七年级数学上册 2.8 有理数的加减混合运算导学案 华东师大版

1、 湖北省武穴市实验中学七年级数学上册湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2.82.8 有理数的加减混合运有理数的加减混合运 算导学案算导学案 华东师大版华东师大版 【目标概览】 在实际生活中有理数的运算常常混合着各种运算，本节将探讨有理数的加减混合运算： 理解有理数加法与减法互相转化 了解代数和的概念 把一个加、减混合运算的式子写成省略加号的和的形式 熟练掌握有理数加减混合运算及其运算顺序 能灵活地运用加法运算简化运算 掌握数学中转化思想 【思考交流】 如果有足够的 5 分、2 分、1 分的人民币现要换成 1 角的人民币，有多少种换法？试 写出来。 【学法指律】 既然有理数的减法可以转化为有理

2、数的加法因此有理数的加减混合运算则可以转化只 含有加法的运算，然后运用加法运算法则进行运算，同时把有理数的加减混合运算统一成 加法运算后，要尽可能地运用加法的交换律结合律进行运算。初学有理数的加减混合运算 极容易发生错误，因此应养成严格的解题程序，先确定运算顺序，再确定每一个符号，最 后进行计算，以提高运算能力。 【知识导学】 本节的重点是代数和的概念，把有理数加减混合运算统一成加法运算，灵活应用运算 律，难点是省略加号（即省略括号的和的形成）计算及运算律的应用，因此在学习这一节 之前，必须对有理数的加法法则和有理数减法法则把握准确。对于有理数的减法运算，我 们通常要根据有理数的减法法则，将减

3、法转化成加法那么对于有理数加减法的混合运算， 就可以统一成加法也就是把式子转化成几个正数或负数的和的形式，此时我们把这样的式 子叫做代数和。有理数的加减混合运算是初中数学的重要运算，进行运算时，为简便运算， 常利用加法的交换律和结合律，交换加数的位置，但在运用运算律时，要连同它前面的符 号一起交换。 本节的主要考点是有理数的加减混合运算主要考查能否熟悉省略加号和括号形式的代 数和，能否熟练掌握和灵活运用减法法则、加法法则及加法运算律。 知识点一：代数和的定义及引入 代数和与小学时学过的和有区别，小学时“和”是一个具体的数，并且和一定不小于 任何一个加数，而代数和表示有理数的加法运算，也表示相加

4、的结果， （尤以字母表示加 法时）有理数的和可以大于任何一个加数，也可以小于任何一个加数，可能是正数、负数 或零，在代数里，有了代数和，一切加法和减法运算，都可以统一成加法运算，在一个代 数和里，通常有的加号可以省略，每个数的括号也可以省略。 误区警示：有理数的加减法混合运算很容易使人在符号问题上发生错误“代数和”的引入 可以让我们科学地解决这个问题。 知识点二：有理数加减混合运算的方法和步骤 第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 第二步：运用加法法则，加法交换律，加法结合律简化运用。 方法规律：学习本节时应注意以下问题： 交换加数位置时，一定要连同前面的符号一起移动。 若

5、需添加括号，一定要连同加数前面的符号一起括号内，并将原先省略的加号写出 来。 几个有理数相加运算律时，可先把相加得零分母中含有倍数关系的数结合起来 初学有理数的加减混合运算极易出现错误而且还将直按影响后有理数的加减乘除混 合运算，故应养成先确定运算顺序，再确定每一个符号，最后计算结果的习惯，提交运算 能力。 【技巧解悟】 一考查代数和的定义及写法 例 1：将下列各式写成代数和的形式 1：-2+（-1.2）-(3)-(1.5)+0 5 2 2 1 2:0-5+(-3.6)-(-6)-(+7.2) 5 1 2 1 解析:既然数的加法,减去或加减法混合运算都可以统一成加法运算. 答案(1)原式=(-

6、2)+（-1.2）+(-3)+(-1.5)+0 5 2 2 1 (2)原式=0+(-5)+(-3.6)+(+6)+(-7.2) 5 1 2 1 方法规律:利用有理数减法法则进行转化 二考查有理数加减混合运算省略括号的和的形式的应用 例 2:把下列各式写成代数和的形式并说出它们的两种说法 (-7)+(-3)-(-6)-(+5)+(+9) -(5)+(-3)-(+7)+(+4) 4 1 2 1 7 2 5 2 解析:运用有理数减法法则把减法转化为加法运算,写成省略括号的和的形式. 答案(1)(-7)+(-3)-(-6)-(+5)+(+9)=(-7)+(-3)+(+6)+(-5)+(+9)=-7-3

