第三章 地球重力场及地球形状的基本理论（郭）.ppt

1、1,第三章 地球重力场及形状的基本理论,2,地球重力场状基本理论,3.1.1 地球的概说（略） 3.1.2 地球运动概说 地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。 1、地球的自转 地球的自转即地球绕地轴由西向东旋转。 地球的绕地轴旋转360度的时间：太阳日、恒星日。 地球的自转速度：,3,地球重力场状基本理论,2、地球的公转 地球的公转满足开普勒三大行星运动定律 (1) 行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其 椭圆的一个焦点上 直角坐标方程： 极坐标方程： f 真近点角，p 为焦参数（半通径）,4,地球重力场状基本理论,行星运动在单位时间内扫过的面积相等； 在时间 t 内扫过的面积 s 相等，则

2、面速度 可根据能量守恒定律导出。 (3) 行星运动的周期的平方与轨道的长半轴的立方的比为常数。 设a 和a1 , T 和 T1分别表示两行星轨道的长半径与轨道运行周期。,5,地球重力场状基本理论,则第三定律表达为： 一般可以用来计算行星或卫星的质量。 牛顿万有引力定律： 开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。 天体力学,6,地球重力场状基本理论,宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力大小与他们的质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反比。,在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：,7,地球重力场状基本理论,考虑到Mm 注意： f 、 G、 k2 在不同的教材都表示引力常数。,8,地球重力

3、场状基本理论引力和引力位,物体自由下落，水准面的形状，垂线方向，人造卫星围绕地球的运动以及日月对地球的潮汐作用等等，都和引力场有着密切的关系，因此要利用重力测量资料来研究地球重力场和地球形状，则必须对引力场有所了解。为此，这里先来阐述地球引力，离心力及引力场，重力场有关的为理论基本知识。,9,地球重力场的基本原理,3.2.1 引力与离心力,其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。,10,地球重力场的基本原理,3.2.2 引力位和离心力位 所谓场的定义：由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的任意一点占据其中一定的位置，受到一个力的作用，而这个力的大小与方向只与该点的位置有关，则这一空间

4、称为力场。就力场而言，具有力共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是保守力。若此力为引力，则此场称为引力场。引力是引力场的主要属性，此外还有引力位、引力线以及等位面也是引力场的属性。我们讨论地球引力场，就是要了解它的这些属性和它们之间的相互关系。,11,引力位：单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为引力位，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即：,我们首先叙述引力和引力位。 设有两个质量为m和M的质点M和P，它们的直角坐标分别为（a、b、c）和（x、y、z)， M、P之间的距离为r。根据万有引力定律得：,12,上式中的r为

5、当M=1，即P点为单位质点时，万有引力可以写成 引力F的三个方向余弦为：,13,因此引力F在三个坐标轴上分量为： 有了引力在三个坐标轴上的分量，就可以求得引力在任意方向l上的分量 为了研究问题方便，通常引入位函数的概念，它的定义如下：设有一个标量函数，它对被吸引点各坐标轴的偏导数等于力在相应坐标轴上的分量，这样的函数称为位函数。对于引力来说，则有引力位函数，简称引力位，用V表示质点的引力位，其形式为：,14,验证上式是否为引力位。分别对坐标x，y，z求偏导数得：,15,现将位函数的定义推广，位函数对任意方向L的导数应等于力在该方向上的分量。,以上是预先假设的一个函数，随后又从数学观点出发推到引

6、力位。现在从物理学观点说明位的意义。,16,地球重力场的基本原理,万有引力定律：,推导如下:,假设沿力线方向做功为,，则有,此功等于位能的减少，,积分则有：,因为r, V=0。所以 C=0 ，则有,取 m=1，,17,如果质点P由r移动r1，则所做的功为 由此可见，质点在引力场中运动时，引力所做的功等于位函数在质点的终点和起点的函数之差，而与质点所经过路程无关。引力位的物理意义是质点在某一位值时对无穷远处的引力位能的负值。 公式 是质点引力位，一般情况下吸引质量M不是一个质点，而是一个质体。当P点和这个质体的距离较近时，就不能将质体看成质点了，这时要求得质体的引力位，则必须将该质体分成许多微小

7、质元来进行积分。,18,地球重力场的基本原理,地球总体的引力位函数：,1、由牛顿第二定律可知：,2、对位函数求导：, 则有,19,地球重力场的基本原理,结论： 单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的导数，方向与径向方向相反。 推论： 位函数对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度(或引力)向量的负值。,20,离心力及离心力位 地球除了有引力以外，还有离心力，其方向垂直于旋转轴，则质点离心力P等于 公式中 为单位质点到坐标原点的距离。 离心力P在三个坐标轴上的分力为：,21,设有一函数： 将函数Q对三个坐标轴求偏导数，则得 Q就称为离心力位函数，或离心力位。,22,地球重力场的基

