷，只是作用上的等效,点电荷对不接地导体球的镜像 原问题,如果在导体内放置镜像电荷q，满足导体面等位的条件。,但此时导体上的总电量不再等于零。所以，还需要在球心处再加上一个像电荷q。,显然，导体球仍然保持等位。空间任意点的电位为,5.3.4 导体圆柱面的镜像,线电荷对接地导体圆柱面

10、的镜像 原问题,选择镜像电荷ll，且位于导体柱内。另外，将电位参考点选择在柱面上的任意点Q处，得柱外的电位分布为,令r a， 0，则在柱面上有,两平行圆柱导体的电轴（双圆柱导体的镜像）,由于两圆柱上电荷的相互作用与影响，电荷分布不再均匀。由于两柱上带有的正负电荷将相向吸引，电荷中心会向另一柱体方向移动，形成相距2b的两个镜像线电荷。,为了保持导体面等位，根据圆柱镜像的结果，得,5.3.5 介质平面的镜像,点电荷对介质分界平面的镜像 原问题,电荷q产生的电场将使两介质极化，从而在分界面上产生不均匀的极化电荷。极化电荷对两个区域中的电位都有贡献。 可以用镜像电荷来等效极化电荷所产生的电位：,区域1

11、的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q共同产生,区域2的电位由q和位于区域1中的镜像电荷 共同产生,利用z=0平面上的边界条件，得,线电流对磁介质分界平面的镜像 原问题,电流I产生的磁场将使两介质磁化，从而在分界面上产生不均匀的磁化电流。磁化电流对两个区域中的矢量位都有贡献。 可以用镜像电流来等效磁化电流所产生的矢量位：,矢量位方向与电流方向一致,5.4 镜像法求解静磁场边值问题,区域1的矢量位由I和位于区域2中的镜像电流I共同产生,区域2的矢量位由I和位于区域1中的镜像电荷 共同产生,利用z=0平面上的边界条件，得,假设与I的方向相同,镜像（电荷或电流）选择综述,为满足原方程，镜像（电荷或电流

12、）应选择在所讨论的区域以外 镜像（电荷或电流）的选择应保持原边界条件不变 镜像（电荷或电流）只对所讨论的区域有效,例1 在内外半径分别为a和b的导体球壳（不接地）中，有一个电荷q，求空间的电位分布。,解：在导体球的内表面，将出现总量为q的非均匀感应电荷，在导体球的外表面出现总量为q的均匀电荷。所以，当rb时，电位分布为,对于ra的球内空间，为保证导体球面等位，应选择像电荷q（满足球面镜像关系），有,此电位在导体球上为零，不符合事实。为解决矛盾，应该在此式中再加上球，有,用计算机模拟的，不接地空心导体球壳中有一个点电荷q时，球内外空间的电位、电场分布图,点电荷q在内球面将产生电量为q的非均匀感应

13、电荷 球的外表面有均匀分布的电荷，总量为q，球外空间的电位分布与均匀带电导体球相同 球内空间的电位分布与接地空心导体球内的分布类似,5.5 分离变量法,分离变量法是求解边值问题最经典的方法，它属于解析法的一种，可以给出解的精确表达式。 但由于要求边界应与某一正交曲面坐标系的坐标重合，分离变量法的应用范围有限。,5.5.1 拉氏方程的通解,直角坐标系,正弦余弦函数的线性组合, = 0, = 0,极坐标系（或柱坐标与z无关，即无穷长圆柱问题）,球坐标系（与无关）,其他情况（柱坐标系、球坐标系）,5.5.2 边界条件,可分为两大类：自然边界条件、电磁边界条件 自然边界条件 从物理观点出发，电磁场应满

14、足的条件 周期性(在极坐标系中，和+2k 处的场应该相同) 令=+2k (k=1,2,3, )，代入极坐标系通解中，显然为满足周期性条件，应有B0=0，且为满足, = n(n =1,2,3, ),对称性(因激励源和边界形状等因素，场具有一定对称性) 例1：对于柱坐标系，如图。r相同，和处的场相等，即电位对于为偶函数，只取cosn项，得,例2：如图导体柱面，反对称，奇偶函数，只取sinn项，得,有限性(电位在没有源的地方应该为有限值) 例3：外场中的介质球，表面极化电荷也会产生电位。由于无穷远处只剩下外电场，且球心处电位应为有限值，则有,例4：例2中的导体柱面，设柱面半径为a，使用有限性，得,结论：通解不涉及任何物理规律。而自然边界条件从物理规律出发，可将通解化简,电磁边界条件 利用自然边界条件化简得到的解仍然是通解，满足拉氏方程，但还不能说一定是电磁场边值问题的解。 由唯一性定理，拉氏方程的解只要满足给定的电磁场边界条件，解就是正确的。所以，拉氏方程的通解还必须利用电磁场边界条件才能成为真正电磁场边值问题的解。 令通解满足电磁场边界条件，定出相应的系数，即可得最后的解。电磁边界条件可分为两大类。 客观边界条件：所有电磁问题都满足的边界条件，如,介质表面,导体表面,问题给定的边界条件：不同问题，形式不同,实例 例5：外场中的介质球问题(例3)