5.建筑力学第五章轴向拉伸与压缩

1、建筑力学FZJ5,选用教材：建筑力学 出 版 社：中国建筑工业出版社 主讲教师：丰 振 俭,1,第一节 材料力学的基本概念 第二节 轴向拉压的力学特点与工程实例 第三节 轴力与轴力图 第四节 轴向拉压杆横截面上的应力 第五节 拉压变形与胡克定律 第六节 材料拉伸与压缩时的力学性能 第七节 轴向拉伸与压缩时的强度计算 第八节 轴向拉伸和压缩的静不定问题,第五章 轴向拉伸与压缩 主讲 丰振俭,本章通过杆件四种基本变形中最简单的轴向拉压，理解变形固体静力学分析和解决问题的基本思路和一般方法。学习时要熟练掌握轴向拉压杆件的内力、应力、变形及强度计算的概念和方法。掌握材料拉伸与压缩时的力学性能。了解轴向

2、拉伸和压缩的静不定问题的处理方法。 变形固体静力学分析和解决问题的核心思路是:综合运用靜力平衡条件.变形的几何条件.力与变形关系的物理条件解决问题。,教学目的和要求,3,内力、截面法、轴力图,应力和强度的概念； 轴力的计算和轴力图的画法； 截面上应力分布;強度条件及应用; 拉压变形和胡克定律；求解拉压变形值; 材料拉伸与压缩时的力学性能。,教学重点,4,截面法求解内力； 轴力图的画法； 轴向拉伸和压缩时的强度计算； 轴向拉伸和压缩的静不定问题的处理方法。,教学难点,5,引 言,自本章开始,讲解材料力学知识,它是变形固体力学的分支学科之一。研究对象是杆件。 杆件的外力与变形特点 进行结构的受力分

3、析时，只考虑力的运动效应(包括平衡特例)，可以将结构看做是刚体；但进行结构的内力分析时，要考虑力的变形效应，必须把结构作为变形固体处理。所研究杆件受到的其他外界的作用，统称为杆件的外力。外力包括载荷（主动力）以及载荷引起的约束反力（被动力）。广义地讲，对构件产生作用的外界因素除载荷以及载荷引起的约束反力之外，还有温度改变、支座移动、制造误差等。杆件在外力的作用下的变形可分为拉压.剪.扭.弯四种基本变形及其组合变形。 在进行结构设计时，为保证结构安全正常工作，要求各构件必须具有足够的强度.刚度和穏定性。为了解决这个问题，明确的研究思路是:确定计算简图 画受力图 求支座约束反力 作內力图并确定危险

4、截面的内力 求出危险应力和最大变形 根据強度条件.刚度条件和稳定性要求解决结构安全适用问题,並考虑经济合理性。,6,构件工程结构或机械的各组成部件统称构件。构件分类：杆,板.壳及实体。,材料力学主要研究杆件,等截面直杆,等直杆,一、材料力学的研究对象,直杆 轴线为直线的杆,曲杆 轴线为曲线的杆,7,第一节 材料力学的基本概念,杆,板,实体,筒壳,杆件长度方向尺寸远大于横向尺寸的构件。 其几何要素是横截面和轴线。 横截面-与杆长度方向垂直的截面 轴线-横截面几何中心连线。 工程上用轴线表示杆件. 二.材料力学的任务 强度、刚度、稳定性是衡量构件承载力的三个方面，材料力学就是研究构件承载能力的一门

5、科学。 杆件设计要满足的三个基本要求： 強度-构件材料抵抗破坏的能力。 刚度-构件产生单位变形所需的力。 穏定性-构件维持原有平衡状态的能力。,8,轴线,横截面,（1）强度要求。在一定荷载作用下，构件不能发生破坏，即构件材料应有足够的抵抗破坏的能力。 （2）刚度要求。在荷载作用下，构件应有足够的抵抗变形的能力。即构件产生单位变形所需要的力称为构件刚度。 （3）稳定性。构件保持原有平衡状态的能力称为构件的稳定性。如细长受压构件，当压力超过某一临界值时，经常会发生M ，并不是强度不足而破坏，而出现突然弯曲而失去承载能力，此时称该杆丧失稳定性。 为了研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学