7、+6-5+9 读法:负 7 减 3 加 6 减 5 加 9 读法:负 7 负 3,正 6,负 5,正 9 的和 (2)-(-5)+(-3)-(+7)+(+4)=(+5)+(-3)+(-7)+(+4) 4 1 2 1 7 2 3 2 4 1 2 1 7 2 3 2 =5-3-7+4 4 1 2 1 7 2 3 2 读法5减 3减 7加 4 读法正 5负 3负 7正 4的和 4 1 2 1 7 2 3 2 4 1 2 1 7 2 3 2 释疑解惑:在将算式转化为加法时,实质上是利用减法法则将减法转化为加法。在式 中,第一个数-(-5),可以理解为-5的相反数,也可理解为减去-5,结果均为 5. 4

8、 1 4 1 4 1 4 1 例 3:把-2-(+3)-(-5)+(-4)+(+3)写成省略加号的和的形式,正确的是( ) A.-2-3-5-4+3 B.-2+3+5-4+3 C.-2-3+5-4+3 D.-2-3-5+4+3 算式-3-5 不能读作（ ） A.-3 与 5 的差 B.-3 与-5 的和 C.-3 与-5 的差 D.-3 减去 5 三个数-15,-5,+10 的和,比它们的绝对值的和小( ) A.-20 B.20 C.-40 D.40 两数相减后的差比被减数还大,那么减数应该是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.不确定 解析(1)先把减法写成加法形式,然后省略加号与括号 (

9、2)A 与 D 两种读法一样,A 与 B 分别表示该算式的两种读法 (3)分别计算这三个数之和及三个数的绝对值之和 (4)一个数减去一个数,越减越大,说明减去的一个数是负数 答案:C C D B 误区警示: 题中 A 错在-5 B 错在第一个+3 D 错在-5+4 题中的 C 列成算式为-3-(-5)=-3+5 题中一个数只有加上一个正数才能越加越大 例 4:5-(-3)-(+7)-2=5+ - - +- 2 1 3 1 2 1 3 1 与-7的和为正数的整数中,最小的是 5 2 一个加数是|-1.2|的相反数,和为-2.5 则另一个加数是 若 a则|1-a|= 解析：题先将要变化的式示写成省

10、略括号的和的形式，进行比较分析 中应先找出所有符合条件的数然后从这些数中找出这些数中最小的整数 题用和减去已知的加数 题中由 a1 判断 1-a 的正负，再根据绝对值的代数定义，将绝对值去掉 答案3，7，2 8 -1.3 a-1 答案点拨： 题中，3 与同号 2 与同号，答案中 7 与 2 的位置可调换，但按照从左到右的顺序， 2 1 3 1 一般把 7 写在前面，2 写在后面即可。 题中，与-7的和为正数的条件是大于 7在这些数中，最小的整数为 8。 5 2 5 2 题中的一个加数是|1.2|的相反数即为-1.2。 a1 则 1-a0 即 1-a 是一个负数,从而它的绝对值应是它的相反数,即

11、-(1-a)=a-1 【能力拓展】 综合题 例 1：计算 3.75-(-)-(+4)+(-)+(-6) 2 1 3 2 2 1 4 3 7-4-18+6 8 3 2 1 4 1 2 1 解析:先将加减法统一成加法,再按有理数加减混合运算的步骤进行;(1)题将同分母分数 结合在一起先加;(2)题将带分数拆成整数与分数的和的形式再相加. 答案: (1)原式=3+-4-6=(3-6)+(-)-4=-3+0-4=-7 4 3 2 1 3 2 2 1 4 3 4 3 4 3 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 (2)原式=7+-4-18-+6+ 8 3 2 1 4 1 2 1 =(7+6-4-18)

12、+(-)+(-)=-9+0+=-8 2 1 2 1 8 3 4 1 8 1 8 7 误区警示:将负的带分数拆成整数与分数的和时,要注意分数的符号也为负如-4=-4 2 1 不能写成-4=-4+ 2 1 2 1 2 1 创新题: 例 2:计算(-0.5)-(-3)+3.75-(+8) 4 1 2 1 解析:按加减法混合运算的方法,在减法,加法后可用运算律进行简便运算,可考虑将(1)中 各加数统一成分数再相加,(2)把 各加数统一成小数再相加,(3)将小数分数分别结合再相加 (4)将名加数折成整数与小数的和再相加. 答案: 解法一:(-0.5)+(-3)+3.75-(+8) 4 1 2 1 =-+

