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常微分方程,辅导课程九,主讲教师：王稳地,常系数齐线性方程的解法,设所有的系数都是实常数，要求(1)的一个 基本解组，需要把x的变化范围从实数扩 大到复数，而t的变化范围仍然是实数域， 由此需要考虑实变量复值函数，,这里，u(t),v(t)是实变量t的实值函数,Z(t)在a,b上连续等价于u(t)和v(t)连续 Z(t)在a,b上可导等价于u(t)和v(t)可导 导数运算性质：设 实变量复值函数,c是复值常数. 则有,一些重要函数,设,设所有的系数都是实常数。设x=Z(t)是实 变量复值函数，若,x=Z(t)是复值解 定理 设,定理 设 是(3)的解，则 U(t)是(4)的解，V(t)是(5)的解,常系数齐线性方程,找 这种解，,特征方程，特征根 注意特征方程与(1)的对应关系,特征根是互不相同的实根,n 个解,下面可以证明这n个解线性无关 例,特征方程：,特征根是互不相同的但有复根,来替换，若还有,其它的复值解，用同样的方法来替换,特征根有重根,定理 设 是一个k重特征根，则,是解 证明,特征方程和微分方程的对应关系： 设一个微分方程的特征方程为,根据对应关系，原来的微分方程为,可以看出，,是解,经过代换得,所有的b都是常数。方程 变为 (1),(2)的特征多项式为,令,由于,于是 是(2)的解,是(1)的解,这n个解是线性无关的,

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