复数四则运算

1、复数的概念,i-虚单位 满足：i2=-1,虚部,实部,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说,.,设：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2,复数不能比较大小!,2、复平面,复数的向量表示法,复数 与 平面向量（a,b） 或 点 Z（a,b）一一对应,复数的几何意义,每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应 复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应,复数的加法与减法,设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它

2、们的和：,（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,点评(1)复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致,(2)很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。,1、复数的加法法则：,练习：计算 (1)(i)+(-3+7i)= (2)-4+(-2+6i)+(-1-0.9i)= (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，则有（） A.a-c=0且b-d0 B. a-c=0且b+d0 C. a+c=0且b-d0 D.a+c=0且b+d0,证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i

3、(a1，a2，a3，b1，b2，b3R),则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i,显然 Z1+Z2=Z2+Z1,同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3),点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。,运算律,探究?,复数的加法满足交换律，结合律吗？,y,设 及 分别与复数 及复数 对应，则,探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？,复数的加法可按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义,思考？,复数是否有减法？,两个复数相减就是把实部与实部、

4、虚部与虚部分别相减。,设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、dR)是任 意两个复数，那么它们的差：,学 以 致 用,讲解例题,例1 计算,解：,类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？,设 及 分别与复数 及复数 对应，则 ,复数减法的几何意义：,结论:,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,例： 设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,yR),且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2,解：z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i,(3+x)+(2-y)i=5-6i,z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i,三、

5、课堂练习,1、计算：（1）( 3 4i)+(2+i) (1 5i)=_ （2） ( 3 2i) (2+i) (_)=1+6i,2、已知xR，y为纯虚数，且（2x 1)+i=y (3 y)i 则x=_ y=_,2+2i,9i,4i,分析：依题意设y=ai（aR），则原式变为： （2x 1)+i=(a 3)i +ai2= a+( a 3)i,3、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z1，Z2，且满足Z1+i=Z2 2，求Z1和Z2。,分析：依题意设Z1=x+yi（x，yR）则Z2= x yi，由Z1+i=Z2 2得：x+(y+1)i= (x 2)+(y)i，由复数相等可求得x= 1，y= 1/2

6、,复数的乘法法则：,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i,显然任意两个复数的积仍是一个复数.,对于任意z1,z2,z3 C,有,z1z2= z2z1 , z1z2 z3= z1(z2 z3) , z1(z2 +z3)= z1z2 +z1z3 .,例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i),解：(1-2i)(3+4i)(-2+i),对于任意复数z=a+bi ,有,（a+bi)(a-bi)=a2+b2,=（11-2i)(-2+i),=-20+15i .,例 2 计算,解,二、复数除法的法则,复数的除法是乘法的逆运算，满足,(c+di)

7、(x+yi)=(a+bi) (c+di0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，,例3 计算:,（1） （1+2i)(3-4i),(2) (3+2i) (2-3i),=i,共轭复数:,一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不为0的共轭复数也叫共轭虚数.,思考:,若 是共轭复数,那么 在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? 是一个怎样的数?,关于共轭复数的运算性质,z1 ， z2 C , 则,在乘除法运算中关于复数模的性质,已知 z1 ， z2 C , 求证：,| z1 z2 |=| z1 | | z2 | ，,设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ) ，则,| z1z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i|,= | z1 | | z2 |,证明：,i的乘方规律,从而对任意