信号与系统分析9.ppt

1、第9章 线性系统的状态变量分析,重点：,1.连续时间系统状态方程的建立 2.连续时间系统状态方程的求解 3.离散时间系统状态方程的建立 4.离散时间系统状态方程的求解,9.1 状态、状态变量和状态方程,1系统状态与状态变量,产生于20世纪50至60年代； 卡尔曼(R.E.Kalman)引入； 利用状态变量描述系统的内部特性； 运用于多输入多输出系统； 用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统 。,状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态变量），只要知道 时这组变量和 时的输入，那么就能完全确定系统在 任何时间 的行为。,状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态变量。例如上例中

2、的 。,状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。 称为状态矢量。,2状态方程和输出方程,给定系统的模型和输入激励函数，用状态变量分析该系统时，可以分为两步： 1.根据系统的初始状态求出各个状态变量的时间函数-状态方程 2.用这些状态变量来确定初始时间以后的系统的输出响应函数.-输出方程,微分方程（输入输出描述法）：,其中,写为,写为矩阵形式：,只要知道 的初始状态及输入 即可完全确定电路的全部行为。,输出方程,此方法称为状态变量或状态空间分析法； 为状态变量。,则,用状态变量分析系统的优点:,(1)提供了系统的内部特性以供研究；,(2)一阶微分（或差分

3、）方程组便于计算机进行 数值计算；,(3)便于分析多输入多输出系统；,(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；,(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。,9.2 连续时间系统状态方程的建立,1状态变量的选取,对于一个电路,选择状态变量最常用的方法时取全部独立的电感电流和独立的电容电压. 状态变量的个数,等于系统的阶数.,2状态方程的建立,建立状态方程的工作分为以下三个步骤: (1)取所有独立的电感电流和电容电压为状态变量. (2) 对于每一个电感电流,各列出一个包括此电流的一阶导数在内的回路电压方程;对于每个电容电压,各列出一个包括此电压的一阶导数在内的节点电流方程. (3)把上面方程中

4、的非状态变量表示为状态变量从而消去非状态变量,整理得到的标准形式的状态方程.,3状态方程的矢量表示,3输出方程,写出下图所示电路的状态方程和输出方程。,选电感电流 和电容两端电压 作为状态变量,对连接电容的节点A列节点电流方程,对包含电容的回路 列回路电压方程,整理,写成矩阵形式,输出方程为,9.3 连续时间系统状态方程的求解,1连续时间系统状态方程的S域解法,由矩阵代数知,伴随矩阵,行列式,已知系统的状态方程和起始条件为,试求系统的状态变量。,(1)求特征矩阵,其行列式和伴随矩阵分别为,所以预解矩阵为,则状态变量矩阵为,已建立状态方程和输出方程为,起始状态为,输入矩阵为,用拉氏变换法求响应

5、和转移函数矩阵 。,所以预解矩阵 为,(1)求特征矩阵,其行列式和伴随矩阵分别为,（2）求转移函数矩阵,（3）求输出矩阵,2连续时间系统状态方程的时域解法,式中 为 方阵, 也是一个 方阵,主要性质,若已知,并给定起始状态矢量,对式(1)两边左乘 ，移项有,化简，得,两边取积分，并考虑起始条件，有,对上式两边左乘 ，并考虑到，可得,为方程的一般解,求输出方程r(t),9.4 离散时间系统状态方程的建立,1离散时间系统状态方程的一般形式,输出方程为,可见： n+1时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的函数。 在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常选延时单元的输出。,表示为矢量方程,各矩阵说明,2.由系统输入-输出差分方程建立状态方程,已知离散系统的二阶差分方程为,试列出其状态方程和输出方程.,令 和 为系统的状态变量,即,则由差分方程得到系统的状态方程为,系统的输出方程为,写成矩阵形式为,9.5 离散时间系统状态方程的求解,1.离散时间系统状态方程的时域解法,令,称为离散时间系统的状态过渡矩阵,或基本矩阵,2.离散时间系统状态方程的Z变换解法,对上式两边取Z变换,整理,得到,取其逆变换即得时域表示式为:,状态转移矩阵即为,或,已知矩阵 ，求矩阵函数 。,矩阵 的特征方程,特征根为,根据关系式,可得,联立求