工程力学基础 国防工业出版社 江苏大学课件 材料力学 第9章.ppt

1、1,第九章 扭 转,材料力学部分,2,91 概述 92 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 93 切应力互等定理与剪切胡克定律 94 圆轴扭转横截面上的应力 95 极惯性矩与抗扭截面系数 96 圆轴扭转破坏与强度条件 97 圆轴扭转的变形 刚度条件,第九章 扭 转,3,4,受扭转载荷的构件1,5,受扭转载荷的构件2,汽车中的转向轴,6,受扭转载荷的构件3,机器中的传动轴,7,受扭转载荷的构件4,8,91 引 言,轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。,扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。,9,扭转角（）：任意两截

2、面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。,10,工 程 实 例,11,92 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：,其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）,其中：P 功率，公制马力（PS） n 转速，转/分（rpm）,其中：P 功率，马力（HP） n 转速，转/分（rpm）,1PS=735.5Nm/s , 1HP=745.7Nm/s , 1kW=1.36PS,12,3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩

3、，记作“T”。 2 截面法求扭矩,13,4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,14,例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,15,求扭矩（扭矩按正方向设）,x,16,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,17,93 切应力互等定理与剪切胡克定律,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。,18,2.实验后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。,3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、

4、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,19,各横截面的大小形状间距不变，并仍然保持为平面。可假设各横截面绕轴线发生刚性转动。所以横截面上无正应力，只有切应力并且切应力与圆周相切。由于壁比较薄，可认为切应力和切应变沿壁厚均匀分布。由于沿周向变形无变化，可认为切应力沿周向也不发生变化。,切应力分布规律和变形规律已经得到, 切应力和扭转变形分别为多大?,T,20,无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,4. 与 的关系：,微小矩形单元体如图所示

5、：,21,二、薄壁圆筒剪应力 大小：,A0：平均半径所作圆的面积。,22,三、剪应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,23,四、剪切虎克定律：,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,24,T=m,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。,25,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GP

6、a。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,26,由于G是材料常数，薄壁圆筒的扭转角和剪应变可以通过扭矩表示出来：,薄壁圆筒求解小结,实验观察,几何特征,周向线大小形状间距均不发生变化.纵向 线发生小角度倾斜.倾斜角度沿圆周相同. 端部仍然为平面.,无正应力,只有切应力且与圆周相切.切应力沿圆周均匀分布.各横截面发生刚性转动.,薄壁圆筒,可认为应力,应变沿厚度无变化.,静力平衡求得切应力(扭矩已知),剪应变和扭转角之间的关系.,物性实验

7、得到扭矩和扭转角之间的线性关系.,对于线性材料引入剪切模量 (材料常数,需事先给定),变形大小,27,94 圆轴扭转截面上的应力,扭转圆轴横截面应力,变形几何方面 物理关系方面 静力学方面,1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆杆扭转实验观察：,28,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与该点到圆心的距离成正比。, 扭转角沿长度方向变化率。,29,T,2. 物理关系：,虎克定律： 代入上式得：,30,3. 静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,31,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。,4.

8、公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,32, 确定最大剪应力：,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。,33, 应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,34,静力方程,物理方程,几何方程,结 论,横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最大,圆轴扭转时，横截面上一点剪应力和剪应变与该点的极坐标呈比例,横截面最大剪

9、应力与横截面的抗扭截面模量成反比,横截面扭转变形（单位长度扭转角）与横截面的扭转刚度成反比,35,画轴的扭矩图,极惯性矩和抗扭截面模量的计算,确定可能的危险截面,计算危险（最大）点应力,求出最大剪应力,计算两截面相对扭转角,计算最大单位长度扭转角,36,例2 一空心圆轴如图2.13（a）所示，在A、B、C处受外力偶作用。已知 ， ， ，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力 ；（2）C截面相对A截面的扭转角,画轴的扭矩图,解：,A、B可能为危险截面,计算危险（最大）点应力,37,所以，,计算扭转角,例2 一空心圆轴如图2.13（a）所示，在A、B、C处受外力偶作用。已知 ， ， ，材料

10、G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力 ；（2）C截面相对A截面的扭转角,38,单位：mm4，m4。, 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。,a. 对于实心圆截面：,D,d,O,95极惯性矩与抗扭界面系数,39,b. 对于空心圆截面：,O,d,40,=d / D,对于实心圆截面,对于圆环截面,41,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,96圆轴扭转破坏与强度条件,一、扭转失效与扭转极限应力,42,在扭转实验中，塑性材料试件受扭时，首先屈服，在试件表面出现横向与纵向的滑移线，继续增大扭转力偶，试件沿横截面剪断；脆性试件没有变

11、形很小，最后会在与轴线成45o角的螺旋面发生断裂。,扭转破坏：标志：屈服或是断裂,扭转屈服应力：,扭转极限强度：,扭转极限应力,统称为,43,二、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,44,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：,(d),45,(d),n,t,转角规定： x轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+” 顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,46,分析：,当 = 0时，,当 = 45时，,当 = 45时，,当 = 9

12、0时，,t,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。,47,对于塑性材料,当横截面上的切应力达到 时,试件发生显著的塑性变形, 称为扭转屈服极限。,48,三、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,49,四、圆轴的扭转的强度条件,材料的扭转许用剪应力,安全系数,对于塑性材料， 对于脆性材料，,对于塑性材料, 极限切应力一般取扭转屈服极限; 对于脆性材料, 则一般取扭转强度极限。,