6、性能。因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。,9,结构构件的强度、刚度和稳定问题,强度、刚度、稳定性是衡量构件承载力的三个方面，材料力学就是研究构件承载能力的一门科学。 在满足强度、刚度、稳定性的前提下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，为设计构件提供必要的理论基础和计算方法。核心问题是解决工程结构的安全与经济的矛盾,其基础是工程力学。工程技术人员必须具有良好的力学素养。-这就是材料力学的任务。,10,若：构件横截面尺寸不足或形状不合理,或材料选用不当,_ 不满足上述要求, 不能保证安全工作.,若：不恰当地加大横截面尺寸或选用优质

7、材料,_ 增加成本,造成浪费,11,(1)连续性假定。构成材料的物质毫无空隙地充满了构件的整 个容积（可用微积分数学工具，可取微元看整体）。,(2)均匀性假定。物体内材料的力学性质在各处都完全相同,(3)各向同性假定。材料沿各方向的力学性质完全相同。 （这样的材料称为各向同性材料；沿各方向的力学性质不同 的材料称为各向异性材料）。材料力学中尚有两个附加假设:,（4）小变形假定。材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形尺寸而用原始几何尺寸。 (5)线弹性假设。线弹性是指作用于物体上的外力与弹性变形始终成正比。所谓弹性变形是在缷去荷载后能完全消失

8、的那一部分变形;而不能消失的那一部分变形称为塑性变形。工程中大部分问题可局限在线弹性范围讨论。,二、变形固体的基本假设,12,变形固体的基本假设,1、连续性假设： 认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质,在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体。在材料力学中，对变形固体作如下假设：,灰口铸铁的显微组织,球墨铸铁的显微组织,13,2、均匀性假设： 认为物体内的任何部分，其力学性能相同,变形固体的基本假设,普通钢材的显微组织,优质钢材的显微组织,14,变形固体的基本假设,如右图，远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。,4、小变形与线弹

9、性范围,3、各向同性假设： 认为在物体内各个不同方向的力学性能相同,（沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性材料。如木材、胶合板、纤维增强材料等）,认为构件的变形极其微小， 比构件本身尺寸要小得多。 且仅在弹性变形范围内。,15,三、荷载、内力、截面法、应力、变形与应变的概念,1.荷载及其分类: 荷载定义:直接作用在结构上的力，如自重.土压力.风力等;按时间变异性荷载可分为永久荷载.可变荷载和偶然荷载。,按外力作用的范围分类,体积力：连续分布于物体内部各点 的力。如重力和惯性力kN/m3,表面力：,连续分布于物体表面上的力。如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等均为分布力。又可细分为均勻分布力

10、和非均匀分布力。kN/m2,面分布力：,目录,16,线分布力： 连续沿线长度方向的分布力， 有均布与非均布之分。kN/m,按作用性质又可分为:,静荷载缓慢地加到杆件上，只引起物体很微小加速度(可略)的荷载。如构件自重、土压力、靜水压力等为静荷载。 动载荷物体产生不可忽略加速度的荷载。如行驶的汽车对桥梁的作用力、地震力、爆炸力等为动荷载。,交变载荷,冲击载荷,目录,17,集中力： 若外力作用面积远小于物体表面的尺寸， 可作为作用于一点的集中力。 如火车轮对钢轨的压力等,2.内力,Nx,Qy,Mx,构件的材料是有许多质点组成的。构件不受外力作用时，材料内部质点之间保持一定的相互作用力，使构件具有固

