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8.5 方向导数与梯度,方向导数 梯度,一 方向导数,1 定义,若极限,存在，,注：,存在,存在,2 计算公式,定理1,则,证,（利用可微的定义）,例1 求,在点,处沿点,到点,方向的方向导数。,解,记,则所求的方向,导数为,则,例2 求,在点,处沿其向径,方向的方向导数。,解,记,则所求的,方向导数为,例3 设,是椭球面,在点,处的内法向量，求,在点,处沿方向,的方向导数。,解,椭球面,在点,处的法向量是,因此,所以,故所求的方向导数是,二 梯度（gradient）,1 定义,定义2,其模长是这个最大方向导数的数值，,记为,2 计算公式,定理2,且,证,且,记,则,最大，,且最大值为,所以,例4 设,求,（1）,在点,处的梯度；,（2）,在点,处沿梯度方向的方向导数；,（3）,的梯度为零的点。,解,（1）,（2）,在点,处沿梯度方向的方向导数是,（3）,令,得,证:,试证,例5,3 方向导数与梯度之间的关系,则,简言之：方向导数是梯度在该方向上的投影。,4 梯度的几何意义,函数在一点的梯度垂直于该点等值面，指向函数,增大的方向。,（假设 ）,

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