第4章线性时不变控制系统的综合与设计0519N素材.ppt

1、第4章 线性时不变控制系统的综合与设计,经过前面的学习，我们已经牢固建立了状态空间的概念，掌握了利用状态方程这样的内部描述方法描述被研究的系统，并且由此进一步衍生了系统的可控性、可观性和Lyapunov稳定性的概念。,本章主要内容 4.1 引言 4.2 状态反馈 4.3 闭环系统极点配置 4.4 状态观测器 4.5 MATLAB在闭环极点配置及状态观测器设计中 的应用,4.1 引言,本章重点讲述对一个性能不好甚至不稳定的被控系统，如何设计系统的状态反馈控制律，使闭环系统稳定且具有优良的动态响应。,状态反馈包含系统全部状态变量信息，是较输出反馈更全面的反馈，这本是状态空间综合法的优点，但并非所有

2、被控系统的全部状态变量都可直接测量，这就提出了状态重构问题，即能否通过可测量的输出及输入重新构造在一定指标下和系统真实状态等价的状态估值？1964年，Luenberger提出的状态观测器理论有效解决了这一问题。状态反馈与状态观测器设计是状态空间综合法的主要内容，故如何设计状态观测器重构出所需状态估值也是本章重点讲述内容之一。,4.2 状态反馈与输出反馈,图4-1为多输入多输出系统的状态反馈结构图。设图4-1虚线框内所示多输入多输出线性定常被控系统 的状态空间表达式为,(4-1),式中， 分别为n维,r维和m维列向量；A,B,C,D分别为 实数矩阵。,4.2.1 状态反馈,图4-1 多输入多输出

3、系统的状态反馈结构,若被控系统D=0，可简记为 ，对应的状态空间表达式为,（4-2）,图4-1采用线性直接状态反馈（简称状态反馈）构成闭环系统以改善原被控系统的性能，即将被控系统的每一个状态变量乘以相应的反馈增益值，然后反馈到输入端与参考输入v一起组成状态反馈控制律，作为被控系统的控制量u。由图4-1显见，状态反馈控制律（即被控系统的控制量u）为状态变量的线性函数,（4-3）,式中，v为r维参考输入列向量；F为 状态反馈增益矩阵，且其为实数阵。,将式（4-3）代入式（4-1）,可得采用状态反馈构成的闭环系统状态空间表达式为,（4-4）,若D=0，则式（4-4）可简化为式（4-5），即,(4-5

4、),式(4-5)可简记为 ，其对应的传递函数矩阵为,(4-6),4.3 闭环系统极点配置,本节主要讨论两方面的问题：其一，闭环极点可任意配置的条件；其二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。为简单起见，仅讨论单输入单输出系统。,1.采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件,定理 采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统 状态完全能控。,(1).若被控系统 状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为,(4-10),(4-11),2. 采用状态反馈配置闭环极点的方法,(2).由给定的期望闭环极点组 ，可写出期望闭环特征多项式,(4-12),(3).求状态反馈增益矩阵 ，

5、方法有二: 解联立方程的方法； 规范型方法。 下面分别讲解。,方法一 解联立方程,设状态反馈增益阵 ，则闭环系统 的特征多项式为,(4-13),而由给定的期望闭环极点组 ,可确定如式(4-12)所示的期望闭环特征多项式。为将闭环极点配置在期望位置，应令式(4-13)与式(4-12)相等，即令 ，由两个n阶特征多项式对应项系数相等，可得n个关于 的联立代数方程，若 能控，解联立方程可求出唯一解。,（4-15）,式中,（4-16）,(1)通过如下变换（设 为能控标准型变换矩阵）,（4-14）,将 化为能控标准型 ，即,方法二 规范型方法,(2)针对能控标准型 引入状态反馈,(4-17),式中， ，

6、可求得对 的闭环系统 的状态空间表达式仍为能控标准型，即,(4-18),式中,(4-19),(4-20),则闭环系统 的特征多项式和传递函数分别为,（4-21）,（4-22）,(3)事实上，由给定的期望闭环极点组 ，可写出期望闭环特征多项式,(4-23),令式（4-23）与式（4-21）相等，可解出能控标准型 使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为,(4-24),(4) 将式（4-14） 代入式（4-18） 得,（4-25）,则原被控系统 即对应于状态x引入状态反馈使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为,（4-26）,例4-1. 被控系统 的状态空间表达式为 试设计状态反馈增益矩阵

