随机过程（十四）－布朗运动.ppt

1、Brown运动,随机游动,设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置，则,其中,问：要令Dt和Dx趋于零，X(t)将会具有哪些性质？,首先来看,因此，,容易证明： （1）X(t)服从均值为0，方差为s2t的正态分布； （2）X(t),t0有独立增量 （3） X(t),t0有平稳增量,Brown运动的定义,随机过程B(t),t0如果满足 （1）B(0)0 ； （2）B(t),t0有平稳独立增量; （3） 对每个t0，B(t) 服从正态分布N(0,s2t). 则称B(t),t0为布朗运动，也称为wiener过程。 如果s1，则称为标

2、准布朗运动。,注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)x，则称B(t),t0为始于x的布朗运动，记为Bx(t) 。,Brown运动的另一种定义,Brown运动是具有如下性质的随机过程B(t), t0： （1）正态增量性： （2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u), 0us。 （3）路径的连续性: B(t)是t的连续函数。,Brown的分布性质,空间齐次性,定义：,连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下，过程在时刻t的分布函数,Brown的马氏性,在Brown运动的情况下，转移概率是正态的,转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,

3、0 )，即,这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.,有限维分布密度,注：由有限维分布，可以计算任何想求的条件概率。例如，求给定B(t)=y时，B(s)，st的条件概率密度。,K1是与x无关的常数。,给定B(t)=y时，B(s)的条件分布是正态分布，其均值和方差为,习题：设B(t)是布朗运动，方差为s2，计算,类似的，若ts，则E(B(t)B(s)=s。再由正态分布的性质和数学归纳法得到B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。,(5) B(t),t0是均值函数为m(t)=0, 协方差函数g(s,t)=min(s,t)高斯过程。,?,下面证明B(t)的任意有限维分布都是多

4、元正态分布。首先对任意t1t2，B(t1)N(0,t1), B(t2) N(t2)，Cov(B(t1), B(t2) )=t1，则利用正态分布的性质,利用数学归纳法可以证明(B(t1), B(t2),B(tn)服从多元正态分布。,例：,设B(t),t0是标准布朗运动， 1、求P(B(2)0)和P(B(t)0，t0,1,2)。 2、求B(1)+ B(2)+ B(3)+ B(4)的分布。 3、,解：,1、,由条件期望的性质,由积分的变量替换公式,2、考虑随机向量X=(B(1),B(2),B(3),B(4),由定理7.2可知，X是多元正态分布，具有零均值和协方差矩阵 令A=(1,1,1,1),则,是

5、均值为0，方差为ASA30的正态分布。,请同学们思考一下第3题的答案应该等于多少？,Brown 运动的鞅性,定理 B(t)是鞅； B(t)2t是鞅； 对任何实数u， 是鞅。,1）的证明 可积性。由Brown运动的定义，B(t)N(0, t), 所以B(t)可积，且EB(t)=0. 鞅性,2）和3）的证明参见教材P165,2）的证明：由于E(B2(t)=t，所以B(t)2可积，因此,将上式两端同时减去ts, 注：（2）是Brown运动的特征。若连续鞅X(t)，t=0使得 是连续鞅，则是brown运动。,(3) 由于B(t)N(0,t),由正态分布的矩母函数知 这说明 可积，并且,由于布朗运动具有

6、独立增量性，对任何函数g(x)有， 令 则,将上式两边同时乘以,Brown运动的路径性质,（1）B(t),t0是t的几乎处处连续函数； （2）在任何区间（无论区间有多小）都不是单调的； （3）几乎处处不可微； （4）在任何区间（无论区间有多小）都是无限变差的，例：在区间0,t上的变差 （5）对任何t，在0,t上的二次变差等于t，即在几乎处处收敛的意义下,（3）的简要证明：由Brown运动的性质知,取极限得,假设B(t)是可微的，其导数为B(t)存在，则,从而,与（1）式矛盾,（1）,（4）的证明：,利用有界变差函数几乎处处可导的性质（证明参见实变函数论徐森林著，P319）即可得证。,证明 (5

7、),取dn使得 则 ,例：,求概率 解：首先说明积分的存在性。由于B(t)具有连续的运动路径，即对每个w，B(t)(w)是t的几乎处处连续函数，因此Rieman积分 存在。因此随机变量 是有意义的。 下面来求 的分布。由Rieman积分的定义知，,其中每个求和项都是均值为0的正态分布，因此 是均值为零的正态分布。下面计算 的方差。,因此， ，,Brown运动的击中时,记Tx为标准Brown运动首次击中x的时刻，即,下面计算PTxt。,1、对于x0，若Txt，则B(t)在0, t内的某个点击中x，由于对称性，显然有,因此，由全概率公式,因为x0，由Brown运动的连续性，B(t)不可能还未击中x

8、，就大于x，因此上式的第二项为零。于是,对于x0，考虑概率PB(t)x ，用同样的方法可以得到 因此 Txt与Tx t的概率一样，因此对任意x，,密度函数为,注：由击中时的分布可以得到,（1）常返性，即Tx几乎必然有限。因为,（2） 零常返性。Tx的期望无穷大。因为,Pa是起点为a的Browm运动的分布,Brown运动的最大值变量,B(t)在0,t内达到的最大值,对x0, 根据Brown运动的连续性,利用类似的方法，可以得到Brown运动的最小值 的分布为,证明做习题。,Brown运动的零点,定义：如果时间t使得B(t)=0，则称t是Brown运动的零点。 下面计算PB(x)在区间(t1,t2)中至少有一个零点的概率。 对B(t1)取条件得,如果x0,根据Brow