8、本原理,3.2.3 重力位,重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心力位Q之和：,对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：,23,各分力的模： 方向余弦： 重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的分力：,地球重力场的基本原理,24,地球重力场的基本原理,当g与l相垂直时，那么d=0，常数,当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重力等位面，专称它为大地水准面。,如果令g与l夹角等于，则有：,水准面之间既不平行，也不相交和相切。,25,对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值

9、上等于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms)， 毫伽(mGal= Gal/1000=10ms) 微伽(Gal= mGal/1000=10m s) 1、地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 2、地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关，理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。,地球重力场的基本原理,26,3.2.4 地球的正常重力位和正常重力 要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面

10、的形状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地球重力位正常重力位。,地球重力场的基本原理,27,地球重力场的基本原理,正常重力位是一个简单函数、不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重力位和地球形状的问题。,1 地球引力位的数学表达式 地球惯性矩表达引力位 (方法1),设地球上的点坐标为:,地球表面点坐标为:,与,与,28,建立空间

11、直角坐标系与球面极坐标系 展开成级数代入公式,地球重力场的基本原理,29,地球重力场的基本原理,由于,30,地球重力场的基本原理,理论力学可知：物体的重心为 定义坐标系： ，则有：,31,用球谐函数表达地球引力位（方法2） 勒让德多项式,地球重力场的基本原理,当已知一阶项P1和二阶项P2时，用下面递推公式计算,32,地球重力场的基本原理,下面给出10阶内 的显式：,33,34,用勒让德多项式表示的第n阶地球引力位公式 由于 角的余弦是M点和S点的直角坐标的函数， 也可用球面三角学公式表示为两点的球面坐标的函数，经过变换之后，即可得n阶引力位的计算公式，下面为用球谐函数表示的公式,35,地球重力

12、场的基本原理,勒让德多项式中： 称为n阶主球函数(或带球函数)， 称为n阶K级的勒让德缔合函数(或伴随函数)。 称为缔合球函数(其中，当k=n时称为扇球函数，当kn时称为田球函数),36,地球重力场的基本原理,用球谐函数表示的地球引力位的公式 2 地球正常重力位,37,将上一节已经导出地球引力位的球面函数展开式，加上离心力位之后，就得到地球重力位。 用拉普拉斯方法表示正常重力位，就是在重力位的球函数展开式中选取头几项，略去余项。当然选取的项数愈多就愈接近地球重力位W。,38,但公式也愈加复杂，达不到简便的目的。如果少取几项，公式简便了，但与重力位W可能相差过大，就不能较正确地反映地球重力位，并

13、给进一步计算两者差异增添了麻烦。在实践中选取项数的多少是根据观测资料的精度和对正常重力位所要求的精度而定。这里为了说明问题方便起见，引力位展开式中只选取前三项来表示正常重力位。,39,地球重力场的基本原理,当选取前3项时，将重力位W写成U,40,地球重力场的基本原理,现在需要求系数： 若将坐标原点设在地球质心上，则 再令坐标轴为地球的主惯性轴，则 再顾及 并设 若地球是旋转椭球体，则有转动惯量 ，将系数代入 则正常重力位可以写成：,41,和重力位水准面一样，令上式等于不同的常数，就有一簇正常位水准面，它具有和重力位水准面同样的性质。在这些正常水准面中总有一个是非常接近于大地水准面的。可以证明，

14、如果只顾及到扁率 及精度的话，其形状是一个规则的椭球。由于它具有正常位水准面的性质，所以称为水准椭球体。现在来推导它的方程式。,42,地球重力场的基本原理,设赤道的离心力与重力之比为： 令： 式中 称为地球形状参数。 先将正常重力位公式进行简化，其中,43,上式右边的第一个乘数即为q。又因为被吸引点s一般在地球表面上或离地球表面不远的外部空间，可认为r=a；在赤道上重力可用其引力 代替。这样 则有：,44,地球重力场的基本原理,注意：如果正常重力位已知，则对应的正常水准面已知，不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找的是与大地水准面相近的正常位水准面的形状，上式中，对r和 取不同的常数