11、体形状。当构件受外力作用产生变形时，其内部质点之间相互位置改变，原有内力也发生变化。这种由外力作用而引起的受力构件内部质点之间相互作用力的改变量成为附加内力，简称内力。工程力学所研究的内力是由外力引起的，内力随外力的变化而变化，外力增大，内力也增大，外力撤销后，内力也随着消失。 显然，构件中的内力是与构件的变形相联系的，内力总是与变形同时产生。构件中的内力随着变形的增加而增加大，但对于确定的材料，内力的增加有一定的限度，超过这一限度，构件将发生破坏。因此，内力与构件的强度和刚度都有密切的联系。在研究构件的强度、刚度等问题时，必须知道构件在外力作用下某截面上的内力值。,图4-2,18,(a),(

12、b),Qz,x,y,z,Mz,My,o,y,(c),确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。 如图4-2(a)所示，某空间构件在任意力系作用下处于平衡状态.为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用一假想截面将构件一分为二(图b)并弃去其中一部分II.将弃去部分II对保留部分I的作用以力的形式表示,此即该截面上的内力. 根据变形固体均匀、连续的基本假设，截面上的内力是连续分布的。通常将截面上的分布内力向该截面形心o简化，简化结果为主矢和主矩。主矩用三个投影Nx、Qy、Qz，主矩用三个轴力矩Mx、My、Mz共六个内力分量来表示，如图4-2（c）所示。(平面力系只有Nx、Qy、Mx). 因

13、为构件在外力作用下处于平衡状态,故截开后的保留部分也应保持平衡.由此,根据空间力系的六个平衡方程，既可求出Nx、Qy、Qz和Mx、My、Mz六个内力分量。(平面力系只有三个平衡方程解三个内力分量). 用截面法研究保留部分的平衡时,各内力分量相当于平衡体上的外力.根据刚化原理，研究变形固体平衡问题时，可采用刚体模型。截开前是变形体，截开后研究平衡时是刚体，两种模型交叉使用。,3.截面法,19,图4-3 截面上的内力并不一定都同时存在上述六个内力分量,一般可能仅存在其中的一个或几个.随着外力与变形形式的不同,截面上存在的内力分量也不同,如拉压杆截面上的内力,只有与外力平衡的轴向内力Nx.,截面法的

14、基本步骤： （1）一截。在所求内力处，假想地用截面将杆件切开。 （2）二取。取两部分中的任一部分为脱离体，在截面截开处用内力代替舍弃部分对脱离体的作用。 （3）三平衡。对留下的部分建立平衡方程，求未知内力。 （此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）,20,4. 应力的概念 内力是构件横截面上分布内力系的合力，只求出内力，还不能解决构件的强度问题。例如，两根材料相同、粗细不同的直杆，在相同的拉力作用下，随着拉力的增加，细杆首先被拉断，这说明杆件的强度不仅与内力有关，而且与截面的尺寸有关。为了研究构件的强度问题，必须研究内力在截面上的分布的规律。为此引入应力的概念。内力在截面上的某点处分布集度，

15、称为该点的应力。点的应力如何定义? 设在某一受力构件的截面上，围绕任意点M取为微小面积A（图4-4a），其上的内力的合力为P，这样，在A上内力的平均集度定义为： （1）平均应力 (A上平均内力集度),图4-4a,21,一般情况下，截面上的内力并不是均匀分布的，因此平均应力随所取A的大小而不同。为精确给出横截面上任意点的内力集度，取上式的极限值即为点的分布内力集度，P称为点处的总应力。 （2）实际应力 (M点内力集度) （3）应力分解 P是一矢量，通常把应力P分解成垂直于截面的分量和相切的截面分量。由图中的关系可知 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；,22,在国际单

16、位制中，应力的单位是帕斯卡，以Pa（帕）表示;1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这一单位甚小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）。,23,1kPa=103N/m2,1MPa=106N/m2,1GPa=109N/m2,5 变形与应变,1.位移,刚性位移-点M移动到M,变形位移。,2.变形,物体内任意两点的相对位置发生变化。,取一微正六面体,两种基本变形：,线变形 线段长度的变化,角变形 线段间夹角的变化,目录,24,M,Dx,刚性位移,3.应变,x方向的平均应变：,正应变（线应变）,5 变形与应变,M点处沿x方向的应变：,切应变（角应变）,类似地，可以定义,M点在xy平面内的切应