7、F，使闭环系统极点配置为 和 ，并画出状态变量图。,解 (1) 判断可控性,所以被控系统状态完全能控，可通过状态反馈任意配置闭环系统极点。,(2) 确定闭环系统期望特征多项式,闭环系统期望极点为 ，对应的期望闭环特征多项式为,则 , 。,(3)求满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩阵,方法一 解联立方程,对被控系统 ，引入 状态反馈后的闭环系统 特征多项式为,令 ，即 比较等式两边同次幂项系数得如下联立方程,解之得 ，,被控系统 的特征多项式为,则 ， 。,根据式(4-24)，能控标准型 对应的 下的状态反馈增益阵 为,将 化为能控标准型 的变换矩阵 为,方法二 规范型方法,则,根据式(4-2

8、6)，原状态x下的状态反馈增益阵F应为,4.4 状态观测器,状态反馈实现的前提是获得系统全部状态信息,然而,状态变量并不一定是系统的物理量, 选择状态变量的这种自由性本是状态空间综合法的优点之一,但这也使得系统的所有状态变量不一定都能直接量测;另一方面,有些状态变量即使可测,但所需传感器的价格可能会过高。状态观测或状态重构问题正为了克服状态反馈物理实现的这些困难而提出的,其核心是通过系统可量测参量(输出及输入)重新构造在一定指标下和系统真实状态 等价的估计状态或重构状态 ,且常采用式(4-27)所示的渐近等价指标,即,(4-27),式中, 为观测误差。实现状态重构的系统称为状态观测器, 式(4

9、-27)也称观测器存在条件。 当观测器重构状态向量的维数等于被控系统状态向量维数时,分别称为全维状态观测器。 当观测器重构状态向量的维数小于被控系统状态向量维数时,分别称为降维状态观测器。,图4-4 闭环(渐近)状态观测器,图4-4中, G为 输出偏差反馈增益矩阵(m为系统输出变量的个数)，且其为实数阵。由图可得闭环状态观测器的状态方程为,4.4.1 全维观测器的构造思想,(4-29),4.4.2 闭环观测器极点配置,1. 闭环观测器极点任意配置的充分必要条件,定理 图4-4中的闭环状态观测器的极点可任意配置的充分必要条件是被控系统 能观测。,2. 输出偏差反馈增益矩阵G的设计,全维闭环状态观

10、测器的设计就是确定合适的输出偏差反馈增益矩阵G,使A-GC具有期望的特征值,从而使由式(4-29)描述的观测误差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定。,状态完全能观测的单输入单输出系统,闭环观测器的极点配置设计可仿照4.3节介绍的状态完全能控的单输入单输出系统用状态反馈进行闭环极点配置的设计方法进行。分别有两种方法 ：联立方程方法；规范型方法。,(1)若单输入单输出系统,状态完全能观，其特征多项式为,(4-31),设 为闭环状态观测器系统矩阵期望特征值，对应的期望特征多项式为,(4-32),若 为能观标准型,则所需的观测器偏差反馈增益矩阵为,(4-33),若 不为能观标准型,则可采用如下变换（设

11、 为能观标准型变换阵）,(4-34),将系统,化为能观标准型,其中,则先用式（4-33）求出能观标准型 对应的 下的观测器增益矩阵 ,然后再将 下求得的 变换到原状态x下,即得重构系统 状态x所需的观测器偏差反馈增益矩阵为,(4-35),(4-36),例4-2.被控系统 的状态空间表达式为,试设计全维状态观测器使其极点为-3，-3。,解:(1)判断能观性,所以系统状态完全能观，可建立状态观测器, 且观测器的极点可任意配置。,(2) 确定闭环状态观测器系统矩阵的期望特征多项式,观测器系统矩阵 的期望特征值为 ，对应的期望特征多项式为,则 ， .,(3) 求所需的观测器偏差反馈增益矩阵,规范型方法