15、值，就得到一簇正常位水准面，取 ，求得与大地水准面相近的正常位水准面方程： 取： ，则有,45,在此情况下，正常位水准面的方程式变为： 上式分母中u，q均为微小量，通常只有1300左右，所以称为a（扁率）级微小量。若将上式分母展成级数，并略去u，q的平方以上各项，则,46,地球重力场的基本原理,这就是接近于大地水准面的那个正常位水准面的方程式。可以证明他是一个旋转椭球体。 另外，旋转椭球面的方程： 则有： 4.4.3正常重力公式 下面来推导旋转椭球体上的重力值，为区别与地球真正的重力值g，称为正常重力，并用 表示。 类似重力位W，正常重力位U也有：,47,上式中：n是正常水准面法线。而U是向量

16、r的函数，不过地心纬度和地理纬度之间差异很小，故可忽略不计。因此，上式可写成： 根据 对r求导数得 将 代入，得水准椭球体上的正,常重力,48,将上式分母展成级数，只保留到a级量，则得：,将,代入上式，则得,49,地球重力场的基本原理,特例： ，赤道正常重力： ，极点处正常重力： 令： 则有： 上述正常重力公式称为克莱罗定理。,50,地球重力场的基本原理,顾及到扁率的二次项的正常重力公式,式中：,正常重力公式中含有三个参数： 如果这三个参数已知的话，就可安纬度来计算正常重力值。为此，如何准确地确定这三个参数，是多年来研究的问题。现在已推导出很多正常重力公式。,51,19011909年赫尔默特公

17、式： 1930年卡西尼公式： 1975年国际地球正常重力公式： GS84坐标系中的椭球重力公式：,地球重力场的基本原理,52,高出水准椭球面H米的正常重力计算公式,地球重力场的基本原理,53,4 正常重力场参数 在物理大地测量中,正常椭球重力场可用4个基本参数决定,即： 其中： 表示水准椭球的正常重力位，,地球重力场的基本原理,表示水准椭球的质量与引力常数的乘积；,表示水准椭球的转动惯量,表示水准椭球的旋转角速度,54,如果这四个基本参数确定了，则水准椭球体的正常重力场也就确定了。 所以地球正常(水准)椭球的基本参数，又称地球大地基准常数 但是通常不一定都采用这四个基本参数，而是下列七个基本参

18、数中任取四个基本参数来确定正常重力位。这七个基本参数是：,55,这七个基本参数具有下列三个关系式,因此只要知道其中的4个基本参数，就可根据上面的关系求出其它3个基本参数。比如，已知,56,引力位中的二阶主球谐系数A2是扁率的函数。不过在卫星大地测量中常用符号J2来表示二阶主球谐系数。它们的关系如下：,57,3.2.5 正常椭球、水准椭球、总地球椭球与参考椭球 正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。 正常椭球的确定： 1、除了确定其M和值外，其规则形状可以任意选择。但考虑到实

19、际使用的方便，又顾及几何大地测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球作为正常椭球。 2、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a, J，fM和外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。,地球重力场的基本原理,58,地球重力场的基本原理,总的地球椭球： 一个和整个大地体最为密合的。总地球椭球中心和地球质心重合，总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，总地球椭球和大地体最为密合。 从几何和物理两个方面来研究全球性问题，我们可把总地球椭球定义为最密合于大地体的正常椭球。正常椭

20、球参数是根据天文大地测量，重力测量及人卫观测资料一起处理确定的，并由国际组织发布。 参考椭球： 其大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。这种最接近，表现在两个面最接近及同点的法线和垂线最接近。,59,3.2.6 确定大地水准面形状的原理 研究大地水准面的形状，除了要研究与大地水准面非常接近的一个平均椭球体以外，还要研究大地水准面相对于椭球体的起伏以及两者的垂线偏差。 解决上述问题的方法，主要是以地球所产生的重力位W与椭球体所产生的正常重力位U之差（称为扰动位），以此为根据，去推求大地水准面相对于椭球体的起伏和倾斜。,60,扰动位 我们知道，不管怎样使选择的平均椭球体非常接近大地水准面，

21、两者之间毕竟是有差异的。由此，同一点上的重力位W与正常重力位U就有一个差值，此差值称为扰动位。即 由于我们选择正常重力位时，使它的离心力位与地球的离心力位相同，因此扰动位具有引力位的性质。 如果大地水准面上或其外部各点的W和U都相等。即扰动位,61,那么正常位水准面和重力位水准面合而为一，此时平均椭球体就是大地水准面。显然，如果能够求得扰动位，那么就可以推算出大地水准面和平均椭球体之间的差异，即大地水准面差距和垂线偏差。 由于所选择的椭球体很接近于大地水准面，U与W的差值很小，所以扰动位T在重力位W中起着改正项的作用。,62,大地水准面差距 如图，S为平均椭球体面，为大地水准面，P0点为面上P