17、变为：,均为无量纲的量。,目录,25,5 变形与应变,例 5.0,已知：薄板的两条边 固定，变形后ab, ad 仍为直线。,解：,目录,求：ab 边的m 和 ab、ad 两边夹角的变化。,26,拉压变形,拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲,剪切变形,杆件的基本变形：,目录,6 杆件变形的基本形式,27,扭转变形,弯曲变形,目录,.6 杆件变形的基本形式,28,轴向拉圧 轴力N,剪切 剪力V,扭转 扭矩MT,弯曲 弯矩M,29,30,轴向拉压的受力特点： 外力的合力作用线与杆的轴线重合。,轴向拉压的变形特点：,对于轴向拉伸，杆的变形是轴向伸长，横向缩短。,对于轴向压缩，杆的变形是轴向缩短，横向变粗。

18、,第二节 轴向拉压的力学特点与工程实例,31,轴向压缩，对应的外力称为压力。,轴向拉伸，对应的外力称为拉力。,力学模型如图,32,轴向拉伸与压缩的实例,目 录,屋面网架中的拉压杆,33,轴向拉伸与压缩的实例,目 录,起重机吊臂是由拉压杆组装的空间桁架,34,35,压杆稳定失效引发结构破坏,轴向拉伸与压缩的实例,目 录,36,第三节 轴力与轴力图,1、截面法求内力,目 录,(1)假想沿m-m横截面将 杆切开,(2)留下左半段或右半段,(3)将弃去部分对留下部分 的作用用内力代替,(4)对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值,37,第三节 轴力与轴力图,2、轴力：截面上的内力,目 录,由于外力的

19、作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。,3、轴力正负号： 拉为正、压为负,38,（1）反应出轴力与截面位置的变化关系，较直观； （2）反应出最大轴力的数值 及其所在面的位置， 即危险截面位置，为 强度计算提供依据。 作轴力图要画纵标线， 标注正负号见右图。,N,x,P,意义,_-,F,39,4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化,即N(x)的图像。 选取一个直角坐标系，横坐标表示杆横截面位置，纵坐标表示相应截面上的轴力，各纵坐标连线所得的图线表示杆件轴力沿截面位置的变化情况，这种图线称为轴力图。,已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试

20、画出图示杆件的轴力图。,例题5.1,解：1、计算各段的轴力。,AB段,BC段,CD段,2、绘制轴力图。,目 录,40,例5-2 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 1P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。(分段求解),解 求OA段内力N1设置截面如图,取右半部为研究对象,41,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,N2= 3PN3= 5P N4= P,轴力图如右图,D,PD,N,x,2P,3P,5P,P,0,A,B,C,D,42,43,第四节 轴向拉压时横截面上的应力,杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。,在拉（压）杆的横

21、截面上，与轴力FN对应的应力是正应力 。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。 于是得静力关系：,44,第四节 轴向拉压时横截面上的应力,平面假设变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。,受力前在杆件表面画平行纵横线；受力后横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别平行移至ab、cd。,观察变形：,45,第四节 轴向拉压时横截面上的应力,从平面假设可以判断：,（1）所有纵向纤维伸长相等,（2）因材料均匀，故各纤维受力相等,（3）内力均匀分布，各点正应力相等,为常量。,46,第四节 轴向拉压时横截面上的应力,该式为横截面上的正应力计算公式。正应力和轴力FN同号。即

22、拉应力为正，压应力为负。,理原南维圣,47,杆件端部有限范围内横截面正应力为非均匀分布，其余大部分截面为均匀分布。,第四节 轴向拉压时横截面上的应力,48,第四节 轴向拉压时横截面上的应力,例题5.3,图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15mm15mm的方截面杆。,解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象,45,49,解之得：,第四节 轴向拉压时横截面上的应力,2、计算各杆件的应力。,50,第四节 轴向拉压时横截面上的应力,例题5.4,悬臂吊车的斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷W

