河北省廊坊市2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）（通用）

1、河北省廊坊市2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由题意可得，在复平面内对应的点为，在第四象限，选D2.若等差数列和等比数列满足，则（ ）A. -1B. 1C. -4D. 4【答案】B【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式，求出公差与公比，进而可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，解得，因此，所以.故选B【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列基本量的计算，熟记通

2、项公式即可，属于基础题型.3.已知实数x，y满足条件，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出可行解域，然后平移直线，在可行解域内，找到当在纵轴上的截距最小时所经过的点，求出点的坐标，代入目标函数，求出最小值.【详解】在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图阴影部分就是可行解域，当直线经过点时，在纵轴上的截距最小，所以的最小值为：，故本题选A.【点睛】本题考查了求线性目标函数的最值问题，解题的关键是正确画出可行解域.考查了数形结合思想.4.下列结论中不正确的个数是（ ）“”是“”的充分不必要条件；命题“”的否定是“”；线性回归直线不一

3、定过样本中心点“若，则”的逆否命题是假命题A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】判断由，能不能推出，再判断由，能不能推出，最后根据充分条件和必要条件的定义，判断本命题的真假；根据全称量词的否定应该为特称量词，进行判断；根据线性回归直线一定过样本中心点进行判断；根据原命题与逆否命题是等价命题，可以判断原命题的真假即可.【详解】当时，显然，但是当时，可以得到，显然不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件，是真命题；的否定是，所以本命题是假命题；线性回归直线一定过样本中心点，所以本命题是假命题；因为原命题与逆否命题是等价命题，所以判断原命题的真假即可.可得,所以可以判断“若，则”

4、是假命题，故本题的说法是正确的，综上所述：结论中不正确的个数是2个，故本题选B.【点睛】本题考查了判断有关数学结论的正确性问题，考查了数学知识的综合性判断.5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为4，2，则输出的值为（ ）A. 12B. 25C. 50D. 99【答案】C【解析】【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，所以退出循环，输出.【详解】输入的初始值，程序运行的结果如下:，时，退出

5、循环，输出.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的应用、正确依次写出每次循环得到的值是解题的关键.6.若角终边上的点在抛物线的准线上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，然后可以求出点的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角，利用诱导公式、特殊角的三角函数值求出的值.【详解】抛物线的准线方程为：，因为点在抛物线的准线上，所以，所以点在第二象限内，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了三角函数定义、诱导公式、特殊角的三角函数值，求出抛物线的准线方程是解题的关键.7.已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A. 9B. 12C. 16D. 20【答案】A【解

6、析】【分析】因为，所以利用不等式的性质，把不等式中的变量分离出来，变为，利用基本不等式求出的最小值，确定的取值范围，最后求出的最大值.【详解】因为，所以，（当且仅当时，取等号），要想不等式恒成立，只需，即的最大值为，故本题选A.【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式、不等式恒成立问题，把变量分离出来，利用基本不等式是解题的关键.8.已知函数的图象过点，记，若数列的前n项和为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：由函数的图象过点，求出，从而可得的通项公式，由裂项相消法可得结果.详解：因为函数的图象过点，所以，可得，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项与求和

7、公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9.设，则二项式的展开式的常数项是（ ）A. -160B. -80C. 80D. 160【答案】B【解析】【分析】求出定积分的值，然后求出二项式的展开式的通项公式，然后化简，让的指数为零，最后求出常数项.【详解】，所以，令，所以常数项为，故本题选B.【点睛】本题考查了定积分的计算，求二项式展开式的常数项问题，利用二项

8、式展开式的通项是解题的关键.10.函数的图像与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像，只需将的图像（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由题设知,又因为,而，所以所以，=，因为所以，要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位.故选A.考点：1、三解函数的图象与性质；2、三角函数的图象变换；3、诱导公式.11.已知点F为双曲线的右焦点，点P是双曲线右支上的一点，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】记双曲线左焦点为，由，求出，根据

9、双曲线的定义，即可得出结果.【详解】记双曲线左焦点为因为，又，所以在中，由余弦定理可得，所以，因为点是双曲线右支上的一点，由双曲线定义可得，所以，双曲线C的离心率为.故选C【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.12.函数的定义域为实数集R，对于任意的都有，若在区间函数恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】求出f（x）的周期，问题转化为f（x）和y=m（x1）在5，3上有3个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出m的范围即可【详解】f（x+2）=f（x2），f（x）=f（x+4），f（x）是以4

