向量——线性代数.ppt

1、向量与线性方程组,向量的线性相关性,线性方程组的解的结构,线性方程组的求解,第二章,向量的基本知识,n维（实）向量,行向量,列向量,零向量,负向量,两个向量相等：,对应分量均相等,记作,加法：,减法：,数乘：,加法和数乘运算满足下列运算律：（八条）,向量的线性运算,向量空间,设S为一非空n维实向量集，在S中定义加法和数乘运算（线性运算），如果S对线性运算是封闭的，且满足上述8条运算规律，则称为一个n维向量空间,记作,封闭性：,数轴是一维向量空间,平面是二维向量空间,空间是三维向量空间,例1,解,练习：已知 ，求,解,2.2 向量的线性关系,设有 维向量组,定义,若存在 个数,使得等式,则称向量

2、 可由向量组 线性表示,向量组的线性相关性,给定向量组S:,如果存在不全为零,的实数,使,则称向量组S线性相关；否则称S线性无关。,(1),注意：,若(1)有非零解，则向量组S线性相关,定义,线性相关的一些命题,含有零向量的向量组，总是线性相关的。,2.含有相同向量的向量组，总是线性相关的。,注：单个零向量构成的向量组线性相关。单个非零向量是线性无关的。,3.线性相关的向量组添加若干向量后，仍是线性相关的。,4. n+1个n维向量必线性相关。,设存在不全为零,线性无关的一些命题,如果方程,只有零解，则向量组,线性无关。,2. 线性无关向量组的部分向量组，仍是线性无关。,3.线性无关的向量组经扩

3、维（每个向量添加相同数目的分量）后，仍是线性无关的。,存在不全为零,例1,讨论 维向量组（称为 维单位坐标向量）,的线性相关性。,解,设存在 个数,使得,向量组线性无关,（1）,则方程组有向量形式,线性方程组的向量表达式,若记,线性方程组,即为系数矩阵的第 列,解 设,则,利用矩阵的初等变换，可求得,注：有无穷多组解,所以向量组 线性相关。,练习 判断向量组的线性相关性,解 设,则有,例3,已知向量组 线性无关,又,试证：,也线性无关。,证明：,设,重要例题，看清题目和思路,所以有,由于,事实上，可取,则,否则，若,可推得,这与已知矛盾，所以,定理 若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向

4、量 可由向量组 线性表示，而且表示方法惟一。,于是,假设另有表达式,则可得,所以,所以 可由向量组 线性表示。,个向量组成的向量组线性相关的充要条件是这个向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示。,定理2,证明,充分性,可设向量 由其余的向量线性表示，,即有,故,（至少有 ）,定理2,证明,必要性,即有一组不全为零的数,使,不妨设,则有,个向量组成的向量组线性相关的充要条件是这个向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示。,解 设,所以，方程组（*）只有唯一的一组解,所以有,解得,小结：,(3) 向量 可由向量组 线性表示,线性方程组 有解,向量组的线性相关性的几个性质定理,1、单个

5、非零向量是线性无关的。,2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。,3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关， 则部分无关。,4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。,5、n+1 个 n 维的向量构成的向量组是线性相关的。,个数大于维数的向量组是线性相关的。,2.3 向量组与矩阵的秩,矩阵的K阶子式的概念,从矩阵A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相对位 置不变，而构成的K阶行列式，称之为矩阵A的一个K阶子式。,如,则矩阵A共有 个二阶子式。

6、它们是：,矩阵的秩的概念,矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩， 记作 R(A) 或 r(A)。,显然，如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零， 所有高于 r 阶的子式都为零。,例如,因为,所以,如果 A 为 mn 矩阵，则 R(A) min (m,n)。 特别当 R(A)=m 时，称矩阵 A 为行满秩；当 R(A)=n 时，称矩 阵 A 为列满秩；当 R(A)=m=n 时，称矩阵 A 为满秩矩阵。,利用矩阵的初等变换求矩阵的秩,矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质。所以有：,定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,例 求矩阵的秩,解 将矩阵作初等变换,所

7、以 R(A)=3,行阶梯形,课堂练习：,利用矩阵的初等变换求下列矩阵的秩,答案：,问题：矩阵 B 中是否所有的三阶子式都不为零？,向量组的极大无关组,如果向量组 的部分组 满足 （1） 线性无关；（2）任意增加一个向量 （如果存在的话），向量组 线性相关。 则称向量组 为向量组 的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。,例如：向量组,线性相关， 线性无关。,向量组 是向量组 的一个极大无关组。,向量组 也是向量组 的一个极大无关组。,可见，一个向量组的极大无关组可以不是惟一的。,向量组的秩,向量组 的极大无关组中所含向量的个数， 称为向量组的秩。记作,如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即

8、 ，则向量组 线性相关。,矩阵A的秩 = 矩阵A的行向量组的秩 = 矩阵A的列向量组的秩,可利用矩阵的初等变换判断向量组的线性相关性、求向量 组的秩及极大无关组。,如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即 ，则向量组 线性无关。,例1 判别下列向量组的线性相关性,解 令,因为,例2 判别下列向量组的线性相关性,解：令,因为,向量组的等价关系（补充）,如果向量组A： 中的每一个向量可由向量 组B： 线性表示，同时，向量组B中的每一 个向量可由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。,定理：等价向量组的秩相等。,一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。,等价向量组的性质 （1）反身性：

9、向量组A与自身等价； （2）对称性：如果向量组A与B等价，则向量组B 与A等价； （3）传递性：如果A与B等价，B与C等价，则A与C等价。,例3 求下列向量组的一个极大无关组,解法1：作矩阵,例3 求下列向量组的一个极大无关组,解法1：. . . . . .,又,练习 求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。,解 构成矩阵，令,于是，,是它的一个极大无关组。,且,求向量组的极大无关组的另解,重要结论,若矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B ，则 A 的,行向量组与 B 的行向量组等价，而 A 的任意 K 个列向量与,B 中对应的 K 个列向量有相同的相关性；,若矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B ，则 A 的,列向量组与 B 的列向量组等价，而 A 的任意 K 个行向量与,B 中对应的 K 个行向量有相同的相关性。,例4 求下列向量组的一个极大