二阶导数的应用

1、二、二阶导数的应用,4.5 函数极值的判定 定理4.6 如果函数f(x)在x0附近有连续的二阶导数f(x)，且f(x0)0，f(x)0，那么 若f(x0)0，则函数f(x)在点x0处取得极大值 若f(x0)0，则函数f(x)在点x0处取得极小值,例4.11 求下列函数的极值 f(x)2x33x2 f(x)sinxcosx，x0,2 解：f(x)6x26x，f(x)12x6 令6x26x0，得驻点为x11，x20 f(1)60，f(0)60 把x11，x20代入原函数计算得f(1)1、f(0)0 当x1时，y极小1，x0时，y极大0,例4.11 求下列函数的极值 f(x)sinxcosx，x0,

2、2 解: f(x)cosxsinx，令cosxsinx0， 得驻点为x1 ，x2 ，又f(x)sinxcosx， 把x1 ，x2 代入原函数计算得 f( ) 、f( ) 。所以当x 时，y极大 ，x 时，y极小 注意 如果f(x0)0，f(x0)0或不存在，本定理无效，则需要考察点x0两边f(x)的符号来判定是否为函数的极值点。,4.6 函数的凹凸性和拐点 1. 曲线的凹凸性 设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的， 如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在(a,b)内是凸的。 从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹

3、的，曲线段向下弯曲是凸的。 定理4.7 设函数yf(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b)内f(x)0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的，如果在(a,b)内f(x)0，那么对应的曲线在(a,b)内是凸的。,例4.13 判定曲线y 的凹凸性 解：y f(x) ，f(x) ， 无拐点但有间断点x0 当x0时，f”(x)0，曲线在(,0)内为凸的， 当x0时，f(x)0，曲线在(0,)内是凹的。,例4.14 判定曲线ycosx在(0,2)的凹凸性 解：ysinx，ycosx， 令y0，得x1 ，x2 当x(0, )时，f”(x)0，曲线在(0, )内为凸的， 当x( )时，f”(x)0，

4、曲线在( )内是凹的， 当x( ,2)时，f”(x)0，曲线在( ,2)内为凸的。,2. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f(x)0的点，但是使f(x)0 的点不一定都是拐点。 求拐点的一般步骤 求二阶导数f(x)； 求出f(x)0的全部实根； 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的 符号，如果x0两侧f(x)的符号不同，则点(x0,f(x0) 是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点 (x0,f(x0)不是曲线的拐点。,例4.15 求曲线yx34x4的凹凸区间和拐点 解：yx24，y2x,令2x0，得x0 当x0时，y”0，曲线在(,0

5、)内为凸的， 当x0时，y0，曲线在(0,)内是凹的。 在x0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲 线上的拐点。 例4.16 讨论曲线yx41的凹凸性和拐点 解：f(x)12x2 当x0时，f(x)0，而f(0)0 因此曲线yx41在(,)内都是凹的， 点(0,1)不是拐点。,4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准 确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为： 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函 数图象和两坐标轴的交点； 计算f(x)，令f(x)0求出f(x)的驻点、极值 点和增减区间； 计算f“(x)，令f”(x)0求出f(x)的拐点和凹凸 区间； 计

6、算驻点、拐点处的函数值； 列表，描绘函数的图象。,三、高阶导数的应用,4.8 用多项式近似表达函数泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示 一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么 我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?,定理4.8 设f(x)在x0点及其附近有直到n1阶的连续导数，那么 其中Rn(x) (在0与x之间) 上式称为函数f(x)在x0点附近关于x的泰勒展 开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。,当x0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于xn的高阶无 穷小量，可表示为Rn(x)O(xn)。 O(xn)称为皮亚诺余项

7、。 这样，函数f(x)在x0点附近的泰勒展开式又表 示为： 一般地，函数f(x)在xx0点附近泰勒展开式为：,4.9 几个初等函数的泰勒公式 例4.19 求函数f(x)ex在x0点的泰勒展开式 解：f(x)f(x)f(n)(x)ex f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1 于是，ex在x0点的泰勒展开式为： 在上式中，令x1，可得求e的近似公式,例4.20 求函数f(x)sinx在x0点的泰勒展开式 解：f(x)cosx，f(x)-sinx，f(x)-cosx f(4)(x)sinx， f(0)0，f(0)1，f(0)0，f(x)1 f(4)(0)0， f(2n1)(0)(1)n1，f(2n

8、)(0)0 于是，sinx在x0点的泰勒展开式为：,例4.21 求函数f(x)cosx在x0点的泰勒展开式 解：f(x)-sinx，f(x)-cosx，f(x)sinx f(4)(x)cosx， f(0)1，f(0)0，f(0)1，f(x)0 f(4)(0)1， f(2n1)(0)0，f(2n)(0)(1)n 于是，cosx在x0点的泰勒展开式为：,例4.22求函数f(x)ln(1x)在x0点的泰勒展开式 解：f(x) ，f(x)- ， f(x) ，f(4)(x)- ， f(0)0，f(0)1，f(0)-1!，f(x)2! f(4)(0)-3!， f(n)(0)(1)n1(n1)! 于是，ln

9、(1x)在x0点的泰勒展开式为：,4.10 罗必塔法则 1. 不定式 定理4.9 如果当xa时函数f(x)、g(x)都趋向于零，在点a 的某一邻域内(点a除外)，f(x)、g(x)均存在， g(x)0，且 存在(或无穷大)，则,证明： 根据柯西定理有 在x与a之间，当xa时a ， 这说明求可导函数与商的极限时可以转化为求它 们导数的商的极限。 当x时，上述定理也成立。,例4.23 求极限 解：当x0时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有 例4.24 求极限 解：当x1时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有,例4.25 求极限 解：当x时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有,2. 不定式 定理4.10 如果当xa时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点 a的某一邻域内(点a除外)，f(x)、g(x)均存在，g(x)0 且 存在(或无穷大)，则 当x时，上述定理也成立。,例4