13、3+3-8 2 1 4 1 4 3 2 1 =(-8)+(3+3) 2 1 2 1 4 1 4 3 =-9+7=-2 解法二: (-0.5)+(-3)+3.75-(+8) 4 1 2 1 =-0.5+3.25+3.75-8.5 =(-0.5-8.5)+(3.25+3.75) =-9+7=-2 解法三: (-0.5)+(-3)+3.75-(+8) 4 1 2 1 =-0.5+3+3.75-8 4 1 2 1 =(-0.5+3.74)+( 3-8) 4 1 2 1 =3.25-5=-2 4 1 解法四：(-0.5)+(-3)+3.75-(+8) 4 1 2 1 =-0.5+3+3.75-8 4 1

14、 2 1 =（3+3-8）+（-0.5+0.75-）=-2 4 1 2 1 名师点拨:进行有理数的加减混合运算一定要小心地处理符号. 熟练地运用运算律可有效地简化解题过程,有利于学生思维能力和运算能力的 培养. 【探究体验】 例 1：计算：|-7+4|-|-18|+|-6-| 8 3 2 1 4 1 2 1 解原式=7-4-18+6+、 、 、 、 、第一步 8 3 2 1 4 1 2 1 =（7+6-4-18）+（-）+（-） 、 、 、 、 、第二步 2 1 2 1 8 3 4 1 =-9+0+=-8 8 1 8 7 回答：上述解答过程是否有错误 。 得到第一步的理由是 。 把第二步的解法

15、用一句话概括出来 。 解析：本题综合考查绝对值，相反数，加法减法混合运算等知点 答案：没有错误 绝对值的性质 运用加法运算律，把整数、分数分别相加 经验技巧：解阅读理解题要把题中提出的问题及方法进行细心地检查，有的时候优其在平 时练习时要自己做一遍，只有自己做一遍才能其正地感知知识的难点及可能出现的问题。 图表信息题： 例 2：M 国股民吉姆在上周五买进某公司股票 1000 股，每股 27 元，下表为本周内每日 该股票的涨跌情况（单位：元） 星期一二三四五 每股涨跌+4+4.5-1-2.5-4 (1) 星期三收盘时,每股是多少元? (2) 本周内每股最高价多少元?最低价多少元? (3)已知吉姆

16、买进股票时付了 1.5%。的手续费,卖出时还需付成交额 1.5%。的手续费和 1%。的交易税，如果吉姆在周五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 解析：本题考查，正、负数的实际意义，解题关键认准表中，正、负号的意义，按股市 交易的原则每天的收盘价均是以前一天的标准来确定涨跌的所以解题时不能误认为每一天 的涨跌是以买进时，每股 27 元价为基准。 答案：（1）星期三收盘时每股价为 27+4+4.5+(-1)=34.5 元 (2)本周内每股最高价是 35.5 元每股最低价是 28 元 (3) 周五每股卖出价为 27+4+4.5+(-1)+(2.5)+(-4)=28 元 共收益 281000(1

17、-1.5%-1%)-271000(1+1.5%)=889.5 元 所以吉姆共收益 889.5 元 试题点评:从这里可以看出,了解现实生活的规则对解题十分重要,联系实际的应用题渗 透到生活的方方面面,与我们的生活息息相关 【习题解疑】 P46 练习 （-12）-（+8）+（-6）-（-5）=-12-8-6+5 读作：-12，8，-6，+5 的和或-12 减 8 减 6 加 5 （+3.7）-(-2.1)-1.8+(-2.6)=3.7+2.1-1.8-2.6 读作:+3.7,+2.1,-1.8,-2,6 的和或 3.7 加 2.1 减 1.8 减 2.6 (-16)+(+20)-(+10)-(-1

18、1) =(-16)+(+20)+(-10)+(11) =4+(-10)+(+11)=(-6)+(+11)=+5 (+)-(-)+(-)-(+) 2 1 3 1 4 1 6 1 =(+)+(+)+(-)+(-) 2 1 3 1 4 1 6 1 =+(-)+(-) 6 5 4 1 6 1 =+(-)= 24 14 6 1 24 10 12 5 P47 练习: 不正确 1-4+5=1-4-4+5 不正确 1-2+3-4=-2+1-4+3 正确 不正确-+-=-+- 3 1 4 3 6 1 4 1 4 1 4 3 3 1 6 1 0-1+2-3+4-5 =(-1)+(-1)+(-1)=-3 -4.2+

