第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计.ppt

1、第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,IIR数字滤波器的优点： 可以利用模拟滤波器的设计结果，方便简单 IIR数字滤波器的缺点： 非线性相位 若需线性相位，要采用全通网络进行相位校正 FIR数字滤波器的优点： 可以做到严格线性相位 可以具有任意的幅度特性,FIR滤波器的设计方法,设计方法： 窗函数法 频率采样法 切比雪夫等波纹逼近法,设计任务：选择有限长度的脉冲响应 ，得到系统函数 ，使幅频特性满足技术指标，同时使相频特性达到线性相位。逼近理想滤波器特性的方法。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的特性,本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点分布的特点。,FIR滤波器的单位

2、冲激响应：,系统函数：,在 z 平面有N 1 个零点,在 z = 0 处是N 1 阶极点,对于长度为N的h(n)，其频率响应函数为 当h(n)为实序列时，可将其表示为 式中，H()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，这里H()不同于|H(ej)|, H()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。,7.1.1. 线性相位的定义及其条件,H(ej)线性相位是指()是的线性函数，即 (7.1.3) 式中，为常数 。 如果()满足下式： (7.1.4) 是起始相位。严格地说，此时()不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即 (7.1.5) 也称这种情况为线性相位。,第一类线

3、性相位,第二类线性相位,定义,(1)第一类线性相位的充要条件是：h(n)是实序列且对 (N-1)/2偶对称，即 (7.1.6) 证明 充分性，有限长序列h(n)的z变换为 将（7.1.6）带入上式,条件,令m=N-n-1,则有 （7.1.7） 按照上式可以将H(z)表示为,将z=e j代入上式，得到： 按照(7.1.2)式，幅度函数H()和相位函数分别为 该滤波器具有第一类线性相位。,必要性，若滤波器满足第一类线性相位，将 带入式（7.1.2）中，得： 运用欧拉公式将上式展开，并由实部、虚部分别相等，得,将上述两式相除，得 化简，得 观察上式中的正弦函数，它是关于 奇对称的，为了使上式成立，则

4、 必是偶对称的，即,(2)满足第二类线性相位的条件是： h(n)是实序列且对 (N-1)/2奇对称，即 (7.1.10) 证明： 令m=N-n-1,则有,同样可以表示为,因此，幅度函数和相位函数分别为,7.1.2 线性相位FIR滤波器幅度特性H()的特点,下面我们讨论线性相位FIR滤波器的幅度特性 的特点，如前所述，这里的 为 的实函数，可正可负。依据 是奇对称还是偶对称以及其长度 取奇数还是偶数，共分四种情况对 的特性进行讨论。,1) h(n)=h(N-n-1),N=奇数,按照(7.1.8)式，幅度函数H()为 式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称,可以以(N

5、-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为,(7.1.13),可以表示为 式中,(7.1.15),(7.1.14),2) h(n)=h(N-n-1),N=偶数,推导情况和前面N=奇数相似， 不同点是由于N=偶数，H() 中没有单独项，相等的项合并成N/2项。,(7.1.16),可以表示为 式中,(7.2.17),n=1,2, 3, , N/2,按照式（7.1.16），当=时， ，余弦项对=呈奇对称，因此H()=0，即H(z)在z=ej=-1 处必然有一个零点，而且H()对=呈奇对称。 当=0或2时， 或-1，余弦项对=0, 2为偶

6、对称，幅度函数H()对于=0, 2也呈偶对称。 如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。,幅度函数： 因为 所以,3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数,由因为h(n)=-h(N-n-1)，所以H()中第n项和第N-n-1项相等，中间项(N-1)/2=0，所以幅度函数可化简为,(7.1.18),可表示为 式中,(7.1.19),适合设计？, 如果数字滤波器在=0, , 2处不为零，例如低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计，除非不考虑这些频率点上的值。,(7.1.20),(7.2.21),4) h(n)=-h(N-n

7、-1),N=偶数,其中：,如果数字滤波器在=0, 2处不为零，例如低通滤波器、 带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。,表7.1.1 线性相位FIR滤波器的性,奇对称单位冲击响应 h(n)=-h(N-1-n),7.1.3. 线性相位FIR滤波器零点分布特点,第一类线性相位的系统函数满足 第二类线性相位滤波器满足 ，综合起来用下式表示：,图7.1.3 线性相位FIR滤波器零点分布,1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点,2）h(n)为实数，则零点共轭成对,所以，线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对,1）,零点：,线性相位FIR滤波器的级联

