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文档简介

1、8,一般周期函数的傅里叶级数,一、,周期为,的周期函数的傅里叶级数,定理,设,是周期为,的周期函数，,且满足收敛定理的条件，,则它的傅里叶级数,在,上收敛,且,(1),(2),当,为连续点时，,级数收敛于,为间断点时，,级数收敛于,当,其中,(1),(2),证,作换元,，则在此变换下,区间,变为,区间,是周期为,的周期函数,可以验证：,的傅氏级数,在,上收敛，且,其中,(*),由,与,复合而成,是,的连续点,是,的连续点,由,与,复合而成,是,的连续点,是,的连续点,即：,是,的连续点,是,的连续点,将,代入,(*)式，,得,的连续点,是,的间断点,是,其中,即(1)(2)式。,证毕。,说明,

2、(1),当,上是奇函数时，,奇函数的傅氏级数是正弦级数,在,(3),其中，,按(3)式计算。,当,上是偶函数时，,偶函数的傅氏级数是余弦级数,在,(4),其中，,按(4)式计算。,(2),若,只在,上有定义，,且满足收敛,定理的条件，,也可将它展开为傅氏级数。,方法：,首先，,将,进行周期延拓，,将它,拓广为周期为,的周期函数,；,然后,将,展开成傅氏级数；,最后，,再将,限制在,上，,就得到,的傅氏级数,展开式。,即：,按(1)、(2)式求出,从而得到,的,傅氏级数,在点,，,是,的连续点时，,级数收敛于,；,是,的间断点时，,级数收敛于,在端点,，,级数收敛于,(3),若,只在,上有定义，

3、,且满足收敛,定理的条件，,可将它展开成正弦级数和余弦,首先，,将,进行奇延拓，,将它拓广,为,上的奇函数,；,然后，,将,展开成傅氏级数(正弦级数)；,最后，,再将,限制在,上，,就得到,的正弦级数,即：,级数。,展开成正弦级数的方法：,展开式。,按(3) 式求出,从而得到,的正弦级数,在点,，,是,的连续点时，,级数收敛于,；,是,的间断点时，,级数收敛于,在端点,，,级数收敛于,首先，,将,进行偶延拓，,将它拓广,为,上的偶函数,；,然后，,将,展开成傅氏级数(余弦级数)；,最后，,再将,限制在,上，,就得到,的余弦级数,即：,展开成余弦级数的方法：,展开式。,按(4) 式求出,从而得到

4、,的余弦级数,在点,，,是,的连续点时，,级数收敛于,是,的间断点时，,级数收敛于,在端点,，,级数收敛于,，,级数收敛于,例1,设,是周期为,的周期函数，,它在,上的表达式为,将,展开成傅氏级数。,解,满足收敛定理的条件，,它在点,处间断，,在其它点处连续。,由收敛定理，得,当,时，,傅氏级数收敛于,当,时，,傅氏级数收敛于,计算 傅氏系数：,的傅氏级数为：,例2,将函数,展开成余弦级数.,解,将,偶延拓.,在,上连续,当,时，,余弦级数收敛于,在端点,，,余弦级数收敛于,令,在端点,，,余弦级数收敛于,，,求,按公式(4)得：,余弦级数为,例3,将函数,展开成,以,为周期的傅氏级数。,解,令,，则在此变换下，,变为区间,区间,这样，,记,下面将,展开成傅氏级数。,在,上连续,的傅氏级数收敛于,在点,，,在端

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