第5章(误差基本知识 )

1、1,测量误差及其产生的原因 测量误差的分类与处理原则 偶然误差的特性 精度评定的指标 误差传播定律及其应用,第五章 测量误差基本知识,本章主要内容如下：,2,1、偶然误差与系统误差的定义？ 2、偶然误差的特性？ 3、等精度观测值中误差的计算？ 4、误差传播定律？,3,一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。 用数学式子表达： i = Li X (i=1,2n) L 观测值 X真值,5-1 测量误差概述,1、仪器的原因 仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。,二、测量误差的来源 测量误差产生的原因很多

2、，但概括起来主要有以下三个方面：,4,例如： DJ6型光学经纬仪基本分划为1，难以确保分以下 估读值完全准确无误。 使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。,仪器构造本身也有一定误差。 例如： 水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角误差或交叉误差。 水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。,5,2、人的原因 观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。,人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。,3、外界条

3、件 例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。,6,三、测量误差的分类,先作两个前提假设： 观测条件相同. 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。,7,先看两个实例： 例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。 丈量结果见下表5-1： 表5-1,可以看出： 误差符号始终不变，具有规律性。 误差大小与所量直线成正比，具有累积性。 误差对观测结果的危害性很大。,8,例 2： 在厘米分划的水准尺

4、上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。 大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。,可以看出： 从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。 多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。,9,1.系统误差 - 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 系统误差具有规律性。,2.偶然误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差

5、”。 个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。,3.粗差-观测中的错误叫粗差。 例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。 错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。 一旦发现，应及时更正或重测。,引进如下概念：,10,(二) 测量误差的处理原则,在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。 系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。 对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。 消除系统误差的常用的有效方法： 检校仪器：使系统误差降低到最小程度。 求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。 采用合理的观测方法：如对向观测。 研究

6、偶然误差是测量学的重要课题。 消除或削弱偶然误差的有效方法： 适当提高仪器等级。 进行多余观测，求最或是值。,11,四、 偶然误差的特性,若i= Li X （i=1,2,3,358）,表5-2,12,从表5-2中可以归纳出偶然误差的特性, 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小； 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率； 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。 用公式表示为： 实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。,13,-24-21-

7、18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 图5-1 频率直方图,为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表5-2的数据作误差频率直方图(见下图)。,14,若误差的个数无限增大(n)，同时又无限缩小误差的区间d，则图5-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。 即当n时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。 正态分布曲线的数学方程式为 : (5-3) 为标准差，标准差的平方为 方差。 方差为偶然误差平方的理论平均值：,15,从5-

8、3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即: 1.f()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f()相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。 2.愈小，f()愈大。当=0时，f()有最大值; 反之，愈大，f()愈小。当n时，f() 0,这就是偶然误差的第一和第二特性。 3.如果求f()二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标： 拐= 如果求f()在区间 的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特征。,16,f(),+,-,1,1

9、,1,2,1,-,+,f(),2,+,-,2,2,1,2,2,1,17,观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ； 观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ； 具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降； 具有 较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。,最大纵坐标点：,18,5-2 衡量观测值精度的标准,一.中误差 误差的概率密度函数为： 标准差,在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式： 标准差中误差 m 的不同在于观测个数 n 上； 标准差表征了一组同精度观测在(n)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指

10、标； 而中误差则是一组同精度观测在为 n 有限个数时求得的观测精度指标； 所以中误差是标准差的近似值估值； 随着 n 的增大，m 将趋近于。,19,必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为 第一组： +3, -2, -4,+2,0,-4,+3, +2, -3, -1； 第二组： 0, -1, -7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1. 试求这两组观测值的中误差。 由 解得：m1=2.7 m2

11、=3.6 可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。,20,二、容许误差（极限误差）,根据正态分布曲线，误差在微小区间d中的概率： p()=f() d 设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为： 分别以k=1,2,3代入上式，可得： P(m)=0.683=68.3 P(2m)=0.955=95.5 P(3m)=0.997=99.7 由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3。 由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到， 故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或 称为“限差”即容=2m,21,三、相对误差,在某些

12、测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。 例如: 用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误差都是2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。 为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。 相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即 。 上例为 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可见: 前者的精度比后者高。 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。,22,5-3 误差传播定律 在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由

13、观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1hn求和得出的。这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？ 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。,23,一、倍数的函数 设有函数： Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。 设x和z的真误差分别为x和z则： 若对x 共观测了n次，则： 将上式平方，得： 求和，并除以n，得,24,即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。,因为：,所以：

14、,25,例： 在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间的距离SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。 解：由题意： SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500（士0.2） =土100mm土0.1m 最后答案为：SAB=11.7m士0.1m,26,二、和或差的函数 设有函数： Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。 设x、y和z的真误差分别为x、y和z则 若对x、y 均观测了n次，则 将上式平方，得,27,由于x、y均为偶然误差

15、，其符号为正或负的机会相同，因为x、y为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积xy也具有正负机会相同的性质，在求xy时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时，上式中最后一项xy/n将趋近于零，即,求和，并除以n，得,28,将满足上式的误差x、y称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量， 由于 式残存的值不大， 一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得,即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。,29,当z是一组观测值X1、X2Xn代数和（差）的函数时，即,可以得出函数Z的中误差平方为：,式中mxi是观测值xi

16、的中误差。 即，n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。,30,当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即 mx1=mx2=mxn=m则为 这就是说，在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。 例设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。 解：因为全长S=LLL（式中共有n个L）。而L的中误差为m。 量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。,31,例如以 30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺段量距的中误差为5mm时，全长的中误差为,32,当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距

17、中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为 式中，S的单位是公里。 即：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。,33,例: 为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差。 解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l，2n）之和， 即: hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 则 即水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。,34,在不同的水准路线上，即使两点

18、间的路线长度相同，设站数不同时，则两点间高差的中误差也不同。但是，当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为,即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。,或,35,在水准测量作业时，对于地形起伏不大的地区或平坦地区，可用 式计算高差的中误差； 对于起伏较大的地区，则用 式计算高差的中误差。,例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，每公里高差的中误差为20mm，则按这种水准测量进行了25km后，测得高差的中误差为,36,三、线性函数 设有线性函数： 则有 例 设有线性函救 观测量的

19、中误差分别为， 求Z的中误差,37,四、一般函数,式中 xi (i=1，2n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=1 2n)，求z的中误差。 当xi具有真误差时，函数Z相应地产生真误差z。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。,38,式中 （i=l，2n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为：,39,例 设有某函数z=Ssin 式中S=150.11m，其中误差ms=士005m； =1194500，其中误差m=20.6；求z的中误差mz。 解：因为z=Ssin，所以z是S及a的一般函数。,40,求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式： 2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式： 式中， 是用观测值代入求得的值。 3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：,41,5-3 算术平均值及其中误差,设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为L1、L2L