8、结构,2） ，即零点在单位圆上,零点：,3） ，即零点在实轴上,零点：,4） 即零点既在实轴上，又在单位圆上,零点：,7.2 窗函数设计法,FIR滤波器的设计完全限于离散时间滤波器的实现问题，其设计方法是以直接逼近所要求的离散时间系统的频率响应为基础的。 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej)，hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此,7.2.1 设计的基本思想,若一个理想低通滤波器的频率响应为 单位抽样响应为 中心点为的偶对称无限长非因果序列。为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。,得到有限长序列的一种简便的方法就是运用窗函数

9、w(n)对hd(n)进行截断处理（加窗处理）。若矩形窗函数可表示为 通过窗函数w(n)与hd(n)的乘积实现截断处理后的有限长序列为,(7.2.1),按第一类线性相位条件，得,我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为,图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,利用窗函数设计线性相位FIR滤波器的基本思想： 通过采用不同的有限时宽的窗函数去乘以无限长序列hd(n)，从而得到有限长序列 h(n)，以此实现FIR滤波器的设计。窗函数的作用就在于舍去序列值小的样点项、决定从hd(n)中选取怎样的有限个序列值来构成 h(n) 。因此，窗函数的特性将决定所要实现的滤波器的性

10、能。,在时域中 对上式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到： 式中，Hd(ej)和RN(ej)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换。窗函数的频率特性RN(ej) 决定了H(ej)对Hd(ej)的逼近程度。,7.2.2 加窗处理对频谱性能的影响,(7.2.2),将Hd(ej)写成幅度、相位的形式 其中 对于矩形窗函数RN(n)，其傅里叶变换为,(7.2.3),(7.2.4),其中幅度函数,矩形窗的幅度函数,主瓣,旁瓣,旁瓣,H(ej)同样具有线性相位，幅度函数为,将Hd(ej)和RN(ej)代入(7.2.2)式，得到：,(7.2.5),图7.2.3 Hd(ej)和RN(ej)的卷积过程,（1

11、）当=0时，RN(-)如图7.2.3(b)所示，此时 近似于RN()的全部积分面积。 （2）当 时，RN(-)如图7.2.3(c)所示。RN(-)的主瓣完全在积分区间 ，积分面积最大 此时，幅度响应出现正肩峰（上冲）。,（3）当=c时， RN(-)如图7.2.3(d)所示。 RN(-)有一半主瓣在积分区间 ，积分面积为H(0)的一半 （4）当 时，RN(-)如图7.2.3(e)所示。RN(-)的主瓣完全移出积分区间 ，积分面积最小 此时，幅度响应出现负肩峰（下冲）。,（5）当 时， RN(-)的左侧旁瓣扫过积分区间 ，因此H()围绕零值上下波动；当 时，RN(-)的左、右侧旁瓣扫过积分区间 ，

12、因此H()围绕H(0) 值上下波动。 卷积结果如图7.2.3(f)所示，即加窗处理后得到的FIR滤波器的幅度特性。,加窗函数的影响：,(1)不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度,(2)在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡， 振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少。,(3)改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应,图7.2.4 增大,图7.2.4 增大N对矩形窗幅度特的影响,分析上图，主瓣宽度确实与N成反比，但 并不影响最大旁瓣与主瓣的相对值，三种情况下，该值总是约为-13dB。因而

13、，当截取长度N增大时，只会使主瓣宽度减小，从而使所设计的滤波器过渡带宽减小，起伏振荡变快，而不会改变肩峰的相对值。在矩形窗情况下，最大肩峰值总是为8.95%，这种现象称为吉布斯(Gibbs)效应。由于吉布斯效应的存在，影响到 通带的平坦和阻带的衰减，对滤波器的性能影响很大。经矩形窗处理后的滤波器阻带的最小衰减只有21dB左右，因此在实际中，很少采用矩形窗。,窗函数的要求： （1）窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 （2）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，以减小肩峰和波纹,7.2.3 几种典型的窗函数,（1）最大旁瓣峰值 （dB） 。 （2）主瓣宽度 ，窗函数频谱的主瓣宽度。 （3）过度带宽 ，窗

