双曲线的方程.ppt

1、要点梳理 1.双曲线的概念 平面内动点P与两个定点F1、F2（|F1F2|=2c0） 的距离之差的绝对值为常数2a（2a2c），则点 P的轨迹叫 .这两个定点叫双曲线的 ， 两焦点间的距离叫 . 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a，|F1F2|=2c， 其中a、c为常数且a0,c0：,9.6 双曲线,基础知识 自主学习,双曲线,焦距,（1）当 时，P点的轨迹是 ； （2）当 时，P点的轨迹是 ； （3）当 时，P点不存在.,ac,a=c,ac,焦点,双曲线,两条射线,2.双曲线的标准方程和几何性质,基础自测 1.双曲线方程： 那么k的范围是 （ ） A.k5 B.2k 5 C.-2k2 D

2、.-2k2或k5 解析 由题意知（|k|-2）（5-k）0， 解得-2k2或k5.,D,2.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 （ ） A. B. C.D. 解析 由题知c=4,且 =2,a=2,b2=c2-a2=12, 双曲线方程为,A,3.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支 上，若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则PF2Q 的周长是 （ ） A.28 B.14-8 C.14+8 D.8 解析 |PF2|+|PQ|+|QF2| =（2a+|PF1|）+|PQ|+（2a+|QF1|） =4a+2|PQ|=8 +14.,C,4.（2009

3、安徽理，3）下列曲线中离心率为 的 是 （ ） A.B. C.D. 解析 e= ,e2= .即 故B选项正确.,B,5.若m0,点 在双曲线 上，则点P到该双曲线左焦点的距离为 . 解析 在双曲线 上,且m0, 代入双曲线方程解得m=3,双曲线左焦点F1(-3,0), 故|PF1|=,题型一 双曲线的定义 【例1】已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与 圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨 迹方程. 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 设动圆M的半径为r， 则由已知|MC1|=r+ ， |MC2

4、|=r- ， |MC1|-|MC2|=2 . 又C1（-4，0），C2（4，0）， |C1C2|=8，2 |C1C2|. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(-4，0)、 C2（4，0）为焦点的双曲线的右支. a= ，c=4， b2=c2-a2=14， 点M的轨迹方程是 =1 （x ）.,探究提高 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几 何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数 法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量,提高 解题速度与质量.在运用双曲线的定义时,应特别 注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨 迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一 支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性.

5、,知能迁移1 已知点P是 双曲线 =1上除顶点外 的任意一点，F1、F2分别为左、 右焦点，c为半焦距，PF1F2 的内切圆与F1F2切于点M，则 |F1M|F2M|= .,解析 根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等, |F1M|-|F2M|=|PF1|-|PF2|=2a， 又|F1M|+|F2M|=2c，解得|F1M|=a+c， |F2M|=c-a，从而|F1M|F2M|=c2-a2=b2. 答案 b2,题型二 双曲线的标准方程 【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x3y=0. （1）若双曲线经过P（ ,2）,求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是2 ，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的

6、距离是6，求双曲线方程. 用定义法或待定系数法求方程. 解 方法一 由双曲线的渐近线方程y= x， 可设双曲线方程为,思维启迪,（1）双曲线过点P（ ，2）， 故所求双曲线方程为 （2）若 0，则a2=9 ,b2=4 . c2=a2+b2=13 . 由题设2c=2 , =1, 所求双曲线方程为 若 0，则a2=-4 ,b2=-9 ,c2=a2+b2=-13 .,由2c=2 , =-1, 所求双曲线方程为 所求双曲线方程为 （3）若 0，则a2=9 ,由题设2a=6, =1. 所求双曲线方程为 若 0，则a2=-4 ,由题设2a=6, =- ， 所求双曲线方程为 故所求双曲线方程为,方法二 （1

7、）由双曲线渐近线的方程y= x, 可设双曲线方程为 （mn0）. 双曲线过点P（ ，2），m0,n0. 又渐近线斜率k= , 故所求双曲线方程为,（2）设双曲线方程为 c2=a2+b2，13=a2+b2, 由渐近线斜率得 所求双曲线方程为,（3）由（2）所设方程 故所求双曲线方程为,探究提高 待定系数法是求曲线方程最常用的方 法之一. （1）与双曲线 有共同渐近线的双曲 线方程可表示为 （2）若双曲线的渐近线方程是y= x, 则双曲线的方程可表示为 （3）与双曲线 共焦点的双曲线方程可 表示为,（4）过两个已知点的双曲线的标准方程表示为 （5）与椭圆 有共同焦点的 双曲线方程表示为 利用上述结