22、点在S面上的投影。由于这两个面距离很近，所以不区别两个面的法线。用N表示P点上两个面之间的距离，称为大地水准面差距。在选择椭球体时，我们规定大地水准面的W0=C和平均椭球体面的U0=C，两个曲面方程的常数C相等。,63,因为 ，则大地水准面上P点的重力位 为： T0是大地水准面上的扰动位，因此大地水准面方程式为,P点上的正常重力位为：,又P0点上的正常重力位为,64,已知两水准面之间的距离N可用两个两水准面之间的位差dU求得，即 由于 ,因此上式可写成： 上式是扰动位与大地水准面差距的关系式，称为布隆公式。,65,垂线偏差 扰动位除了和大地水准面差距有关外，还和垂线偏差有关。所谓垂线偏差是某点

23、的重力方向与相应点的正常重力方向之间的夹角。如果和S平行，则夹角为零，因此可以说，垂线偏差表示此两面的倾斜。扰动位与垂线偏差在子午圈和卯酉圈分量关系式如下：,66,重力测量的基本微分方程 要求得大地水准面上某一点相对于平均椭球体的差距N和垂线偏差，必须已知大地水准面上该点的扰动位T0。因为扰动位是重力位和正常位之差，所以它与重力和正常重力之差即重力异常是有关系的，由此我们可以通过重力异常解算扰动位。 上式称为重力测量基本微分方程式。,67,3.3 高 程系 统 不同的高程基准面对应不同的高程系统。选择高程系统，就是确定表示地面点高程的统一基准面。 水准面的不平行性 在进行水准测量时，整平仪器使

24、水准器气泡居中，这时仪器的水准管轴居于水平，与水准管轴平行的视准轴水平，也就是说视准轴与仪器高度处的水准面相切。所以，水准测量是沿着水准面进行的，两点间的高差应该是通过两点的两个水准面之间的差距。,68,由地球重力场基本理论可知，水准面是重力等位面，即在同一水准面上各点的重力位能都相等。上下相邻两个水准面，由于离开地心的距离（高度）不同，所以位能也不相等。如果两个水准面沿着重力方向的高差是h，重力加速度为g，则两个水准面的位能之差等于gh。 取地球上纬度不同的A、B两点的上下相邻两水准面，如图所示。两个水准面的位能不相等，设下面的位能为W，上面的位能为W+W。由于它们各自都是等位面，两个面上任

25、意两点处位能之差W都应相等。,69,即,W+W,W,hA,hB,A（gA）,B（gB）,O,B,A,N,h1,h2,h3,h3,h2,h1,C,H3,H2,H1,E,式中 为A，B两点处两个水准面之间的距离；为A，B两点处各自的重力加速度；-W为位能增量的负值。,由于地面上的重力加速度随纬度和物质分布的情况而变化，即 所以,由此可以得出结论：水准面相互间是不平行的。这种特性称为水准面的不平行性。,70,水准面的不平行性是由两部分原因造成的。地面上一点的重力加速度分为正常重力加速度与重力异常两部分。对应于正常椭球的重力加速度叫正常重力加速度，相应的等位面称为正常位水准面，它的形状相当于一族向两极

26、收敛的旋转椭球面，其不平行性是规则的，仅随纬度而变。地壳内部物质密度不均匀引起重力加速度变化，使地面点实际的重力加速度值与相应的正常重力加速度不相等，其差值叫重力异常。重力异常变化部分只有通过实测才能反映其变化规律。水准面的不平行性将对水准测量成果产生影响。如图所示,71,设由OAB路线水准测量得到B点的高程 由ONB线路得到B点高程 由于水准面不平行，对应的和不相等，水准环线高程闭合差也不等于零，称为 理论闭合差。,高 程系 统,为了解决由于水准面不平行所产生的水准测量结果的多值性，使一点高程具有唯一确定值，必须研究并合理地选择高程系统。大地测量中，定义了正高、正常高、大地高及力高等高程系统

27、。,72,3.3.1大地高系统 大地高由两部分组成：地形高部分(含H正或H正常)及大地水准面(或似大地水准面)高部分。地形高基本上确定着地球自然表面的地貌，大地水准面高度又称大地水准面差距 N，似大地水准面高度又称高程异常，它们基本上确定着大地水准面或似大地水准面的起伏。因此，大地高可表示为：,正高和大地水准面差距N不能精确得到，因此大地高只能通过正常高求得。,73,3.3.2 正高系统 正高系统是以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高是该点沿垂线方向至大地水准面的距离。 在铅垂线BC的不同点上，重力加速度有着不同的数值。如果相应于dH处的重力加速度为 ， 由等位面的位差公式可得 ：,高

