复变函数与积分变换第3章 积分ppt.ppt

1、第三章 复变函数的积分,3.1复积分的概念 3.2 Cauchy积分定理 3.3 Cauchy积分公式 3.4解析函数的高阶导数,（与实函数中二型线积分类比）,3.1复积分的概念,1. 积分的定义 2. 积分存在的条件及其计算法 3. 积分性质,1. 积分的定义,定义,2. 积分存在的条件及其计算法,定理,证明,由曲线积分的计算法得,3. 积分性质,由积分定义得：,例1,解,解:,例2,可见，在本题中，C的起点与终点虽然相同，但路径不同，积分的值也不同,练习,（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。,解（1）,（2）参数方程为,可见积分与路径有关。,例3,解,=,=,-,=,-,

2、=,-,+,+,0,0,0,2,),(,),(,0,1,0,1,0,n,n,i,z,z,dz,z,z,dz,r,z,z,n,C,n,p,例如,例4,证明：,例如,练习,例5,解,又解,例6,解：,可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。,分析上节的积分例子:,3.2 Cauchy积分定理,由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的 积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解 析区域的单连通有关。,先将条件加强些，作初步的探讨,也称Cauchy-Goursat定理,1.Cauchy积分定理：,(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。,推论 设f (z)在单连通区域B内解析，则对任意 两点z0, z1

3、B, 积分c f (z)dz不依赖于连接起点 z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。,2. 原函数与不定积分的概念,由Cauchy积分定理知：设f (z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分c f(z)dz与路径无关，只与起点和终点有关。,当起点固定在z0, 终点z在B内变动,c f (z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作,定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在 B内解析，且,上面定理表明 是f (z)的一个 原函数。,设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数，,3 积分计算公式,定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为

4、 任意常数)为f (z)的不定积分，记作,定理 设f (z)在单连通区域B内解析， F(z)是f (z) 的一个原函数，则,此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强,例1 计算下列积分：,例2 计算下列积分：,解1),解2),复合闭路定理：,4.基本定理推广复合闭路定理,证明,B,A,A,E,E,F,F,G,H,说明,此式说明一个解析函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. 闭路变形原理,例,解,练习,解,小结 求积分的方法,分析,3.3 Cauchy积分公式,猜想积分,定理(Cauchy 积分公式),证明,一个解析函数在圆心处的值等于它在 圆周上的平均值.,例1,解,例2,解,例3,解,解：,例4,形式上，,以下将对这些公式的正确性加以证明。,3.4