8、论求关于双曲线的标准方程，可简化 解题过程，提高解题速度.,知能迁移2 根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线 有共同的渐近线，且过点 （-3，2 ）； （2）与双曲线 有公共焦点，且过点 （3 ，2）.,解 （1）设所求双曲线方程为 将点（-3,2 ）代入得 所以双曲线方程为 (2)设双曲线方程为 由题意易求c=2 . 又双曲线过点（3 ，2）, 又a2+b2=（2 ）2，a2=12，b2=8. 故所求双曲线的方程为,题型三 双曲线的性质 【例3】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一 双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2 ， 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率

9、 之比为37. （1）求这两曲线方程； （2）若P为这两曲线的一个交点,求cosF1PF2 的值.,思维启迪,设椭圆方程为 双曲线方程为,解 （1）由已知：c= ,设椭圆长、短半轴长分 别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n， 解得a=7,m=3.b=6，n=2. 椭圆方程为 双曲线方程为,（2）不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象 限的一个交点，则|PF1|+|PF2|=14， |PF1|-|PF2|=6, 所以|PF1|=10，|PF2|=4. 又|F1F2|=2 ， cosF1PF2=,探究提高 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚 半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要

10、 内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e= 是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的 一个关系式，利用b2=c2-a2消去b，然后变形求e， 并且需注意e1.,知能迁移3 已知双曲线的方程是16x2-9y2=144. （1）求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线 方程； （2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双 曲线上,且|PF1|PF2|=32,求F1PF2的大小. 解 （1）由16x2-9y2=144,得 a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5，0),F2(5，0), 离心率e= ,渐近线方程为y= x.,（2）|PF1|-|PF2|=6， cosF1PF2= F1PF

11、2=90.,题型四 直线与双曲线的位置关系 【例4】(12分)已知双曲线C: 的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支 于M、N两点，试确定 的范围,使 =0, 其中点O为坐标原点. 直线方程与双曲线方程联立，寻找 交点坐标的关系.,思维启迪,解 设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求 B（1，0）， 当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1， 设M（1，y0），N（1，-y0） （y00）， 由 =0，得y0=1， M（1，1），N（1，-1）. 又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上， 因为0 1,所以 4分,当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y=k(x-1). 得 -(1-

12、 )k2x2+2(1- )k2x-(1- ) (k2+ )=0, 8分 由题意知： -(1- )k20, 所以x1+x2= x1x2= 于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)= 10分,因为 =0,且M、N在双曲线右支上， 由，知 12分,探究提高 （1）直线与双曲线的位置关系与直线与 椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意联立 后得到的一元二次方程的二次项系数能否为零. (2)当涉及直线与双曲线的交点在同一支或两支上 时，在消元时要注意消去范围为R的变量，为解决 根据一元二次方程两根的正负条件的问题打下基础.,知能迁移4 双曲线C与椭圆 有相同的 焦点，直线y= x为C的一条渐近线.

13、（1）求双曲线C的方程； （2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、 B两 点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合). 当 时，求Q 点的坐标.,解 （1）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为(-2，0),(2,0), 对于双曲线C：c=2. 又 为双曲线C的一条渐近线， ，解得a2=1，b2=3， 双曲线C的方程为x2-,（2）方法一 由题意知，如图所示，直线l的斜率 k存在且不等于零. 设l的方程为：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2）. 则Q, = 1 ， A（x1，y1）在双曲线C上，,（16-k2） +32 +16- =0. 同理有（16-k2） +32 2+16-

14、 =0. 若16-k2=0，则直线l过顶点，不合题意. 16-k20. 1、 2是二次方程（16-k2）x2+32x+16- =0的两根. 1+ 2= k2=4，此时0，k=2. 所求Q的坐标为（2,0).,方法二 由题意知直线l的斜率k存在且不等于零. 设l的方程：y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2), 则Q = 1 ，,即2k2x1x2+5k(x1+x2)+8=0. (*) 又 消去y得(3-k2)x2-8kx-19=0. 当3-k2=0时，则直线l与双曲线的渐近线平行，不 合题意，3-k20.,由根与系数的关系有 代入（*）式得k2=4，k=2， 所求Q点的坐标为（2,0）.

