第二章 金融衍生数学课件.ppt

1、第二章 套利定理基础知识,套利机会,如果一种投资在当前没有任何的负债，但存在正的预期收益，我们称这种投资为第一类的套利机会。 如果一种投资在当前的净负债为负，但在将来，能产生非负的利润，我们称这种投资为第二类的套利机会。,使用这些概念就可以得到金融资产的“公平价格”具有实践意义的定义。如果证券价格时的第一类和第二类套利机会都不存在，我们就说证券价格是“公平价格”，或者说证券被正确的定价。这些无套利价格将被视作基准。对基准的偏离意味着套利机会存在。,符号表示,世界状态,收益和偿付,资产定价的基础例子,假设时间包括“现在”和“下一个时期”，两者之间相差一个时间段，表示一个很小又不是无穷小的时间段。

2、 考虑如下情形： 1. 无风险资产。如国库券。知道下一期的收益为（1+r)。这种收益是无风险的，无论是解状态是什么，都为常数。,2. 标的资产。如价格为S（t）的股票。架设在很小的时间段中，有两种可能的取值，这意味着世界状态数目为2.这种资产是有风险的，因为偿付在不同状态下不一样。 3. 衍生资产。 如价格为C（t）的看涨期权，执行价格为C0.期权在下一个时期到期。假设标的资产有两种可能的取值，那么看涨期权的价格也有两种可能的取值。,套利定理,首先我们对符号进行简化。 我们始终令B（t）=1，=1. 套利定理可以表述为： 假设世界可能发生的状态有两种，每一种状态都以正的概率发生。,合成概率,如

3、果套利机会不存在，那么对风险进行调整后的概率就存在。 用他们所求得的数学期望再用无风险利率r进行贴现后等于当前的资产价值。 考虑套利定理所隐含的等式： 1=(1+r)1+ (1+r)2 S(t)= 1S1(t+1)+ 2S2(t+1) C(t)= 1C1(t+1)+ 2C2(t+1),鞅和半鞅,鞅在金融资产定价中居于基础地位。 假设投资者在t时刻的信息集合可以由It表示。 满足s EPXt+s | It=Xt （对所有s0） 的随机变量Xt，我们称之为相对于概率P的鞅。,而满足 EQ Xt+s | ItXt (对所有s0) 的随机变量Xt是相对于概率Q的下鞅。 可知用无风险利率贴现后的资产价格

4、，在真实概率中是下鞅。在合成概率中是鞅。,无套利条件,根据无套利定理，有 1 =（1+r）1 + (1+r) 2 1 = R11+R22 第二个方程减去第一个，得到 0=（1+r）-R1）1 + (1+r) -R2) 2 这意味着 R1 (1+r) R2,一个数值例子,设股票的现值为 St = 100 而股票在下一时刻有两种可能的取值 S1(t+1) =100 S2(t+1)=150 假设有一种看涨期权，下个时期到期，执行价格为100. 最后假设无风险利率为10%.,情形1：套利可能性存在,将上面的式子计算，可以得出下面三个方程： 1=1.11 +1.12 100 = 1001 +1502 C

5、 =01 +502 假设，在市场中观察到的期权价格C=25， 代入第三式，可得2=0.5 再代入第二式 可得1=0.25,再代入第一式， 1.1（0.25）+1.1（1.5） 1 那么，就观察到的期权价格C=25而言，无法找到正常数 1和2，使三个关系式都成立。 因此，套利机会存在。,情形2：无套利价格,方程包括两个方程和两个未知数。 可得唯一解： 1 = 0.7273 2 = 0.1818 再将1和2 第三式。 可解出： C=9.09 在这个价格时，套利机会不存在。,不确定性,应用：格子模型,上面给出了最为常见的资产定价方法，所谓的格子模型背后的逻辑。二叉树模型就是最为简单的例子。 考虑看涨

6、期权CT，标的资产价格为St，执行价格为C0，在T时刻到期。（tT） 我们将时间段T-t分割为n个长度为的小段。使St在上的变化可以由上升和下降两种情况来合理逼近。,S,Su,Su2,Su3,Su4,S,S,Sd,Sd2,Sd3,Sd4,Su,Su2,Sd,Sd2,对于看涨期权Ct的多重格子，除了到期时的节点外，Ct的无套利价格还没有确定下来。 事实上，在St的格子给定后，可以用如下边界确定Ct在到期时刻的值。 CT=MAXST-C0,0 下图给出看涨期权的多重格子。,C,Cu2,Cu,Cu3,Su4-K,Cd,Cd2,Cd3,Sd4-K,Cu,C,Cd,Su2-K,S-K,Sd2-K,红利支付模型,在支付红利时，偿付需要另加一个红利支付项。 需要注意的是，红利支付的支付率是事先决定的，因此支付率的下标是 t而不是t+。 即有如下等式,外币情形,现在