线性代数特征值与特征向量.ppt

1、第六章 特征值与特征向量,向量的内积,方阵的特征值与特征向量,实对称矩阵的相似矩阵,相似矩阵,向量的内积,一、向量的内积与长度,定义1,设有n维向量,记,则x,y称为向量 x 与 y 的内积,注意,（1）按矩阵乘法有：,（2）内积就是几何向量的数量积之推广。,内积具有下列运算性质：,设x,y,z为n 维向量，,为实数，则有：,（对称性）,（线性性）,（正定性）,定义2,为 n 维向量 x 的长度,记,则称,称 x 为单位向量。,特别地，,设有 n 维向量,（或模，或范数）,例如 4维向量,的长度为：,为单位向量,而向量,向量的长度有下述性质：,1）非负性：,3）三角不等式：,2）齐次性：,另外

2、，由向量的内积、长度及其性质不难证明 下述施瓦茨不等式：,式中的等号仅当向量,线性相关时才成立。,定义3,则称为 n 维向量 x 与 y 的夹角。,由上述施瓦茨不等式易得：,于是有下面的定义：,二、两向量的夹角,记,例1 已知4维向量,求：向量,的夹角。,解,故所求向量的夹角为：,三、标准正交基,定义4,称向量 x 与 y 正交。,显然，零向量与任何向量正交。,定义5,一组两两正交的非零向量，叫正交向量组。,如上述例1中的向量,就正交。,线性无关。,定理1 如果 n 维向量,为正交向量组，,左乘上式两端，得,类似可证,证明,若向量空间 V 的一组基中向量两两正交，,定义6,则称这组基为向量空间

3、 V 的正交基。,特别地，由单位向量组成的正交基叫做标准正交基 （或规范正交基）,例如,是 空间的标准正交基。,一般地，向量空间的一个基不一定是规范正交基。,由向量空间 V 的一个基,，求其一个,规范正交基，就是要找一组两两正交的单位向量,上述问题称为把,这个基规范正交化。,具体操作方法如下：,如此归纳下去有：,把基 化成标准正交基的具体步骤：,四、施密特正交化方法,先正交化：,再标准化（单位化）：,是向量空间 V 的标准正交基。,例2 试把下列向量组化为标准正交向量组。,解 令,单位化得：,解,再把它们单位化，取,五、正交矩阵与正交变换,若 n 阶方阵A 是满足,则称 A 是正交矩阵。,定义

4、7,故有：方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向 量组构成标准正交向量组,则上述结论对A的行向量组也成立。,例如,矩阵 P是正交矩阵,称为正交变换。,若 P 是正交矩阵，则线性变换 y=Px,定义8,内积,向量的长度,小 结,x,y=,向量正交,两向量的夹角,施密特正交化方法,证明对称矩阵A 为正交矩阵的充要条件是,证明 先证必要性,可知：,再证充分性,可知：,故 A 为正交矩阵。,练习,正交变换有何特性？,保持向量的长度不变。,特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的性质 特征值与特征向量的求法,第二节 方阵的特征值与特征向量,成立,的特征向量。,一、方阵的特征值与特征向量,定义6.

5、1,特征向量非零。,注意：,如对,及,则数,是方阵 A 特征值,是方阵 A 的对应于特征值 2 的特征向量,有,这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组，,即,(3),二、特征方程与特征根,它有非零解的充分必要条件是其系数行列 式,显然，A的特征值就是其特征方程的根,也称特征根。,特征方程在复数范围内恒有解，其个数,为方程的次数（重根按重数计算），,因此，n 阶方阵A有 n 个特征值。,注意：,三、特征向量的性质,求方阵A的特征值和特征向量的步骤：,，它们就是A的全部特征值,（2） 分别把A的每个特征值,代入方程组,得到,分别求出它们的基础解系：,则所有向量,解 （1） 求特征值,由,（

6、2）求特征向量,对于,即：,也即,所以对应的特征向量可取为：,因此属于特征值3的全部特征向量为,对于,即,也即,所以对应的特征向量可取为：,其中 k 取遍所有非零数 .,例5 求A 的特征向量,解 求特征值,求特征向量,对于,即：,由于系数矩阵的秩为2，故基础解系只有一个,非零解，解得,其中 k 取遍所有非零数,解 求特征值,所以A的特征值为,（二重）,求特征向量,得,解得基础解系：,得,就是,解得基础解系：,(k取遍所有非零数),因此，属于,的全部特征向量就是,定理2 属于不同特征值的特征向量一定线性无关。,证 设矩阵A的特征值为,依次是与之对应的特征向量，,下面证明,它们各不相同,线性无关