14、函数设计得到FIR滤波器的过度带宽，即通带截止频率与阻带截止频率之差。 （4）阻带最小衰减 （dB）。窗函数设计得到FIR滤波器的阻带最小衰减。,1. 矩形窗(Rectangle Window),其傅里叶变换为 幅度函数,主瓣 宽度最窄：,旁瓣幅度大,(7.2.6),(7.2.7),理想低通滤波器经矩形窗处理后所得滤波器的,图7.2.5 矩形窗及加窗处理后波器波形,其频率响应为,2. 三角形窗(Bartlett Window),(7.2.8),(7.2.9),主瓣宽度宽：,旁瓣幅度较小,利用欧拉公式 其傅里叶变换,3. 汉宁(Hanning)窗升余弦窗,(7.2.10),(7.2.11),其中

15、幅度函数为,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度小,图7.2.7 汉宁窗幅度特函数,图7.2.8 汉宁窗加窗处理后滤波器波形,4. 汉明(Hamming)窗改进的升余弦窗,(7.2.12),做与汉宁窗类似推到，可得其傅里叶变换,其幅度函数为,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度更小,(7.2.13),图7.2.9 汉明窗及理想低通加窗处理后波形,5. 布莱克曼(Blackman)窗,布莱克曼窗是在升余弦窗的定义式中再加上一个二次谐波的余弦分量得到的，故又称二阶升余弦窗。其可达到进一步抑制旁瓣的效果，时域定义式为,(7.2.14),其傅里叶变换为,(7.2.15),其幅度函数为,主瓣宽度最宽：,旁瓣幅度最小,图7.2.10

16、 布莱克曼窗及理想低通加窗处理后波形,图7.2.11五种典型窗函数的时域波形 注：为了方便比较，图中绘的连续波形，实际的是离散序列,6. 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window),前面介绍的窗函数统都是固定窗，即用每种窗函数设计的滤波器的阻带最小衰减是固定不变的，而且都是以牺牲主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制的，这两个指标不能同时兼顾。而凯塞窗是一种可调整的窗函数，可以实现以同一种窗函数类型来满足不同性能需求的目的。在相同的性能指标下，通过调整控制参数可以达到不同的阻带最小衰减，同时可以保证最小的主瓣宽度，即有最陡峭的过渡带，实现在主瓣宽度和旁瓣峰值之间的平衡。反之，给定指标，凯塞窗可

17、以使滤波器的阶数最小。因此，凯塞窗是一种近似最佳的窗函数。,(7.2.17),参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4 9。当 =5.44时，窗函数接近哈明窗。 =7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。,图7.2.13 凯塞窗波形（N=21）,图7.2.14 参数变化时凯塞窗的傅里叶变换,(N=21) (=8),表7.2.1 对滤波器性能的影响,若阻带最小衰减表示为st，的确定可采用下述经验公式 p， st分别为数字低通滤波器的通带边频与阻带边频。,(7.2.18),(7.2.19),汉,7.2.4 窗函数设计法总结,下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤。 (1)确

18、定所希望设计滤波器的hd(n) 一般以理想线性相位滤波器作为逼近函数来求hd(n)，即设Hd(ej)为理想线性相位滤波器，那么单位取样响应用下式求出： 如果H(ej)存在过渡带，求解过程中涉及的截止频率,(7.2.20),当Hd(ej)很复杂或不能用封闭公式表示时，就不能按式(7.2.20)求出hd(n)。可以对Hd(ej)在=02抽样M点，得到M个频率点 ， ，并且用2/M代替d，则式（7.2.20）可近似写成 根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足如下关系：,(7.2.21),(7.2.22),(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。一般原则是在满足