12、,在例4-1中已求得系统 的特征多项式为,，则 ， 。,根据式（4-33），能观标准型 对应的 下的状态观测器增益矩阵为,按式（4-36）将 化为能观标准型 的变换矩阵为,则根据式（4-35），重构系统 状态x所需的观测器偏差反馈增益矩阵G为,解联立方程方法,与状态反馈闭环系统极点配置的情况类似,若系统是低阶的,将观测器偏差反馈增益矩阵G直接代入所期望的特征多项式往往较为简便。观测器系统矩阵 的特征多项式为,令 ，即 比较等式两边同次幂项系数,得如下联立方程,解得 ，,(4) 由式(4-28),观测器的状态方程为,图4-5 例4-2图,或,被控系统及全维状态观测器的状态变量图如图4-5(a)或

13、图4-5 (b)所示。,4.5 采用状态观测器的状态反馈系统,带有全维状态观测器的状态反馈系统如图4-6所示。,图4-6 带有渐近状态观测器的状态反馈系统,设能控且能观的被控系统 的状态空间表达式为,(4-66),渐近状态观测器的状态方程为,(4-67),利用观测器的状态估值 所实现的状态反馈控制律为,(4-68),将式（4-68）代入式（4-66）、式（4-67）得整个闭环系统的状态空间表达式为,（4-69）,式（4-69）写成矩阵形式，即,(4-70),这是一个2n维的复合系统。为便于研究复合系统的基本特性，对式(4-70)进行线性非奇异变换,(4-71),则,（4-72）,根据式（4-7

14、2）可得2n维复合系统的特征多项式为,(4-73),式（4-73）表明, 由观测器构成状态反馈的2n维复合系统，其特征多项式等于矩阵A-BF的特征多项式 与矩阵A-GC的特征多项式 的乘积。即2n维复合系统的2n个特征值由相互独立的两部分组成：一部分为直接状态反馈系统的系统矩阵A-BF的n个特征值；另一部分为状态观测器的系统矩阵A-GC的n个特征值。复合系统特征值的这种性质称为分离特性。,只要被控系统 能控能观，则用状态观测器估值形成状态反馈时，可对 的状态反馈控制器及状态观测器分别按各自的要求进行独立设计,即先按闭环控制系统的动态要求确定A-BF的特征值，从而设计出状态反馈增益阵F；再按状态

15、观测误差趋于零的收敛速率要求确定A-GC的特征值，从而设计出输出偏差反馈增益矩阵G;最后，将两部分独立设计的结果联合起来，合并为带状态观测器的状态反馈系统。,【例4-3】被控系统 的状态空间表达式为,试设计极点为-3,-3的全维状态观测器，构成状态反馈系统，使闭环极点配置为 和 。,解 显然，被控系统 能控能观，可分别独立设计状态反馈增益阵F和观测器偏差反馈增益矩阵G。,例4-1中已求出此被控系统采用直接状态反馈使 其即为本题所设计的状态反馈增益阵,闭环极点配置为-1+j和-1-j所需的,，,。,而在例4-2中已求出此被控系统无状态反馈时， 即为本题所设计的观测器偏差反馈增益矩阵G。,使观测器

16、极点配置为-3,-3所需的,，其,故设计好的闭环系统状态变量图如图4-8所示。,图4-8 例4-3图,4.6 MATLAB在闭环极点配置及状态观测器设计中的应用,4.6.1 用MATLAB解闭环极点配置问题,MATLAB控制系统工具箱中提供了极点配置函数place( )和acker( ),可用于求解状态反馈增益矩阵。其中, 函数place( )可求解多变量系统的极点配置问题,但该函数不适用于含有多重期望极点的问题;函数acker( )只适用于设计状态变量数目不多( )的单输入单输出系统,可以求解配置多重极点的问题,但该函数不能求解多变量系统的极点配置问题。,极点配置函数的调用格式为,(4-88

17、),(4-89),式(4-88)和式(4-89)中,A 、B分别为被控系统 的系统矩阵、输入矩阵;P为由n个期望闭环极点 构成的向量;F为实现闭环极点配置所需的状态反馈增益矩阵。,4.6.2 用MATLAB设计状态观测器,单输入单输出系统全维观测器的极点配置设计可基于对偶原理,应用MATLAB控制系统工具箱中的函数place( )和acker( )直接求解。,【例4-4】 应用MATLAB极点配置函数求解例5-4的全维观测器设计问题。,解 求解程序如MATLAB Program 4_1,%MATLAB Program 4_1,A=1 3;0 -1; C=1 1; P=-3;-3; %由观测器期望极点构成向量P Gt=acker(A,C,P); %求对偶系统 的状态反馈增益阵Gt %求系统 的观