光波导-1.2平板波导电磁场分析1102(精).ppt

1、1.2 平板波导电磁场分析 一、波动方程 (一)Maxwell 方程 电场强度矢量； 电位移矢量； 磁场强度矢量； 磁感应强度矢量。 它们是时间、空间坐标的函数。 媒介中的传导电流密度； 自由电荷密度。,物质特性方程：,其中， 为媒质的极化强度矢量； 为磁化强度矢量； 为媒质的电导率(良好的介质可以近似为0)； 为真空中的介电常数 为真空中的磁导率。,对于非磁性介质， ，从而,电极化强度,线性介质：,则,设 相对介电常数,（3）各向同性,（2）无源、无损耗的良好介质 电流密度 ，电荷密度 Maxwell 方程,考虑介质是 （1）非磁性的,(二)亥姆霍兹方程,解的时间部分以简谐振动的波动方程。,

2、得到波动方程,并可以得到分量方程,再考虑Y方向无限制,，可以得到分量关系：,（Ey）,（Hy）,此分量关系，适用于： （1）介质是非磁、无源、各向同性 （2）解的时间部分为简谐振动 （3）Y方向无限制 （4）介质是均匀的，或非均匀,（4）介质是均匀的(平板波导)，或非均匀（渐变波导）,（三）平板波导波动方程 平板波导： （1）介质是非磁、无源、各向同性 （2）考虑解的时间部分为简谐振动 （3） Y方向无限制 （4）介质是均匀的,可以得到 （1）波动方程,考虑到：解为时谐形式,波动方程可以写为,再利用：,得到波动方程,（下页证明）,真空中的光速 折射率为n的介质中的光速 折射率与介电常数的关系,

3、的证明：,（2） 可以证明，对于平板波导仅存在 横电TE模，只有Ey、Hx、Hz分量，只需求Ey 横磁TM模 只有Hy、Ex、Ez分量，只需求Hy 其余场分量可以由Ey或Hy推导得到。 注意： Ey或Hy的下标y表示是场分量的方向。,对TE模，考虑 中的分量Ey满足的方程,(四)TE、TM模方程及场解形式分析,1、方程,直角坐标系下,设,Ey随坐标的变化：Z方向反映在相位落后上Z， 。Y方向无变化。仅有振幅Ey0随x变化。,而且，,代入波动方程,约去ei(t-Z)，,一般把振幅(场随着x的分布) Ey0(x)写出Ey(x)，又称为不考虑时间和纵向的横向场分布。,所以， TE模 Ey满足 类似，

4、TM模 Hy满足,2、场解形式分析 （1）数理方程要求 满足数学方程：得到通解,满足物理要求(边界条件)： A、有限(包括坐标时，场应该有限) B、分界面切向量连续(导数)；,垂直于分界面法线X方向的Y、Z方向,，Ey、 Hy解为指数形式； ，Ey、 Hy解为正弦或余弦形式；,（2）方程解的形式分析,是二阶常系数齐次线性微分方程，解的形式取决于,当,当,若 n1k0，显然， n1k0 n2k0 n3k0 ，此时，在薄膜、衬底、覆盖层，沿X方向都具有指数的形式，不满足无穷远处的边界条件(波函数有限)，无意义。因而, n1k0不可能存在，因此 n1k0为禁区。,(3)场解具体形式 导模： 若 n1

5、k0 n2k0 n3k0，此时， 在薄膜层， ，Ey、 Hy为正弦或余弦形式； 在衬底、覆盖层 ，Ey、 Hy解为负指数形式；,薄膜、衬底， ，Ey、 Hy为正弦或余弦指数的形式； 覆盖层， , Ey、 Hy解为负指数形式。,衬底辐射模 ： 若 n1k0 n2k0 n3k0，,辐射模： 若 n1k0 n2k 0 n3k0 ，此时 薄膜、衬底、覆盖层，为正弦或余弦指数的形式,二、平板波导中导模的场解,(一)TE模 1、Ey场解,波动方程,j = 1，2，3代表薄膜、衬底、覆盖层。坐标如图所示 。 导模 n1k0 n2k0 n3k0,j =3,通解,j =1， 通解,j =2，,通解,边界条件(1

