1.1数的概念的扩展.pptx

1、数系的扩充和复数的概念,一、数的发展史,被“数”出来的自然数,远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果， 用划痕、 石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地 古代印度人最早使用了“0”.,被“分”出来的分数,随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数 是远远不行的.,分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.,如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？,于是分数就产生了.,被“欠”出来的负数,为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数 负数概念最早产生于我国， 东汉初期的“九章

2、算术”中就有负数的说法公元3世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则 千年之后， 负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。,负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.,被“推”出来的无理数,2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都 可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一 天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方 形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不 能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大 了数域，为

3、数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理， 他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。,无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.,15:28,自然数,整数,有理数,实数,数 系 的 扩 充,负整数,分数,无理数,在有理数集中方程 有解吗?,数系的扩充,可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留,15:28,加,除,乘,减,实数,解方程 ？,我们发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。,情境引入,15:28,为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规

4、定：,问题解决:,(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.,(1) 1 ；,15:28,动 动 手,下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？,15:28,定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）,复 数 的 概 念,复数全体组成的集合叫复数集， 记作：C,15:28,自然数,整数,有理数,实数,？,负整数,分数,无理数,数 系 的 扩 充,复数,虚数,15:28,其中 称为虚数单位。,观察复数的代数形式,当a=_且b=_时，则z=0,当b=_时，则z为实数,当b_时，则z为虚数,当a=_且b_ 时，则z

5、为纯虚数,0,0,0,0,0,0,15:28,1、若a=0,则z=a+bi (a R、b R)为纯虚数.,2、若z=a+bi (a R、b R)为纯虚数,则a=0.,判断,（假）,（真）,故a=0是z=a+bi (a R、b R)为纯虚数的 条件.,必要不充分,15:28,思考,复数集与实数集、虚数集、纯虚数集 之间有什么关系？,15:28,1、复数z=a+bi,复数的分类,2. 复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系,15:28,想一想,如果两个复数相等，那么它们应满 足什么条件呢？,15:28,复数相等,知新,两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相 等或不相等。,15:28,若,思

6、考,15:28,若2-3i=a-3i,求实数a的值； 若8+5i=8+bi,求实数b的值； 若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。,说一说,15:28,虚数,例 1:,完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或 纯虚数）,15:28,实数m取什么值时，复数 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,解：（1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,例 2:,15:28,变式训练:当实数m为何值时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数,15:28,已知 ， 其中 求,解：根据复数相等的定义，得方程组,得,例 3:,当堂检测,1.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的复数是 （ ） A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i 2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为_。 3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的值为_。,15:28,若方程至少有一个实数根，求实数m的取值范围,思考题