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文档简介

1、【针对问题】为了比较人们投资荒山种树经济收益与银行储蓄收益多少,今儿找出最优化的方案,使得相同的投资得到最高的收益。【问题背景】由于荒山闲置浪费,投资荒山开发种树,以可再生资源的开发以适度为原则,就是在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最大效益,树木成长之后,砍伐过多会造成资源破坏,砍伐太少又得不到满意的经济效益,下面通过模型试图寻找二者平衡点。【模型一】1. 模型的假设 *假设荒山上没有树,栽种Y棵树。 *忽略树木自身的繁殖,新增树木就是年初植树的量2. 初步模型建立 设x(t)为树木t时刻的数量,此时的增长率r=B+G-D其中B为t时刻的出生率,可以忽略,G为种植率,D为自然死亡率,x

2、(t)表示t时刻某范围内树木的数量,当数量较大时,可以将x(t)看作t的连续函数。X(t)的变化仅与r有关。 考虑到环境约束的制约作用,一定存在一个环境容量Xm定义为该树木在该森林种的可容纳最大数量。即 增长率r应该受Xm的制约,近似假设: R=a(1-X/) 其中 X/可解释为已消耗资源比例,剩余资源 1-X/体现环境阻力的大小,a 为比例系数有经验值及大量数据确定。此时,数字模型可如下建立 在森林模型里,需要进一步考虑人工砍伐的情况。假设砍伐率为H(x)的图像,两图形的交点就是平衡点。首先考虑一种简单情况,就是不考虑剩余树木的多少,砍伐率为常数,即H(x)=H。下图横坐标x为树木总量,纵坐

3、标代表树木的变化率dx/dt 二次函数g(x)与H(X)的交点设为,()(1) .当0x时,所以,这时候随着时间的延续,树木总量x会减少。这时候需要适当下调H(x),使得左移,保证x(2) .当x0,随着时间的延续,树木总量会增加。(3) .当x0,随着时间的延续,树木总量会减少,但是如果减少到以下,又会符合(2)条件,树木总量又会增加。综合(2),(3)可以得到,树木总量如果满足一定初试条件会稳定在附近。最终达到稳定。显然,二次函数最大值为,H(x)不能超过,否则,树木总量会不断减少,过度砍伐最终树林会被砍光。所以H(x)有极限值=事实上,树木砍伐量不会不变,比较直观的想,数多的时候多砍伐一

4、些,树少的时候少砍伐一些。我们可以假设砍伐率H(x)=Ex这时,在做总量与变化率的关系的曲线得到 相对来说比较合理,两曲线除零点以外,只有一个交点。当x0,树木总量会增加。当x时都有0,树木总量会减少。所以时间足够长,参数变化不大的时候树木总量会稳定在,容易求得 当E减少时,树木的稳定量会增加。但是考虑到经济效益,不可能将E减小到太小。需要一定的H(x)保证经济收入,下面将通过模型的深入研究经济状况对树木采伐量的影响。同样的,采伐量H(x)存在一个最大值,当且仅当直线H(x)与g(x)的最高点相交仍然有 = 得到结论时一年最大砍伐量为 3. 模型的深入研究首先了解几个经济学概念劳动边际产量:增

5、加的一单位劳动所引起的产量增加量。边际产量递减:一单位投入的边际产量随着投入的增加而减少的性质。但伐木工人少的时候,他们可以很容易找到相对容易的可以砍伐的树,随着工人的增加,增加的工人不得不砍伐比较难砍伐的树木,或者很难找到适合砍伐的树(数需要符合一定条件才能砍伐)。总之,工作效率会下降,所以每个增加的工人的贡献越来越少。假设劳动力数量为n,工人工资为w元/人,木材价格为c元/立方米。林场总利润为P(不考虑植树成本)。单位劳动力每年的砍伐量为M(n)(立方米),遵循边际产量递减理论,假设在n不太大(n)的时候可以假设 的选择视具体情况而定,应满足 我们首先近似的取第一个假设模型(工人数量较少)

6、 所以总利润: P=产值-总工资 = =kc-wn当=,利润p去最大值,伐木量H(x)=n一般来讲伐木量对应的伐木率H(x)应小于上面讨论的H如果计算出的H(x)H,或者工人数量较多,则应按照后一个假设模型求解。 P=产值总工资 = =c当n=时,利润取得最大值,伐木量,此时雇佣工人量为当工人工资w上升时,n下降,少雇佣工人,但木材价格c上涨,要多雇佣工人,获得更大的产量。4. 小结:该模型中单位劳动力为每年的砍伐量为M(n)(立方米)。其表达式是根据边际产量递减原理估计出来的。当然还可能有其他的估计方法,本模型中只讨论了两种比较简单的情况。另外,本模型除了工人工资,没有考虑其他的成本,比如车辆的运输,和企业的赋税等等。最重要的没有考虑森林的环境效益,只考虑了经济效益。模型2将考虑更多方面的因素,建立更加细致的模型。【模型2的建立与求解】1. 模型假设 森林里树龄从1岁到50岁,新种树为0岁,50岁以上的树木会自然死亡2. 模型的初步建立 假设代表的t年,年龄为k的树木数量。K=0、1、2、3、. .50。如果知道第t年各年龄组的树木数量,各

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