19、5.7-8.4+10.2 =(-4.2-8.4)+(5.7+10.2)=-12.6+15.9=3.3 -30-11-(-10)+(-12)+18 =-30-11+10-12+18 =(-30-11-12)+(10+18)=-53+28=-25 3-(-2)+(-)-(+) 2 1 4 1 3 1 4 1 6 1 =3+2- 2 1 4 1 3 1 4 1 6 1 =(3+2)+( +-)=5 2 1 4 1 3 1 4 1 6 1 P47 习题 2.8 (-7)-(-10)+(-8)-(+2) =(-7)+(+10)+(+8)+(-2) =(-7-8-2)+(+10) =(-17)+(+10)

20、=-7 1+(-1)-(-)-(+) 2 1 2 1 4 1 =1+(-1)+(+)+(-) 2 1 2 1 4 1 =(1-1)+(- +-)=- 2 1 2 1 4 1 4 1 (+)-(-2)+(+ ) 2 1 2 1 =(+)+-1=2 2 1 2 1 (-1.2)+1-(-0.3) =(-1.2)+1+(+0.3)=(-1.2)+1.3=0.1 (+16)+(-29)-(-7)-(+11)+(+9) =16-29+7-11+9 =16+7+9-29-11 (-3.1)-(-4.5)+(+4.4)-(+1.3)+(-2.5) =-3.1+4.5+4.4-1.3-2.5 =(-3.1-1

21、.3+4.4)+(-2.5+4.5) (+1)-(+5)+(-)-(+)+(-5) 4 1 3 1 4 1 3 2 =+1-5-5=(1-)-5+(-5) 4 1 3 1 4 1 3 2 4 1 4 1 3 1 3 2 (-2.4)-(-4.7)-(+0.5)+(+3.4)+(-3.5) =-2.4+4.7-0.5+3.4-3.5 =(-2.4+3.4)+4.7+(-0.5-3.5) -3-4+19-11+2 =(-3-4-11)+(19+2)=-18+21=3 10-24-15+26-42+18 =(10+26+18)+(-24-15-42)=54+(-61)=-7 -4.2+5.7-7.6

22、+10.1-5.5 =(-4.2-7.6-5.5)+(5.7+10.1) =-17.3+15.8=-1.5 1-+=+= 2 1 3 1 2 1 3 1 6 5 (-52)+(-19)-(+37)-(-24) =-52-19-37+24=-108+24=-84 (-)-(-3)+(+2)-(+5) 2 1 4 1 4 3 2 1 =-+3+2-5 2 1 4 1 4 3 2 1 =(-5)+(3+2)=-6+6=0 2 1 2 1 4 1 4 3 13-26-(-21)+(-18) =13-26+21-18=13-29=-16 1.4-(-3.6+5.2)-4.3-(-1.5) =1.4-1.

23、6-4.3+1.5 =-4.5+1.5=-3 |-2|-(-)+1-|1-| 4 1 4 3 2 1 =2+1-=3 4 1 4 3 2 1 2 1 (-1)-(-)=-1+=- 12 5 12 5 12 7 -1-(-)+ 6 5 6 1 =-1-1+=- 3 2 3 2 3 1 (-4)+5+(-7)=-6 |-4|+|5|+|-7|=-6 -6-16=-22 这三个数的和比这三个数的绝对值的和小 22 1-2+3-4+、 、 、 、 、 、+99-100 =（-1）+（-1）+、 、 、 、 、 、+（-1） =-50 【自主评价】 一基础题： 24-（-33）= 。 （ ）-（+）=-

24、4 0-（+3）= 。 3 1 2 1 把下列算式的减法转化为加法，并写成省略加号的和的形式。 （-7）-（-8）+（-2）-（-12）+（+3）= 。 （-6.3）-(-7.5)-(-2)+(-1.2)= 。 0-（+8）-（-2.5）-(+5)= . 用算式表示: 负 20,正 15,负 40,负 15,正 14 的和: 。 40 减 35 加 12 减 16 减 4: 。 下列说法正确的是( ) A.两个数之差一定小于被减数 B.减去一个负数,差一定大于被减数 C.减去一个正数,差不一定小于被减数 D.0 减去任何数,差都是负数 下列各式运算结果正确的是( ) A.-1-1=0 B.-1

