数学第一章1-01.ppt

1、湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,1,1.1 映射与函数,一、集合,二、映射,三、函数,四、小结,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,2,元素 a 属于集合 M , 记作,1. 定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,一、集合,元素 a 不属于集合 M , 记作,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,3,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,有限集合,自然数集,表示法：,湘潭大学数学与计算科学学院

2、 王文强,4,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,5,无限区间,半开区间,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,6,点的 邻域,( ),其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,去心 邻域,左 邻域:,右 邻域 :,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,7,是 B 的子集,或称 B 包含A ,2. 集合之间的关系及运算,定义2 .,则称 A,若,且,则称 A与B 相等,例如 ,显然有下列关系 :,若,设有集合,记作,记作,必有,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强

3、,8,定义3.给定两个集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,或,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,9,全集的概念,由所研究的所有事物构成的集合称为全集或基本集,注：全集是相对的， 一个集合在一定条件下是全集， 在另一条件下就可能不是全集。,记为I 或.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,10,例如，讨论的问题仅限于正整数， 则全体正整数的集合为全集； 讨论的问题包括正整数和负整数 则全体正整数的集合就不是全集。 又如，要检查某工厂产品的优劣， 则全厂产品为全集， 如只检查某车间，则该车间产品为全集。,湘潭大学数学与计算科学学院 王

4、文强,11,称 IA为A的余集（或补集），记作AC. 即,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,12,集合的运算法则：,设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,13,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,14,二、 映射,1. 映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位 的集合,引例1.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,15,引例2.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,16,引例3.,(点集),(点集),向 y 轴投影,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,17,设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应,规则 f ,使得

5、,有唯一确定的,与之对应 ,则称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像,记作,定义4.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,18,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像.,集合X 称为映射 f 的定义域;,Y 的子集,称为 f 的值域 .,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像,记作,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,19,注意:,1) 映射的三要素,2) 元素 x 的像 y 是唯一的,定义域, 对应规则, 值域 .,但y 的原像不一定唯一 .,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,20,对映射,若, 则称 f 为满射;,若,有,则称f 为单

6、射;,若 f 既是满射又是单射,则称f 为双射或一一映射.,引例2,3,引例2,引例2,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,21,例1.,海伦公式,例2.,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数集,自身之间定义了一种映射,(满射),(满射),湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,22,例3.,如图所示,则有,(满射),湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,23,X (数集或点集),说明:,在不同数学分支中有不同的惯用,X ( ),Y (数集),f 称为X 上的泛函,X ( ),X,f 称为X上的变换,R,f 称为定义在X 上的为函数,映射又称为算子.,名称. 例如,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强

7、,24,2. 逆映射与复合映射,(1) 逆映射的定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上 ,的逆映射记成,例如, 映射,其逆映射为,其中,称此映射,为f 的逆映射 .,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,25,(2) 复合映射,手电筒,D,引例.,复合映射,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,26,则当,由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复,设有映射链,记作,合映射 ,时,或,注意: 构成复合映射的条件,不可少.,以上定义也可推广到多个映射的情形.,定义,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,27,三、函数,例 圆内接正多边形的周长,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,28,因

8、变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,29,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,30,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,31,2、函数的特性,有界,无界,1函数的有界性:,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,32,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,33,2函数的单调性:,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,34,湘潭大学数

9、学与计算科学学院 王文强,35,3函数的奇偶性:,偶函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,36,奇函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,37,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,38,3、反函数与复合函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,39,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,40,例 求正弦函数,在区间,上的反函数.,解 在区间,上， y和x之间满足一一对应关系,叫做反正弦函数，习惯上记为,因此存在反函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,41,湘潭大学数学与计算科学学院 王

10、文强,42,类似地,余弦函数,的反函数叫做反余弦函数，记作,正切函数,的反函数叫做反正切函数，记作,余切函数,的反函数叫做反余切函数，记作,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,43,(2) 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,44,例如, 函数链 :,但可定义复合函数,时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数,当改,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,45,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构

11、成复合函数的条件.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,46,注意:,不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,47,例3,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,48,4、函数的运算,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,49,5.1、基本初等函数,1、幂函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,50,2、指数函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,51,3、对数函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,52,4、三角函数,正弦函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,53,余弦函数,

12、湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,54,正切函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,55,余切函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,56,正割函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,57,余割函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,58,5、反三角函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,59,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,60,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,61,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,62,5.2 初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式

13、子表示的函数,称为初等函数.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,63,例5,解,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,64,综上所述,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,65,双曲函数与反双曲函数,奇函数.,偶函数.,1、双曲函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,66,奇函数,有界函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,67,双曲函数常用公式,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,68,2、反双曲函数,奇函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,69,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,70,奇函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,71,(1) 符号函数,几个特殊的非初等函数：,湘潭大

14、学数学与计算科学学院 王文强,72,(2) 取整函数 y=x x表示不超过x的最大整数,阶梯曲线,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,73,(3) 狄利克雷函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,74,(4) 取最值函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,75,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,式子来表示的函数,称为分段函数.,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,76,例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.,解,单三角脉冲信号的电压,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,77,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,78,例2,解,故,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,79,四、小结,基本概念 集合, 区间, 邻域.,函数的概念,函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.,反函数 复合函数,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,80,函数的分类:,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,81,思考题,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,82,思考题解答,设,则,故