数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题.4课题学习 最短路径问题.ppt

1、八年级 上册,13.4 课题学习 最短路径问题,授课人：邱瑞媚 授课班级：初二（7）班,课件说明,本节课以数学史中的2个经典问题“将军饮马问题”“造桥选址问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题,学习目标： 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 学习重点： 利用轴对称、平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题,课件说明,1、如图1：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路

2、距离最短？理由是什么？,选择线段AB最短；理由：两点之间线段最短,温故而知新：,如图1,2、如图2，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,所以泵站建在点P可使输气管线最短,A,B,如图2,P,P/,l,ABAP+ BP,由三角形三边关系得：,连接AB，交l于点P,如图：AP+BP=AB,问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,探索新知,精通数学、

3、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”,C,探究：点C 在l 的什么位置，使得AC +CB 的和最小？,B,C,探索新知,B,A,l,如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，如何确定点C 在l 的什么位置，使得AC +CB 的和最小？,（1）作点B 关于直线l 的对称点B,（2）连接AB,与直线l相交于点C,则点C 即为所求,使得AC+CB 最小,目的：CB= CB,B,则AC +CB = AC+ CB,问题转化为求AC+ CB最小,C,D,归纳作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B； （2）连接AB，与直线l 相交于

4、点C 则点C 即为所求,使得AC+CB 最小,探索新知,如图，点A，B 在直线l 的同侧，如何在l上找个点C，使得AC 与CB 的和最小？,B,C,探索新知,你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,B,C,C,证明：如图，在直线l 上任取一点C （与点C 不重合），连接AC，BC， BC,AC +BC = AC +BC = AB， 而 AC+BC = AC+BC 在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC,运用新知,练习1如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，

5、再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径,分析：在BC上找一点M使得PQ+QM+MP最小,而PQ的长固定，则只需在BC上找一点M，使得QM+MP最小,Q,作法：,（1）作点Q 关于直线l 的对称点Q； （2）连接PQ，与直线l 相交于点M 则点M 即为所求,使得QM+MP 最小,M, PQ+QM+MP最小,探索新知,问题2：（造桥选址问题） 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,分析：如何选桥MN的位置，会使得AM+MN+BN最小,由于MN与a,b垂直，所以只需确定N在b的位置即可,N,如图

6、，河宽是固定的，点N在b的什么位置，使得AM+BN最小？,探索新知,将AM和a沿与河岸垂直的方向平移,此时，M与N重合，A移到A,则AM= AN,所以AM+BN= AN+BN,问题转化为在b上找一点N，使得AN+BN最小,A,作法：,（1）将A沿与河岸垂直的方向平移MN长度到A,(2)连接AB与直线b交于点N,则点N使得AN+BN最小,（3）在点N处造桥MN，所得AM+MN+BN最小,A,a,a,B,A,b,课堂小结：,你这节课的收获是什么？,、解决了两类最短路径问题， 一类是平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小问题 一类是造桥选址问题,、学会了将实际问题转化成数学问题，运用

7、轴对称、平移的方法解决生活中最短路径的问题，确定出最短路径的方法。,、如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,、如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,图,图,课后作业：,结束寄语,不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.,再见,A,M,N,证明：如图，另任作桥 ，连接 ， ，,由平移性质可知， A， AA ， A.,则AM+MN+BN= AM+ BNAB，,在A中，由线段公理知A N +BN A B,因此 AM+MN+BN,你能用所学的知识证明最短吗？,而A MN.,所以，最短。,