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文档简介

1、1,第五节 曲线凸性、拐点与渐近线,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,4.5.1 曲线凸性与拐点,2,定义：设函数y=f(x)在(a，b )内可导，如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的上方，则称该曲线为上凸的（凸弧），称区间(a，b )为该曲线的上凸区间；如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的下方，则称该曲线为下凸的（凹弧） ，称区间(a，b )为该曲线的下凸区间或凹区间。,规范的定义：如果函数y=f(x)在(a，b )内任意两点x1，x2都满足：,则称该曲线为上凸。,如果函数y=f(x)在(a，b )内任意两

2、点x1，x2都满足：,则称该曲线为下凸。,3,定理1：设函数y=f(x)在(a，b )内二阶可导,则有,(1)若在(a，b )内有 ，曲线y=f(x)在(a，b )内下凸。 (2)若在(a，b )内有 ，曲线y=f(x)在(a，b )内上凸。,4,例1：,解：,注意到,5,定义：,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,证：,由可导函数取极值的条件.,6,拐点的求法,7,例2：,解：,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,8,注意:,曲线的上凸区间为 ，下凸区间为 和 ，拐点为（0，1）和 。,9,例3：,解：,10,考研题欣赏,（2004年3，4）设 ，则,(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0

3、)不是曲线y=f(x)的拐点。,(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。,(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。,(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点。,答案：(C),11,4.4.2 曲线的渐近线,定义:,1.垂直渐近线,12,例1:,两条有垂直渐近线:,解：,13,2.水平渐近线,例2:,有两条水平渐近线:,解：,14,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,15,注意:,16,例3：,解：,17,18,考研题欣赏,（2000年3，4）曲线,（A）仅有水平渐近线。,（B）仅有铅直渐近线。,（C）既有铅直又有水平渐近线。,（D）既有铅直又有斜渐近线。,答案：(D),19,考研题欣赏,（2003年3,4）曲线,的单调区间、极值、渐近线。,20,4.4.3 函数作图,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,21,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,22,例1：,解：,定义域为 x 0。非奇非偶函数,且无对称性.,23,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,24,作图,25,26,

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