23、=15kN。当W移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。,解：,当载荷W移到A点时，斜杆AB受到拉力最大，设其值为Fmax。,讨论横梁平衡,51,第四节 轴向拉压时横截面上的应力,由三角形ABC求出,斜杆AB的轴力为,斜杆AB横截面上的应力为,52,第四节 轴向拉压时横截面上的应力,实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时却是沿斜截面发生的。,53,当=450 ,正应力=0,剪应力最大 ,为純剪应力状态。,第五节 材料拉伸时的力学性能,力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学特性。,一 试件和实验条件,常温、静载,54,演示金属拉伸试验1,2,圆截面试件：,或,矩形截

24、面试件：,或,第五节 材料拉伸时的力学性能,标准试件,55,第五节 材料拉伸时的力学性能,56,万能材料试验机,第五节 材料拉伸时的力学性能,二 低碳钢的拉伸,57,第五节 材料拉伸时的力学性能,明显的四个阶段,1、弹性阶段ob,比例极限,弹性极限,2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）,屈服极限,3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）,强度极限,4、局部径缩阶段ef,胡克定律,E弹性模量（GN/m2）,58,为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材料的应力应变曲线图。,A为原始横截面面积； 为名义应力。,l 为原始标距； 为 名义应变。,59,应力应变曲线图,拉伸过程四个阶段的变形特征

25、及应力特点：,（1）弹性阶段。,此阶段试件变形完全是弹性的，且与成线性关系,E=tgn 为线段OA的率；,比例极限p 对应点A,弹性极限e 对应点B,60,b,（2）屈服阶段。,此阶段应变显著增加，但应力基本不变，称为屈服现象。在在此阶段产生的变形主要是塑性的。,屈服极限s 对应点C（屈服低限）,61,b,（3）强化阶段。,此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。,强度极限b 对应点E (拉伸强度)，最大名义应力,此阶段如要增加应变，必须增大应力。,62,b,（4）颈缩阶段。,试件上出现急剧局部横截面收缩称为颈缩，直至试件断裂。,63,b,第五节 材料拉伸时的力学性能,两个塑性指标:,断后伸长率,断

26、面收缩率,为塑性材料,为脆性材料,低碳钢的,为塑性材料,64,A1 为断口处最小 横截面面积。,伸长率为,平均塑性伸长率,不能准确反映实际变形。,根据应力-应变曲线中线段OA的斜率可以求出弹性模量，即,总伸长率,65,第五节 材料拉伸时的力学性能,三 卸载定律及冷作硬化,1、弹性范围内卸载、再加载,2、过弹性范围卸载、再加载,材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。,材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。,66,第五节 材料拉伸时的力学性能,四 其它材料拉伸时的力学性质,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限p0.2来表示。,67,p0.2 =0.85

27、b,第五节 材料拉伸时的力学性能,对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。,bt拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。,68,第六节 材料压缩时的力学性能,一 试件和实验条件,常温、静载,69,第六节 材料压缩时的力学性能,二 塑性材料（低碳钢）的压缩,拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。,屈服极限,比例极限,弹性极限,E - 弹性摸量,70,第六节 材料压缩时的力学性能,三 脆性材料（铸铁）的压缩,脆性材料的抗拉与抗压 性质不完全相同,压缩时的强度极限远大 于拉伸

28、时的强度极限,71,第六节 材料压缩时的力学性能,72,第七节 失效、安全系数和强度计算,一 、安全系数和许用应力,工作应力,塑性材料的许用应力,脆性材料的许用应力,n 安全系数 许用应力,ns=1.52.5,nb=2.05.0,73,第七节 失效、安全系数和强度计算,二 、强度条件,根据强度条件，可以解决三类强度计算问题,1、强度校核：,2、设计截面：,3、确定许可载荷：,74,例5-5 有一根由Q235钢材制成的拉杆。已知Q235钢的许用应力=140MPa,杆的横截面为圆形,直径d=14mm。若杆受有轴向拉力P=15kN，试校核此杆是否满足强度要求。,解 杆中的最大轴力,杆的横截面面积为,