15、,方法与技巧 1.两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心. 2.焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b. 3.共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线； 放大的双曲线;共轭放大或放大后共轭的双曲线. 所以与双曲线 共用渐近线的双曲线 的方程可设为 (t0).,思想方法 感悟提高,4.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程 时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0” 就得到两渐近线方程，即方程 就是 双曲线 的两条渐近线方程.,失误与防范 1.区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆a,b,c关 系,在椭圆中a2=b2+c2，而在双曲线中c2=a2+b2. 2.双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率

16、e(0,1). 3.双曲线 (a0,b0)的渐近线方程 是y= , (a0,b0)的渐近线 方程是y=,4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意 说明斜率不存在的情况. 5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如： 当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线 相交于一点，但不是相切；反之,当直线与双曲 线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.,一、选择题 1.双曲线 的焦点坐标为 （ ） A.（-1,0）,（1,0） B.（-3,0）,（3,0） C.（0,-1）,（0,1） D.（0,-3）,（0,3） 解析 a2=4，b2=5，c2=a2+b2=9. 又焦点在y轴上，焦点坐标为（0，-3

17、）和 （0，3）.,定时检测,D,2.若双曲线 =1的一条渐近线方程为 +y=0，则此双曲线的离心率为 （ ） A.B.C. D. 解析 渐近线方程为 +y=0, 又a2+b2=c2,从而 即e=,B,3.两个正数a、b的等差中项是 ,一个等比中项是 ,且ab,则双曲线 的离心率e等于 （ ） A.B.C.D. 解析 a+b=5，ab=6，解得a,b的值为2或3. 又ab,a=3,b=2. c= ，从而e= = .,D,4.（2009全国理,4）设双曲线 (a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则 该双曲线的离心率等于 （ ） A. B.2C. D. 解析 双曲线 的渐近线方程为 因为

18、y=x2+1与渐近线相切，故x2+1 x=0只有 一个实根， -4=0, e= .,C,5.（2009四川理，7）已知双曲线 (b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐 近线方程为y=x，点P( ,y0)在该双曲线上,则 （ ） A.-12 B.-2 C.0 D.4 解析 渐近线方程为y=x,b2=2. 又P（ ，y0）在双曲线上，y =1. 又F1（-2，0），F2（2，0）， （-2- ，-y0）（2- ,-y0） =3-4+y =0.,C,6.已知点F是双曲线 =1（a0,b0）的左 焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于 x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是直 角三角

19、形，则该双曲线的离心率是 （ ） A. B.2 C.1+ D.2+ 解析 将x=-c代入双曲线方程得y= . 由ABE是直角三角形得 =a+c， 即a2+ac=b2=c2-a2,整理得c2-ac-2a2=0. e2-e-2=0，解得e=2(e=-1舍去).,B,二、填空题 7.（2009湖南文，13）过双曲线C： (a0,b0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切 线，切点分别为A、B.若AOB=120(O是坐 标原点)，则双曲线C的离心率为 . 解析 如图，由题知OAAF， OBBF且AOB=120, AOF=60, 又OA=a,OF=c, =cos 60= , =2.,2,8.P为双曲线

20、x2- =1右支上一点,M、N分别是圆 (x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN| 的最大值为 . 解析 已知两圆圆心（-4，0）和（4，0）（记为 F1和F2）恰为双曲线x2- =1的两焦点. 当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|-|PN|最大， |PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半 径之和，同样|PN|最小=|PF2|-1，从而|PM|-|PN|=|PF1|+2-（|PF2|-1）=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5.,5,9.（2009辽宁理，16）已知F是双曲线 =1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的 动点，则|PF|

21、+|PA|的最小值为 . 解析 设右焦点为F,由题可知F坐标为 （4,0）,根据双曲线的定义，|PF|-|PF|=4, |PF|+|PA|=4+|PF|+|PA|， 要使|PF|+|PA|最小，只需|PF|+|PA|最小 即可， |PF|+|PA|最小需P、F、A三点共线，最小 值即4+|FA|=4+ =4+5=9.,9,三、解答题 10.已知AOB的顶点A在射线l1:y= x（x0）上,A,B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|MB|=3.当点A在l1上移动时，记点M的轨迹为W.求轨迹W的方程. 解 因为A，B两点关于x轴对称，所以AB边所 在的直线与y轴平行. 设M(x,y),由题意,得A(x, x),B(x，- x),所以|AM|= x-y，|MB|=y+ x. 因为|AM|MB|=3， 所以（ x-y）（y+ x）=3，即x2- =1. 所以点M的轨迹W的方程为x2- =1（x0）.,11.已知离心率为 的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2 . （1）求椭圆及双曲线的方程； （2）