19、阻带最小衰减的要求下，尽量选择主瓣窄的窗函数。 (3) 计算滤波器的单位取样响应h(n)， h(n) =hd(n)w(n) (4)验算技术指标是否满足要求。,7.3 窗函数设计法举例,7.3.1 低通滤波器的设计 例7.3.1 利用窗函数法设计一个FIR低通滤波器，要求：通带截止频率p=0.3，阻带截止频率st=0.5，阻带最小衰减st50dB。 解：（1）以理想线性相位低通滤波器作为逼近滤波器，即,首先依据所给定的设计指标确定理想低通滤波器的截止频率c为 则单位抽样响应为 为了保证线性相位,（2）依据阻带最小衰减指标选择窗函数类型。因为要求st50dB ，查表7.2.2可以看出汉明窗、布莱克

20、曼窗等都满足要求。但由于汉明窗的主瓣最窄、设计简单，因而我们选择汉明窗，其表达式为 由过渡带宽确定窗的长度N。设计所要求的过渡带宽为,而汉明窗的带宽为 ，则有 （3）确定所设计滤波器 h(n)。依据所选窗函数，得到单位抽样响应为 （4）由h(n) 求出H(ej) ，以便验证设计结果是否满足要求。,图7.3.1 哈明窗设计的FIR低滤波器,例7.3.2 利用窗函数法设计一个FIR低通滤波器，所希望的频率响应函数为 若长度N=21，观察加不同窗函数后滤波器幅度特性的变化。 解：,若选择矩形窗函数，则有 若选择汉宁窗函数，则有 两种结果滤波器的幅度特性如图7.3.2所示。,图7.3.2 例7.3.2

21、设计结果,(a) 矩形窗设计的FIR滤波器幅度特性；,(b) 汉宁窗设计的FIR滤波器幅度特性,例7.3.3 利用凯塞窗设计一个FIR低通滤波器，要求：通带截止频率p=0.4，阻带截止频率st=0.6，阻带最小衰减st60dB。 解：确定凯塞窗的参数和N。依据式(7.2.18)、(7.2.19)得 取N=38，则凯塞窗函数表达式为,（2）确定理想低通滤波器的截止频率c （3）求解hd(n)。同样以理想线性相位低通滤波器作为逼近滤波器，则hd(n)为,（4）确定所设计滤波器h(n)。 （5）利用matlab将设计得到的滤波器的波形绘制于图7.3.3中，可见满足设计要求。,补充例子,例1 用矩形窗

22、、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,c=0.2rad。 解：用理想低通作为逼近滤波器，有,用汉宁窗设计：,用布莱克曼窗设计：,例1的低通幅度特性,例2 设计一个线性相位FIR低通滤波器， 给定抽样频率为 通带截止频率为 阻带起始频率为 阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示。 解：1）求数字频率,2）求hd(n),3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB）,4）确定N 值,5）确定FIR滤波器的h(n),6）求 ，验证,若不满足，则改变N或窗形状重新设计,7.3.2 高通、带通和带阻滤波器的设计,1、线性相位FIR高通滤波器的设计 理想线性相位高通滤波器的频率响应函数为

23、 其单位抽样响应为,(7.3.1),由式(7.3.1)看出， 表达式右端第一项可以看成是一个截止频率为 的低通滤波器，即全通滤波器，而第二项为一个截止频率为c的低通滤波器。这样，高通滤波器就相当于一个全通滤波器减去一个低通滤波器。 需要强调的是，由于设计时只能采用偶对称的单位抽样响应序列，依据7.1.2节的内容，我们知道高通滤波器的长度N只能取奇数，这样才能保证,例7.3.4 利用汉明窗设计一个FIR高通滤波器，所希望的频率响应函数为 取长度N=31。 解：,选择汉明窗函数，则依据h(n)=hd(n)w(n)求得所设计高通滤波器的单位抽样响应为,2、线性相位FIR带通滤波器的设计,理想带通的频

24、响,其单位抽样响应：,(7.3.2),例7.3.5 利用汉宁窗设计一个FIR带通滤波器，所希望的频率响应函数为 取长度N=31。 解：,选择汉宁窗函数，则依据h(n)=hd(n)w(n)求得所设计带通滤波器的单位抽样响应为,3、线性相位FIR带阻滤波器的设计,理想带阻的频响：,其单位抽样响应：,(7.3.3),例7.3.6 利用矩形窗设计一个FIR带阻滤波器，所希望的频率响应函数为 取长度N=31。 解：,选择矩形窗函数，则依据h(n)=hd(n)w(n)求得所设计带阻滤波器的单位抽样响应为,7.4 频率抽样设计法,频率抽样设计法则是在频域内，以有限个频率响应抽样，去近似所希望的理想频率响应H

