《误差理论与测量平差基础教学课件》第八讲

1、第一章 误差理论与最小二乘原理,Error Theory and The Least Squares Principle,1、测量 中，有时需要顾及系统误差的影响.,上节课内容回顾：,2、在线性情况下，系统误差的传播规律和函数关系一致.非线性情况先线性化,4、权、单位权中误差、权矩阵、权逆阵,5、算术中数、水准测量、三角高程测量的权.,第七讲 权与权逆阵的传播（复习）,3、尤其注意 的应用,6、权倒数、权逆阵的传播,解：,解：,C角函数关系式,解：,根据权的定义,又因为,解：,线性化,解：,补充复习：矩阵的迹,补充复习：对称正定矩阵,如果矩阵A正定，那么,1、A一定对称； 2、A的各阶主子式行

2、列式大于零； 3、A的n个特征值大于零； 4、一定存在满秩矩阵G使得AGGT，A-1=(GT)-1G-1； 5、权阵和协方差阵均是正定矩阵。,1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight,2、Calculating The Variance and Standard Error of Unit Weight According to The d,3、A Careful Review of This Chapter,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差 Calculating The Variance and Stan

3、dard Error of Unit Weight With True Error,1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,1、单位权中误差定义,2、单位权中误差可以任意给定，为什么还要计算？,以水准测量定权为例,上式中我们选定的是单位权路线长度而不是单位权中误差，单位权中误差即是S0的中误差，大小未知。但S0确定下来后，单位权中误差也随之确定。此时，u就不再是任意常数了。,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,2、单位权中误差可以任意给定，为什么还要计算？,对一系列观

4、测值h1，h2，hn，其权分别用路线长确定为 p1，p2，pn，如果此时单位权中误差u已知，即可计算 每个观测值的中误差。,因此：,1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,2、单位权中误差可以任意给定，为什么还要计算？,精度估计需要知道u 而定权时，通常选定的不是u，而是单位权观测值,精度估计的流程：,确定观测值的权,计算单位权中误差,计算观测值中误差,1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight,第

5、八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,3、单位权中误差(方差)计算方法,方法一：,设L1，L2，Ln，为观测向量，记为L； 为对应的真误差向量；是其协方差矩阵； P为对应的相关权阵。按照协方差矩阵的定义,1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight,权阵和协方差矩阵的关系,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,3、单位权中误差(方差)计算方法,方法一：,两边取迹,单位权方差：,1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight,第八讲 用真误差表示

6、的单位权方差和中误差,3、单位权中误差(方差)计算方法,单位权中误差：,观测值独立时：,Note： 单位权中误差的平方是单位权方差的无偏估值 单位权中误差平方以概率收敛与单位权方差,1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,3、单位权中误差(方差)计算方法,方法二：,计算公式：,思路（构造虚拟观测值） 如果能找到一组单位权观测值 那么这组观测值的方差和中误差就是单位权方差和中误差,1、The Formula of Variance and Standard Error of

7、Unit Weight,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,3、单位权中误差(方差)计算方法,证明：首先寻找单位权观测值,令：,因为P正定，一定有,根据权逆阵的传播公式,1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,3、单位权中误差(方差)计算方法,因为,即虚拟观测值独立、等精度、权等于1，所以,1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,4、证明单位权中误

8、差是单位权方差的无偏估值。,2、Calculating The Variance and Standard Error of Unit Weight According to The d,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,设n对观测值,对应精度相等,其较差,较差的权为,单位权中误差：,等精度时：,解：,第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差,作业： 1.78 1.79,1、真误差，LE（L）,一、基本概念,2、粗差：显著异常，对观测值影响大,4、偶然误差：【1】单个无规律，【2】总体服从正态分布，【3】统计特性：有界、聚中、对称,5、方差：随机变量总体的离散程度,3、系统误差：【1】

9、常数保持不变，【2】按规律变化，【3】具有累积性,3、A Careful Review of This Chapter,6、方差矩阵、协方差：主对角线元素大于0,一、基本概念,7、中误差：,9、或然误差：,10、相对误差：分子化成1,8、平均误差：,3、A Careful Review of This Chapter,（加P为单位权中误差）,11、极限误差：【1】2m或3m，【2】用于真误差，【3】闭合差和较差,12、平差：依据某种数学原则的一种调整,一、基本概念,13、测量条件：观测者、仪器、外部环境，对象,15、权矩阵,17、对称正定矩阵,14、权：表征观测值之间相对精度的指标,3、A C

10、areful Review of This Chapter,16、权逆阵,非独立时，权阵中的元素不是对应观测值的 权，逆阵中的元素是对应观测值的权倒数,二、计算公式及其应用范围,1、中误差,3、较差计算m,2、菲列罗公式,3、A Careful Review of This Chapter,（真误差、独立、等精度）,注意公式的特点，菲列罗公式要求会推导。,（闭合差、独立、等精度）,（较差、独立、等精度）,二、计算公式及其应用范围,4、单位权 中误差,3、A Careful Review of This Chapter,（真误差、独立、非等精度）,单位权中误差的推导要清楚,（较差、独立、非等精度

11、）,（真误差、相关、非等精度）,三、传播公式,1、随机变量的函数,3、A Careful Review of This Chapter,中误差传播：,线性化,权倒数传播：,三、传播公式,2、向量,3、A Careful Review of This Chapter,中误差矩阵传播：,权逆阵的传播：,三、传播公式,3、广义传播定律,3、A Careful Review of This Chapter,中误差矩阵传播：,相关权逆阵的传播：,真误差之间的关系：,三、传播公式,4、系统误差的传播,3、A Careful Review of This Chapter,中误差传播：,真误差之间的关系：,1

12、、多余观测可以揭示矛盾，但不能消除矛盾。,四、重要概念,2、平差的目的是消除矛盾，求得未知参数的唯一估值，并估计精度。但不能消除误差。,4、偶然误差和系统误差在一定条件下相互转化 （偶然误差对测量结果的影响总是随机的）,5、观测值与其偶然真误差等精度,3、偶然误差单个无规律，总体服从正态分布,3、A Careful Review of This Chapter,6、相同条件下一列观测值求得的中误差是该条件下任意观测值的中误差。,四、重要概念,7、相对误差一般用于长度测量和导线测量,9、误差或权倒数传播注意线性化和相关性,10、两观测值精度相同是指测量条件相同，而非真误差相同,8、极限误差适用于真误差,3、A Careful Review of This Chapter,11、协方差可以小于0，相关权倒数可以小于0,12、单位权中误差不一定存在于观测列中,四、重要概念,13、权矩阵的元素不一定是对应观测量的权,15、提高平差值精度的关键是提高观测值的精度，而不是增加测回数,14、权逆阵的主对角线元素一定是对应观测量的权倒数,3、A