28、 程系 统,74,取铅垂线BC方向上不同深度处重力加速度的平均值 ，则有,由上式可知，正高不依水准路线而异，因为式中 是常数， 是过B点的水准面与起始大地水准面之间位能差，也不随路线而异。因此正高是一种唯一确定的数值，可以用来表示地面点的高程。但是， 是地壳内部铅垂线BC上重力加速度的平均值，无法由实测求得，同时与地壳内部质量分布及密度密切相关，所以 无法精确计算出来，正高不可能精确求定。,75,3.3.3 正常高系统 将正高系统中不能精确测定的 用正常重力代替，便得到另一种系统的高程，称其为正常高。我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。 式中，g可以在水准路线上由重力测量测得，d

29、h由水准测量测得， 可由正常重力加速度公式计算出，所以正常高可以精确求得，其数值也不随水准路线而异，是唯一确定的。因此，正常高系统可以作为计算高程的同一系统。,高 程系 统,76,说明： 1、正常高与正高不同，它不是地面点到大地水准面的距离，而是地面点到一个与大地水准面极为接近的基准面的距离，这个基准面称为似大地水准面。因此，似大地水准面是由地面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面，它不是水准面，只是用以计算的辅助面。因此，我们可以把正常高定义为以似大地水准面为基准面的高程。 2、正常高和正高之差,在高山地区可达4米，在平原地区数厘米，在海水面上相等，大地水准面的高程原点对似大地水准面也

30、是适用的。 ,高 程系 统,77,正常高高差的实际计算公式,分项积分得到,78,因此，有正常高计算公式： 上式第一项是水准测量测得的高差，第二项为正常位水准面不平行改正数，一二项之和称为概略高程。第三项由正常位水准面与重力位面不一致引起的，称为重力异常改正项。 当计算两点高差时，有公式：,79,将上式右端第二，三大项分别用 表示，则,正高与正常高的差异,80,因此，对于任意一点正常高和正高之差，亦即任意一点似大地水准面与大地水准面之差的差值是：,假设山区， 在平原地区， 在海水面上 即正高和正常高相等。这就说明在海洋面上，大地水准面和似大地水准面重和。所以大地水准面的大地原点对似大地水准面 也

31、适用。,81,3.3.4 力高和地区力高高程系统 同一个重力位水准面上两点的正高或正常高是不相等的。对于大型水库等工程项目，它的静止水面是一个重力等位面，在设计、施工、放样等工作中，通常要求这个水面是一个等高面。这时若继续采用正常高或正高显然是不合适的，为了解决这个矛盾，可以采用所谓力高系统，它按下式定义：,高 程系 统,82,注意：说明力高是区域性的，主要用于大型水库等工程建设中。它不能作为国家统一高程系统。在工程测量中，应根据测量范围大小，测量任务的性质和目的等因素，合理地选择正常高，力高或区域力高作为工程的高程系统。,高 程系 统,83,3.3.5 国家高程基准 1、高程基准面 高程基准

32、面：就是地面点高程的统一起算面，由于大地水准面所形成的体形大地体是与整个地球最为接近的体形，因此通常采用大地水准面作为高程基准面。 高程基准面的确定：在海洋近岸的一点处竖立水位标尺，成年累月地观测海水面的水位升降，根据长期观测的结果可以求出该点处海洋水面的平均位置，假定大地水准面就是通过这点处实测的平均海水面。 验潮、验潮站,高 程系 统,84,1956年黄海高程系统：1950年至1956年7年间青岛验潮站的潮汐资料推求的平均海水面作为我国的高程基准面。 1985国家高程基准：根据青岛验潮站 19521979年中取19年的验潮资料计算确定，并从1988年1月1日开始启用。 ,高 程系 统,85,2、水准原点 为了长期、牢固地表示 出高程基准面的位置，作 为传递高程的起算点，必 须建立稳固的水准起算点， 用精密水准测量方法将它 与验潮站的水准标尺进行 联测，以高程基准面为零 推求水准原点的高程。,高 程系 统,86,1956年黄海高程系统中，我国水准原点的高程为72.289m 1985国家高程基准系统中，我国水准原点的高程为72.260m。 地面上的点相对于高程基准面的高度，通常称为绝对高程或海拔高程，也简称为标高或高程。海洋的深度也是相对于高程基准面而言的，例如太平洋的平均深度为4000m，就是说在高程基准