25、d(ej)的设计方法。,对于一个长度为N的序列h(n)，若知道其频域的N 个抽样值H(k)，则h(n)就可以由H(k) 唯一地确定。同时，也就可以获得其系统函数H(z)或频率响应函数H(ej) 。 设所希望得到的频率响应为Hd(ej) （一般为理想频率响应），在频域的=02之间对其等间隔抽样N点（或对Hd(z) 在单位圆上进行等间隔抽样），得到 个抽样值为,7.4.1 设计的基本思想,则 重构系统函数H(z),(7.4.1),将z=ej代入H(z)表达式可得 式中，内插函数,(7.4.2),从式（7.4.2）可以看出，在N个频率抽样点上，滤波器的实际频率响应与理想频率响应数值严格相等，但是在抽

26、样点之间的频率响应则是个抽样点的加权内插函数的延伸叠加而形成的，因而有一定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应的曲线形状，理想频率响应特性变化越平缓，则内插越接近理想值，逼近误差越小；反之，如果抽样点之间的理想频率响应变化越陡，则内插与理想值之间误差就越大。,抽样点上，频率响应严格相等,抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加,变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小,7.4.2 H(k)满足的条件,关于线性相位FIR滤波器的时域、频域特性，我们已经将其归纳于表7.1.1中。下面将以该表内容为依据，讨论当H(k)的幅度和相位满足什么条件时，才能使所设计的FIR滤波器具有线性相位。 为了讨论方便，

27、将所设计滤波器的H(ej) 、H(k)分别表示成以下形式：,(7.4.3),(7.4.4),比较上述两式，可知下述关系成立：,(7.4.5),(7.4.6),从表7.1.1中看到，此时幅度函数 关于=偶对称，即 则 即 相位抽样(k),1）h(n)偶对称，N为奇数,(7.4.7),(7.4.8),此时幅度函数关于=偶对称，即 即 相位抽样(k),2）h(n)偶对称，N为偶数,3）h(n)奇对称，N为奇数,3）h(n)奇对称，N为偶数,7.4.3 设计公式,频率抽样的两种方法,1）第一种频率抽样,系统函数：,频率响应：,2）第二种频率抽样,系统函数：,频率响应：,线性相位第一种频率抽样,依据式（

28、7.4.8） 而 当N为奇数时，N-1为偶数，由于 ，则可取,当N为偶数时， 为N-1奇数，由于 ，则可取 但此时A(k)=-A(N-k)，则 所以此时可以将幅度抽样和相位抽样改写为,综合上述分析过程，可得到如下设计公式： （1）N为奇数 （2）N为偶数,(7.4.9),(7.4.10),例如：设计所希望的滤波器是理想低通滤波器，要求截止频率为c，抽样点数N为奇数，则A(k) 、(k)可以下列公式计算： kc为小于或等于 的最大整数。,7.4.4 逼近误差,1、逼近误差的特点 例7.4.1 用频率抽样法设计一个具有第一类线性相位FIR低通滤波器，要求截止频率c =0.4，绘制出当频域抽样点数

29、分别为15、65时的设计结果波形，并分析逼近误差的特点。 解：以理想低通滤波器作为希望逼近的滤波器，则频率响应函数为,（1）对Hd(ej) 进行抽样。先计算在通带内的抽样点数kc +1（ =0 ）。依据所要求的截止频率，得 则 接下来，从=0开始对Hd(ej) 在 =0 2抽样15点，得到幅度抽样A(k)，如图7.4.1(a)所示。,图7.4.1 例7.4.1波形,因为N为奇数，所以依据式(7.4.9)的设计公式，此时相位抽样为 由此得频率抽样H(k)为,（2）求解h(n) （3）求解设计所得滤波器的频率响应H(ej) 由于A(k)=A(N-k)，(k)=-(N-1)k/N，所以满足线性相位条