6、) : x 为了保证场解有限，令 ，所以，,式中，,q、p、h均为正实数,边界条件(2) : x0处，切向量Ey连续：Ey3= Ey1,令 B=(2F - A)i。,边界条件(3) x = -d处，切向量Ey连续： Ey1= Ey2,归纳：平板波导TE导模场解,式中， -覆盖层沿X方向衰减系数 -衬底层沿X方向衰减系数 -薄膜层沿X方向振荡系数 A、B为待定常数，由波导传输的光场的能量确定。 2、HZ(x)场解 应用各场分量的关系，得到,其它场解也可得到:,3、特征方程 运用边界条件 (1) x0、xd，切向量HZ(x) 连续：,A、B不能全为0，其系数行列式0，得到平板波导TE模导模的特征方

7、程,化简:,特征方程横向谐振条件, 、m在哪里？, 隐含在h、p、q中。 m 隐含在tg函数的周期性之中。,4、TE模场分布 (1)薄膜内振荡、呈驻波形态。模阶数m节点数。根据模场，可以求出极值点位置。,节点：场量=0的点。,(2)消逝场衬底、覆盖层中指数衰减 在 处，衰减到x = 0处、x = -d处的1/e。消逝场 可以定义波导 说明，导模场被限制在薄膜中及其附近。,有效厚度,(3)衰减与导模场的约束 相同，n2n3, 所以， p q 同一导模在衬底衰减慢，在覆盖层衰减快。 推广：其它层与薄膜层折射率差如(n1-n2)、 (n1-n3)越大，导模场在其它层(覆盖、衬底)衰减得越快，电磁场在

8、波导薄膜层中约束得越好。,高阶导模比低阶导模在衬底、覆盖层衰减慢,约束差。 因为导模阶数m越高，入射角1越小，n1k0sin1越小，p、p越小。 从波导的功能来，要求约束好。,(4)消逝场的衰减与截止的关系 截止 几何光学观点： 1C12 波动光学观点： p由实数变为虚数。 截止条件 p2 0 【因为p q，所以考虑p】,p 、 q,0,实数,虚数,导模,辐射模,(二)TM模 分析方法同TE模。,(三)导模携带的功率 由电磁场理论，导模在单位宽度上携带的功率 式中， 为玻印廷矢量Z方向分量。 对TE模， 代入Ey，得到各层的功率,总功率,由总功率P可以求出TE模场的振幅系数,TM模的总功率、模

9、场振幅系数求解方法类似。,三、平板波导中辐射模的场解,1、Ey场解 设TE模场解为 波动方程,（1）衬底辐射模 n3k0 n2k0 j =3，覆盖层 波动方程,j =1，薄膜层 波动方程,j =2，衬底层 波动方程,通解,通解,通解,式中,衬底辐射模场解,在n3区：沿正X方向衰减 在n1区：沿X振荡 在n2区：沿X振荡能量有效沿X方向传输,（2）辐射模 n3k0 n2k0 j =3，覆盖层 波动方程,通解,j =1，薄膜层 波动方程,通解,j =2，衬底层 波动方程,通解,式中,辐射模场解,在n3区：沿正X方向振荡能量有效沿X方向传输 在n1区：沿X振荡 在n2区：沿X振荡能量有效沿X方向传输

10、,四、波导损耗 波导损耗分类：散射损耗、辐射损耗。 损耗描述： 损耗系数。 1、散射损耗： (1)波导体内缺陷，杂质原子、气泡、晶格缺陷材料、波导技术可以将这些缺陷控制在相当轻微的程度，一般可略。,(2)表面粗糙形成的（瑞利）散射损耗。波导表面光滑，但是，光场在上下界面频繁反射，表面轻微的粗糙，引起损耗。 散射损耗系数：,12、13波导两界面粗糙度的方差。 可见，波长越长，粗糙散射损耗越小；模的阶数越高，1越小，粗糙散射损耗越大。,2、辐射损耗波导弯曲损耗 波导弯曲时，光束的相速若能正比于波导弯曲的曲率半径，则导模光场的相前不畸变，无损耗。但是，实际弯曲波导，离弯曲中心越远处，相速达不到此要求。导模中部分光跟不上其它部分光的传输，而被分离、辐射出去，形成弯曲损耗。,