13、50,例2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核剪应力强度,此轴满足强度要求。,x,51,例汽车传动轴由45无缝钢管制成。已知：=60MPa，若钢管的外径D90mm，管壁厚t=2.5mm，轴所传动的最大扭矩M=1.5kN.m. 试：1、校核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的重量比。,解：1、校核强度,代入数据后得：max50.33MPa60MPa;强度足够,2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工 作切应力相等),3、两轴重量比,52,例3图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一

14、体；在D处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。,解：芯轴与轴套只在下面部分B处相连接，在上部D处，二者互不接触，所以，芯轴与轴套都是在两端承受扭矩。,1. 芯轴横截面上的最大切应力为：,根据对最大切应力切应力的限制，有,53,图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶

15、矩T。,根据对最大切应力切应力的限制，有,因此得到芯轴所能承受的最大扭矩,54,解：2. 轴套横截面上的最大切应力为：,根据对最大切应力的限制，有,因此得到轴套所能承受的最大扭矩,Nm,图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。,55,3. 结构所能承受的最大扭转力偶：,根据上述结果，,整个结构所能承受的最大扭转力偶为,Nm,Nm,Nm,图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D

16、处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。,56,例4 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kNm。试求： 1轴横截面上的最大切应力； 2轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的 百分比； 3去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比,解：1轴横截面上的最大切应力,57,图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kNm。试求：1轴横截面上的最大切应力； 2轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受

17、的扭矩所占全部横截面上扭矩的 百分比； 3去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比,解： 2. 轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：,58,解： 2. 轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：,图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kNm。试求：1轴横截面上的最大切应力； 2轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的 百分比； 3去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比,59,解 : 3去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力

18、增加的百分比：,采用圆环截面的扭转最大切应力公式,图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kNm。试求：1轴横截面上的最大切应力； 2轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的 百分比； 3去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比,60,思考问题,1去掉r = 15mm以内部分，所用材料将会减少多少？,2如果中心r = 15mm以内部分所用的是另一种材料，这时，横截面上的最大切应力将发生在哪里？计算这时的最大切应力，还需要什么条件？,r = 15mm,61,97 圆轴扭转变形与刚度条件,一、扭转时的变形,由公式,知：长为 l一段杆两截面间

19、相对扭转角 为,62,二、单位长度扭转角 ：,或,三、刚度条件,或,GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。, 称为许用单位长度扭转角。,63,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,各类轴的许用单位长度扭转角可在有关的机械设计手册中查得。 对精密机器的轴q=(0.250.50)0/m； 一般传动轴q =(0.51.0)0/m； 精度要求不高的轴q =(1.02.5)0/m。,64,例5长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许

20、用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,65,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m。, 由扭转刚度条件校核刚度,66,40Nm,x,T,右端面转角为：,67,例6 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？,解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条

21、件得：,T,x,7.024, 4.21,(kNm),68,由刚度条件得：,T,x,7.024,4.21,(kNm),69,综上：,全轴选同一直径时,70, 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,T,x, 4.21,(kNm),2.814,71,圆轴扭转的强度设计的简化公式,实心圆轴,空心圆轴,例如：富康轿车额定功率65kW，2500转为设计工况,承受同样最大扭矩的相同材料制成的等强度圆轴，谁重谁轻？,72,圆轴扭转的刚度设计简化公式,实心圆轴,空心圆轴,例如：富康轿车额定功率65kW，2500转为设计工况,

22、承受同样最大扭矩的相同材料制成的等刚度圆轴，谁重谁轻？,73,补充：扭转超静定问题 密圈弹簧变形 非圆截面杆扭转 薄壁杆件扭转,74,75,本章结束,76,99 等直圆杆的扭转超静定问题,解决扭转超静定问题的方法步骤：,平衡方程；,几何方程变形协调方程；,补充方程：由几何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,77,例7长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固定端反力偶。,解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：,A,B,78,几何方程变形

23、协调方程, 综合物理方程与几何方程，得补充方程：, 由平衡方程和补充方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果。,79,9-10 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算,80,1. 弹簧丝横截面上的应力,由Q引起的剪应力,由T引起的最大剪应力,横截面上的内力,其中,由,81,对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，,的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。 密圈弹簧丝的强度条件是,82,设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为 ，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功 。簧丝

24、横截面上，距圆心为 的任意点的扭转剪应力为,2. 弹簧的变形,如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是,83,由,，则得到,是弹簧圈的平均半径。若引入记号,则上式可写成,代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见,与,成反比，,越大则,越小。,其中,84,【例9-5】 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径 ，簧丝直径 ，有效圈数 ， 材料的 。弹簧工作时受 KN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力(略去弹簧曲率的影响)。,【解】：由变形公式求最大压缩量,考虑剪切力时,不考虑剪力影响时,，相差5.9% 。由于,，还应考虑曲率影响，此处从略。,85,9-11 非圆截面杆扭转的概念,杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”,86,扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下,87,边缘各点的剪应力,与周边相切，沿周边方向形成剪流,1),2),发生在矩形长边中点处，大小为,3) 杆件两端相对扭转角,其中系数,与,有关，可查表,其中,注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果仿照圆轴公式形式写出。,88,其中， 此时长边上应力趋于均匀如图 所示,当 时，截面成为狭长矩形，此时