30、件。,当N=65时，幅度响应如图7.4.2所示，为了便于比较，与N=15的曲线绘制在一起。其中，由黑圆点所描述的曲线是N=65时绘制出的 波形，空心圆表示N=15时的 波形。,由上图看出，抽样点数N越大，Hd()平坦区域的误差越小，过渡带也越窄，通带与阻带的波纹变化越快。本例中当N=15时，阻带最小衰减st约为15.2dB, 当N=65时， st约为16.6dB, 可见 的增大对阻带的最小衰减并无明显改善。 2逼近误差产生的原因(频域和时域） 频域：从式（7.4.2）可以看出， H(ej)在各频率抽样点上等于本抽样点出的H(k)，但是在抽样点之间则由各抽样值H(k)乘以相应的内插函数延伸叠加而

31、成。这样，在各抽样点处，二者的逼近误差为零；而在各抽样频率点之间存在逼近误差，误差大小取决于理想频率响应的曲线形状和N的大小。,时域： 依据频域抽样知识 若Hd(ej)是分段的，则hd(n)是无限长的。这样，hd(n)在周期延拓时，就会产生时域混叠，从而使所设计的h(n)与所希望的hd(n)之间出现偏差。同时，频域抽样点数N越大，h(n)越接近于hd(n)。,3减小逼近误差的措施,1）增加过渡带抽样点 加大过渡带宽，即在不连续点的边缘增加值为0到1之间（不包含0和1）的过渡带抽样点，可以缓和阶跃突变，使所希望的幅度特性Hd()由通带比较平滑的过渡到阻带，从而使波纹幅度大大减小，同时阻带衰减也得

32、到改善，如图7.4.3所示。,图7.4.3增加过渡带抽样示意图,注意：这时总抽样点数N并未改变，只是将原来为零的几个点改为非零点,增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，一般取过渡带的抽样点数为13点即可得到满意的效果。,不加过渡抽样点：,加一点：,加两点：,加三点：,2）增大抽样点数 N 如果在要求减小波纹幅度、加大阻带衰减的同时，又要求不能增加过渡带宽，则可以增大抽样点数N 。增加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量 优点：频域直接设计 缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍, 截止频率c不能任意取值。,(7.4.11),7.4.5 设计步骤及举例,（1）确定过渡带抽样点数m。依据给定的

33、st ，结合表7.4.1确定。 （2）估算抽样点数N 。依据给定的过渡带宽B，利用式（7.4.11）来确定。 （3）确定所希望逼近的频率响应函数Hd(ej) 。一般选择Hd(ej)为理想频率响应，注意应确保相位()为线性相位，而要Hd()满足线性相位要求。 （4）对Hd(ej)进行频域抽样，得到H(k) 。首先确定在通带内的抽样点数kc +1（ =0 ）;然后进行抽样，并加入过渡带抽样点。,（5）求解所设计滤波器单位抽样响应h(n)。对H(k)做N点离散傅里叶反变换即得，即 （6）设计结果验证。,例7.4.2 运用频率抽样法设计一个FIR低通数字滤波器，要求截止频率c =0.4，阻带最小衰减s

34、t 40 dB，过渡带宽B 0.1，所设计的滤波器应具有第一类线性相位。 解：（1）确定需增加的过渡带抽样点数m 根据所要求的st ，由表7.4.1看出，当m=1时，满足st 40 dB的要求。 （2）估算频域抽样点数，依据式(7.4.11)，得 留一点的裕量，取N=41,（3）构造所希望的频率响应函数。依据题意选择以下理想函数： （4）频域抽样，求得H(k) 先求kc，依据所要求的截止频率，得 所以在通带内抽样9点（=0）,此题是h(n)偶对称，N为奇数的情况。所以从 =0开始对Hd()在 =02内抽样41点，得到幅度抽样A(k) 在A(k)原为零的k=9、32处加入值为0.38的过渡带抽样

35、点，即A(9)=A(32)=0.38，则,又依据式(7.4.9)得到相位抽样(k)为 由此得到频率抽样,（5）求解h(n)。对H(k)做41点离散傅里叶反变换即得，即 （6）分析所设计滤波器的频域性能。 将H(k)表达式带入内插公式（7.4.2）化简，得,依据上式分析滤波器的性能，从而验证设计结果是否满足指标要求。设计过程及结果波形如图7.4.4所示。,图7.4.4 例7.4.2波形,阻带衰减：-42.2dB,例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为0.5，抽样点数为N=33，要求滤波器具有线性相位。 解：理想低通频率特性 按第一种频率抽样方式，N=33，得,得线性