29、Q235钢的许用应力为 =140MPa,将已知条件代入得,故强度满足要求。,75,第七节 失效、安全系数和强度计算,第七节 失效、安全系数和强度计算,例题5.6,油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力=40MPa， 求螺栓的直径。,每个螺栓承受轴力为总压力的1/6,解： 油缸盖受到的力,根据强度条件,即螺栓的轴力为,螺栓的直径为,76,第七节 失效、安全系数和强度计算,例题5.7,AC为50505的等边角钢，AB为10号槽钢，=120MPa。确定许可载荷F。,解：1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象,2、根据斜杆

30、的强度，求许可载荷,查表得斜杆AC的面积为A1=24.8cm2,77,第七节 失效、安全系数和强度计算,3、根据水平杆的强度，求许可载荷,查表得水平杆AB的面积为A2=212.74cm2,4、许可载荷,78,（1）杆的纵向总变形。,（3）纵向线应变。,（2）正应变 。单位长度的变形量,无量纲。,1.拉压变形,第八节 拉压变形与胡克定律,79,（5）横向线应变。,（4）杆的横向变形。,2.胡克定律,当杆所受外力在某一限度内时，正应力与纵向应变成正比，即,(6)泊松比（或横向变形系数）,E为弹性模量，可用弹性阶段OA斜线斜率测得E=tgn, 单位MPa。钢材E=200GPa,又:,则胡克定律可表示

31、为 ,可分段累加求变形值。 EA称为抗拉压刚度,表示材料在拉压（压缩）时抵抗变形的能力。,80,代入 式中,第八节 轴向拉伸或压缩时的变形,81,第八节 轴向拉伸或压缩时的变形,对于变截面杆件（如阶梯杆），或轴力变化。则,82,例题5.8,AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。,解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象,2、根据胡克定律计算杆的变形。,第八节 轴向拉伸或压缩时的变形,斜杆伸长,水平杆缩短,83,3、节点A的位移（以切代弧）,第八节 轴向拉伸或压缩时的变形,84,第八节 轴向拉伸或压缩

32、时的变形,在 范围内,有,85,第九节 拉伸、压缩超静定问题,约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得,静定结构：,86,第九节 拉伸、压缩超静定问题,约束反力不能由平衡方程求得,超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高,超静定度（次）数：,约束反力多于独立平衡方程的数,独立平衡方程数：,平面任意力系： 3个平衡方程,平面共点力系： 2个平衡方程,87,平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程胡克定律；补充方程，由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,求解超静定问题的方法步骤：,88,第九节 拉伸、压缩超静定问题,例5-9 平行杆1、2、3互相平行，悬吊着刚性横梁AB，如图所示

33、。载荷G作用在横梁上B处。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均为A、l、E。试求三根杆的轴力N1、N 2 、N 3。,89,第九节 拉伸、压缩超静定问题,解 根据静力平衡条件，可得,根据几何条件得,根据物理关系可得,求解可得,90,第九节 拉伸、压缩超静定问题,1、列出独立的平衡方程,超静定结构的求解方法：,2、变形几何关系,3、物理关系,4、补充方程,5、求解方程组，得,例题5.10,91,第九节 拉伸、压缩超静定问题,例题5.11,在图示结构中，设横梁AB的变形可以省略，1，2两杆的横截面面积相等，材料相同。试求1，2两杆的内力。,2、变形几何关系,3、物理关系,4、补充方程,5、求解方程组得,92,第十节 温度应力和装配应力,一、温度应力,已知：,材料的线胀系数,温度变化（升高）,1、杆件的温度变形（伸长）,2、杆端作用