10、为周期的函数，若在区间5，3上函数g（x）=f（x）mx+m恰有三个不同的零点，则f（x）和y=m（x1）在5，3上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在5，3上的图象，如图示：，由KAC=，KBC=，结合图象得：m，故答案为：【点睛】(1)本题主要考查了函数的零点问题，考查了函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化的能力.(2)解答本题有三个关键，其一是准确画出函数f（x）在5，3上的图象，其二是转化为f（x）和y=m（x1）在5，3上有3个不同的交点，其三是数形结合分析两个图像得到m的取值范围.二、填空题.13.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三

11、个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_.【答案】54【解析】【分析】通过题意可以知道，甲乙两人有一个人可以选三个班，一个人选二个班，丙、丁二人都可以选三个班，根据乘法计数原理，可以求出不同的报名方法种数.【详解】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为.【点睛】本题考查了乘法计数原理，正确理解题意是解题的关键，由题意分析出是加法计数原理还是乘法计数原理是解题的难点.14.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为1的等边三角形，则此几何体的体积为_【

12、答案】【解析】：由三视图可知，该几何体为一个四棱锥，将其还原在长方体中，为四棱锥PABCD，如图所示，故其体积VPABCD.故答案为：.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.15.如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线剪

13、开，拼成如图所示的平行四边形，且中间的四边形为正方形.在平行四边形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_【答案】【解析】分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，分别求出阴影部分的面积和平行四边形的面积，最后利用几何概型公式求出概率.【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为，在长方形中，故平行四边形的面积为，阴影部分的面积为，所以在平行四边形KLMN内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，求出平行四边形的面积是解题的关键.16.已知定义在R上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先根据构造差函数，再根据条件化为一元函数

14、，利用导数确定其单调性，最后根据单调性解不等式，解得结果.【详解】由，可得，即.因为，所以问题可转化为恒成立，记，所以在上单调递增.又，所以当时，恒成立，即实数的取值范围为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.三、解答题.17.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（I）求曲线和直线的极坐标方程；（）若直线与曲线交于P，Q两点，求的值.【答案】（1）的极坐标方程为；直线的极坐标方程 （2）【解析】试题分析：（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把

15、直线方程转化为极坐标方程；（2）根据（1）所得到的结果代入到极坐标方程中，利用几何意义可得结果.试题解析：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），转化为普通方程：，即，则的极坐标方程为，直线的方程为，直线的极坐标方程（2）设，将代入，得：，18.2020年初某酒厂对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，889若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品，图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表。质量指标值频数4369628324表1：设备改造后样本的频数分布表（I

16、）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较.附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）设备改造后性能更优.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，结合频数分布表可完成列联表，利用公式求出的值，与临界值比较大小即可得结果；（2）根据直方图和频数分布表求得设备改造前产品为合格品的概率与设备改造后产品为合格品的概率，比较合格

17、率的大小即可得结论.【详解】（1）根据直方图和频数分布表得到22列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计200200400将22列联表中的数据代入公式计算得：，有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.（2）根据直方图和频数分布表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.【点睛】本题主要考查频率分布直方图、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界

18、值的大小关系，作统计判断.19.河北省高考改革实施方案规定：从2020年秋季高中入学的新生开始，不分文理科，2021年开始，高考总成绩由语数外3门必考科目和物理、化学等六门选考科目自主选择三门构成.最终将每门选考科目的考生原始成绩按照等级赋分规则纳入高考录取总成绩，成绩呈现方式按照一定比例分为A，B，C，D，E五个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到五个分数区间，得到考生的等级成绩。某校高一年级学生共1000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行一次测试，其中地理考试原始成绩

19、基本服从正态分布.（I）求地理原始成绩在区间的人数；（）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求X的分布列和数学期望。（附：若随机变量，则，【答案】（I）818人 （）X的分布列为X0123P数学期望.【解析】【分析】（I）因为地理原始成绩，所以根据正态分布的特点有，结合所给的和能求出地理原始成绩在区间的人数；（）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间内的概率为. 所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且XB ，根据二项分布的性质，列出分布列和计算出数学期望.【详解】解：（I）因为地理原始成绩，所以所以地理原始成绩在（58，94）的人数

20、为（人） （）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间内概率为. 所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且XB 所以 所以X的分布列为X0123P所以数学期望【点睛】本题考查了正态分布的性质、二项分布的期望计算、以及二项分布列，考查了数学运算能力.20.如图，在几何体中，平面底面ABC，四边形是正方形，Q是的中点，（I）求证：平面（）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，则四边形是正方形，点是的中点，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面（2）以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值【详解】证明：（1）如图所示，连接，交于点，连接因为四边形是正方形，所以点是的中点，又已知点是的中点，所以，且，又因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，故，因平面，平面，故平面（2）如图所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，设平面的法向量为，则 即，取，则平面的一个法向量，所以故二面角的平面角的余弦值为【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已