7、,设有常数,使,四、有关特征值的结论,则,即,类推之：,（k=0,1,2,m-1）,有,把上列各式合写成矩阵形式，得,上式左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，,各不相等时，该行列式不等于0，从而该,矩阵可逆。,于是有,所以向量组,即,（j=1,2,m）,但,故,线性无关。,是方阵A的特征值，故有向量,于是：,其中,小结,相关结论：,特征值与特征向量的求法,. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的,. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍 是属于这个特征值的特征向量,.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而 言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值,练习,证明

8、：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则,相似矩阵的定义,相似矩阵的性质,利用相似变换将方阵对角化,第三节 相似矩阵,称为对A进行相似变换,设A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵P, 使,则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似,其中可逆矩阵 P 称为把A变成B的相似变换矩阵。,对 A 进行运算,一、相似矩阵的概念,定义6.2,（1）自身性 AA,（其中 k 是正整数）,（5）若AB ，,（2）对称性 若AB，则BA,（3）传递性 若AB，BC，则AC相似,是关于A 的多项式,二、相似矩阵的性质,特别地，若有可逆矩阵P,使,为对角矩阵， 即,利用上述结论可以很方便计

9、算矩阵A 的多项式,若n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A与 B 有,相同的特征多项式，从而有相同的特征值。,证明: 因 A 与 B 相似，所以有可逆矩阵P,使,故,定理6.2,推论,若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵,相似,是A 的n 个特征值。,又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值.,对一个 n 阶方阵 A，是否存在相似变换,问题：,矩阵 P, 使,三、相似变换矩阵的求法,若存在，如何找出这个矩阵？,讨论：,把 P 用其列向量表示为,也即,反之, 如果 n 阶方阵 A 有n 个线性无关的特征向量，,则 P 可逆，且,满足,那么令,注意,因为特征向量不唯一，所以上述矩阵P 也是不唯一的。

10、并且由上面的讨论即有：,n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。,定理6.3,如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征根互不相同, 则 A 与对角矩阵相似。,推论,如果 的特征方程有重根，此时 不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化,例8 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解(1),得,因为 A 有三个不同的特征值，所以由推论知 A 可对角化。,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,解(2),解(3),解之得 基础解系,求得基础解系,例9 设,判断A是否可以对角化，,

11、若可以对角化，,为对角阵，并求,求出可逆阵P，,解 （1）求特征值,求特征向量,将,代入,得,解得特征向量,再将,代入,得,解得特征向量,线性无关，故A可对角化,(2) 令,则有,可得,易求,问A能否对角化？若能对角,解,练习,解之得基础解系,所以 可对角化.,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,注意,1 满足什么条件的矩阵一定可以对角化？,第四节 实对称矩阵的相似矩阵,实对称矩阵的相关结论,用正交矩阵 P 化实对称矩阵 A 为对角形 矩阵的方法,实对称矩阵的特征根是实数。,一、实对称矩阵的相关结论,定理6.4,定理的意义 由于实对称矩阵A的特征值 是实数,所以实系数齐次线性

12、方程组 必有实 的基础解系 ,从而对应的特征向量可以取实向量.,证明,于是有,两式相减，得,定理6.5,证明,于是,设A是n阶实对称矩阵，,从而对应特征根,恰有r个线性无关的特征向量。,定理6.6,为对角元素的对角矩阵。,设A是n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,定理6.7,证明: 设A的互不相等的特征根为,它们的重数依次为,这样的特征向量共可得n个。,按定理6.5 知对应于不同特征根的特征向量正交， 故这n个单位特征向量两两正交。,则对应特征根,线性无关的实,于是以它们为列向量构成的正交矩阵P,其中对角矩阵,的对角元素,特征向量，把它们正交化并单位化,即得 个单位 正交的特征向量.,1) 求

13、A 的特征值.,其中,设,二 正交矩阵P化对称阵A为对角阵,3)对重特征值算出的特征向量,分别作施密特正交,化,(没有重特征值或已经正交的可以省略此步骤),然后再单位化,得标准正交基.,则P是一个n 阶正交阵,且,解 由,于是得正交阵,的基础解系为,标准正交化得：,可以验知仍有,例 已知三阶矩阵A的特征值,求矩阵B的特征值以及与之相似的对角矩阵。,解 因为三阶矩阵A有三个不同的特征值，所以,由定理3, 所以B的特征值为-4，-6，-12,从而所求与B相似的对角矩阵为：,1.对称矩阵的性质：,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4