切切线的定义及判定定理线的定义及判定定理

1、,安徽省第四届中小学微课大赛,沪科版数学九年级下册第24章第4节,王少明,滁州市凤阳小溪河中学,24.4直线与圆的位置关系 切线的判定,切 线 的 判 定,第24章 圆,24.4 直线与圆的位置关系,雨水是沿着圆的切线的方向飞出的怎样判断一条直线是圆的切线呢？,当你在下雨天快速转动雨伞时，雨水飞出的方向是什么方向？,情景导入,图中直线l满足什么条件就是O的切线？,方法1：直线与圆只有一个公共点,方法2：圆心到直线的距离等于半径,d,r,O,l,切线,切点,注意：实际证明过程中，通常不采用方法1; 方法2是从“数量关系”的角度来判定圆的切线。,判定一条直线是不是圆的切线除了这两种方法外还有其它方

2、法吗?,思考交流,（1） 圆心O到直线l的距离d和圆的半径r有什么数量关系? （2）直线 l 和O有什么位置关系？,在O上任意作一条半径OA，经过半径外端点A作直线lOA。,l,d = r,相切,合作探究,由此你发现直线l满足什么条件，又能得到什么结论呢？,l,直线l经过半径OA的外端点A； 直线l垂直于半径0A 结论:直线l是O切线,切线的判定定理：,经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,对定理的理解：,切线必须同时满足两个条件： 经过半径外端点；垂直于这条半径,O,r,l,A, OA是半径， l OA于点A l是O的切线,定理的数学语言表达：,下列各直线是不是圆的切线？如果不

3、是，请说明为什么？,(1)不是，因为直线与半径不垂直.,(2),(3)不是，因为直线没有经过半径的外端点A.,注意 ：在此定理中，直线必须满足1.“经过半径的外端点”2.“垂直于这条半径”，这两个条件，缺一不可，否则就不是圆的切线.,判 断,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：,1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;,2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；,3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,要点归纳,例1 已知：如图,ABC=45，AB是O的直径，AB=AC. 求证：AC是O的切线.,解析：直线AC经

4、过半径OA的外端点，因此只要证OA垂直于AB即可.,证明：AB=AC，ABC45，,ACBABC45.,BAC=180-ABC- ACB=90.,AB是O的直径，, AC是O的切线.,证明直线和圆相切的常见类型 有交点，连半径，证垂直,应用新知,例2 如图，已知：点O为BAC平分线上一点， ODAB于点D,以点O为圆心，OD长为半径作O。 求证：O与AC相切。,O,A,B,C,E,D,证明：过点O作OEAC于点E。 AO平分BAC，ODAB OEOD OE是O的半径, AC是O的切线。,证明直线和圆相切的常见类型 无交点，作垂直，证半径,总结方法,例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线

5、经过圆上某一点,则作过这点的半径为辅助线,再证所作半径与这条直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中未指明直线与圆有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。,练习巩固,1.判断下列命题是否正确. 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） 垂直于半径的直线是圆的切 （ ） 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线. （ ） 和圆只有一个公共点的直线是圆的切（ ） 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线 （ ）,2.如图,AB是O的直径,点D在AB的延长 线上,BD=OB,点C在O上,CAB=30, 求证:DC是O的切线.,O

6、,D,C,B,A,3.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交边BC于P， PEAC于E. 求证:PE是O的切线.,4.如图，OAOB=5，AB8, O的直径为6. 求证：直线AB是O的切,5.如图，AB是O的直径，CDAB， 且 OA2=ODOP. 求证：PC是O的切线.,6.如图，已知ABC，且ACB=90 （1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）： 以点A为圆心，BC边的长为半径作A； 以点B为顶点，在AB边的下方ABD=BAC （2）请判断直线BD与A的位置关系并说明理由.,7.（2018聊城中考） 如图，在RtABC中，C=90，BE平分ABC交AC于点E，作EDEB交AB于点D，O是BED的外接圆 （1）求证：AC是O的切线； （2）已知O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长,拓展提升： 8.已知：ABC内接于O，过点A作直线EF. （1）如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： _ ； _ . （2）如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线.,BAEF,CAE=B,1. 判定切线的方法有哪些？,直线l,与圆有唯一公共点,与圆心的距离等于圆的半径,经过半径外端且垂直这条半径,l是圆的切线,2. 常用的添辅助线方法？,直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径， 再证半径垂直于该直