36、相位FIR滤波器的频率响应：,过渡带宽：,阻带衰减：-20dB,增加一点过渡带抽样点，令H(9)=0.5,过渡带宽：,阻带衰减：-40dB,增加两点过渡带抽样点， 且增加抽样点数为N=65， 令H(17)=0.5886 H(18)=0.1065,过渡带宽：,阻带衰减：-60dB,窗函数设计法和频率抽样设计法的优点是简单直观、易于实现。但同时二者存在以下不足：所设计滤波器的通带和阻带的截止频率不易精确控制；通带和阻带内的波纹幅度不能分开控制；由于所设计的滤波器一般在阻带的截止频率附近刚好满足衰减要求，而在大于该截止频率的频段，衰减加大，因而存在很大的衰减裕量，即这两种设计方法存在较大的资源浪费，

37、所设计的滤波器性价比不高。,7.5 等波纹最佳逼近设计法,针对窗函数设计法和频率抽样设计法存在的缺点，我们希望有一种方法，在滤波器长度 给定的情况下，设计出的滤波器是所能得到的所有滤波器中性能最佳的，即寻求一种最优化的设计方法，而等波纹最佳逼近设计法就是这样一种方法。,7.5.1 设计思想,设计滤波器的过程，其实就是用一个实际的频率响应函数H(ej)（或对应的h(n) ）对所希望的频率响应函数Hd(ej) （或对应的hd (n) ）的一个逼近过程。而最优化设计过程则是依据某一优化准则，改变一组变量值，进行迭代运算，寻求一种最佳逼近的过程。,函数逼近准则,（1）均方误差最小准则：窗函数设计法 （

38、2）插值逼近准则：频率抽样设计法 这两种逼近有一个共同的缺点：在整个要求逼近的区间（0）内误差分布是不均匀的，特别是在幅度特性具有跃变点的过渡区附近，误差最大。 （3）最大误差最小化准则：等波纹最近逼近设计法，使得在要求逼近的整个范围内，逼近误差分布是均匀的，所以也称为最佳一致意义下的逼近。,在设计滤波器时，对通带和阻带的性能要求是不同的，为了统一使用最大误差最小化准则，则采用误差函数加权的办法，使得不同频段（如通带和阻带）的加权误差最大值是相等的。 设所希望的幅度频率响应为Hd() ，实际设计得到的频率响应为H() ，误差的加权函数为W() ，则定义加权逼近误差函数为,（7.5.1）,使式(

39、7.5.1)所定义的加权逼近误差函数 的最大绝对值在各个要求逼近的频带内达到最小，即 式中，|E()|为得到的最小值，A为所要求逼近的通带和阻带。,7.5.2 交错点组定理,若H()是r个余弦函数的线性组合，即 A是0,内的一个闭区间（包括通带、阻带，但不包括过渡带），Hd()是A上的一个连续函数，则Hd()的唯一和最佳一致逼近的充要条件是：加权逼近误差函数E()在A中至少存在r+2个交错频率点01r+1,使得,图7.5.1低通滤波器的最佳逼近波形 r=(N-1)/2=7(N=15) 交错点组： 0、1、2、p、st、3、4、5、6、,（1）交错点数最多可能是r+3个 （2）交错点比出现在=p

40、、st处 （3）除=0或=外，滤波器在通带和阻带内必是等波纹的,7.5.3 设计方法,若希望设计的滤波器为线性相位理想低通滤波器，其幅度响应函数为 现在的任务就是寻求一个H() ，使其在通带和阻带内最佳一致逼近Hd() ，当然为了保证线性相位，频率响应函数 要满足表7.1.1中的相应条件。图7.5.1中，1为通带内波纹峰值、 2为阻带内波纹峰值。因此在设计滤波器时，共有五个指标参数，即p 、 st 、1、2和单位抽样响应h(n)长度N。,对于低通滤波器，误差的加权函数为 定义为 用这种加权方式，逼近误差的最大绝对值在通带和阻带上均为=1 。 依据交错点组定理，若知道A上的r+2 （此时r=(N-1)/2）个交错点频率，则依据式(7.5.