25、-1=2 C.-=- D.(-5)-(-2)+(-3)=-10 4 1 4 3 2 1 若三个不等的有理数的代数和为 0,则下面结论正确的是( ) A.三个加数全为 0 B.最少有两个加数是负数 C.至少有一个加数是负数 D.最少有两个加数是负数 -7,-12,+2 的代数和比它们的绝对值的和小 A.-38 B.-4 C.4 D.38 计算: (+3)-(-15)-(-3)+(-15) 4 1 8 1 -5+8-12+7- 3 1 -3-(-4-3) 7 5 2 1 2 1 -3.74-(-3.74+17.8) 6 5 6 5 二拓展题: 若 a=13,b=12.1,c=-10.6，则 a-(

26、b+c)= 。 绝对值不小于 2，且小于 6 的所有整数之和为 。 -1+3-5+7-9+、 、 、 、 、 、-97+99= 。 若|a-1|+|b+3|=0，则 b-a-= 。 2 1 a,b,c,d 在数轴上位置如图所示，且|a|=|b|,|d|c|a|，下列各式正确的是（ ） A.a+b=0 B.dcba C.a+c0 D.b+c0 若|a|=3,|b|=1,|c|=5,且|a+b|=a+b,|a+c|=-(a+c),求代数式 a-b+c 的值。 【自主评价】 57 解析：24-（-33）=24+33 -3 解析：（-4）+（+）=-3 3 2 3 1 3 2 -3 解析：0-（+3）

27、=0+（-3） 2 1 2 1 2 1 （-7）-（-8）+（-2）-（-12）+（+3）=-7+8-2+12+3 （-6.3）-(-7.5)-(-2)+(-1.2)=-6.3+7.5+2-1.2 0-(+8)-(-2.5)-(+5)=0-8+2.5-5 -20+15-40-15+14 40-35+12-16-4 C 解析:根据有理数减法法则,用特殊值求解. C 解析:A,B 中-1-1=-2 D 中(-5)-(-2)+(-3)=(-5)+(+2)+(-3)=-6 C 解析:三个不等的有理数之和为零,至少一个加数是负数,也至少一个加数是正数. D 解析:(-7)+(-12)+(+2) |-7|

28、+|-12|+|+2|=21 解析:(+3)-(-15)-(-3)+(-15) 4 1 8 1 =3+15+3-15=(3+3)+(15-15)=6 4 1 8 1 4 1 8 1 8 3 -5+8-12+7- 3 1 =（-5-12）+（8+7）- 3 1 =-17+15-=-2 3 1 3 1 -3-（-4-3） 7 5 2 1 2 1 =-3-（-8）=-3+8 7 5 7 5 a-(b+c) =13- 12.1=(-10.6) =13-1.5=11.5 这些整数分别为：2.3.4.5. 它们之和为 0 -1+3-5+7-9+-97+99 =（-2）+（-2）+（-2）=-100 a=1

29、.b=3 b-a-=-3-1-=-4 2 1 2 1 2 1 A：解析：根据绝对值意义解之 解析：|a|=3. |b|=1. |c|=5 a=3. b=1. c=5. |a+b|=a=b 故 a+b0 |a=c|=-(a+c)故 a+c0 a=3 a=3 b=1 b=1 c=-5 c=-5 a-b+c=3-1-5=-3 或 a-b+c=3-(-1)+(-5)=3+1-5=-1 【资料交流】 题 1 在下式等号的左边添上+、-、 （）中适当的符号、使算式成立： 12 3 4 5 6 7 8 9 = 100 分析：这九个数字 19 的和等于 45，故至少须把两个数字合在一起组成一个两位数， 如 8

30、9，那么只要添加、减号使 1 2 3 4 5 6 7 = 11 即可，若 7 的前面是“+” 号，只需添加、减号使 1 2 3 4 5 6 = 4；若 6 的前面是“-”号，只须添加、 减号使 1 2 3 4 5 = 10；此时 5 的前面一定是“+”号，只须添加、减号使 1 2 3 4 = 5. 由于 12 3 4 = 5，逆推回去得 12 3 4 + 5 6 + 7 + 89 = 100. 同理用此逆推法得到许多不同的答案： 12 + 3 + 4 + 5 6 7 + 89 = 100; 1 + 2 + 3 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100; 1 + 2 + 34 5 + 67 8 + 9 = 100; 1 + 23 4 + 5 + 6 + 78 9 = 100; 12 + 3 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100; 1 + 23 = 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100 如果引进三位数，还可以得到许多不同的答案： 123 4 5 6 7 + 8 9 = 100； 123 + 45 67 + 8 9 = 100； 123+4-5+67-89=100； 如果引用乘法，可以得到许多不同的答案： 123+4+5+6+7+89=100； 1+2+3+4+5+6+7+89=100； （1+2+3+4+5）