矩阵的秩及其求法.ppt

1、1,主讲教师: 张宇,线性代数,2,一、矩阵秩的概念,二、矩阵秩的求法,第四节,矩阵的秩及其求法,第二章,三、满秩矩阵,3,矩阵的秩,是线性代数理论中一个重要的概念。,为了进一步研究线性方程组求解的问题，,还需要引入,矩阵的子矩阵和秩的概念。,这是研究线性方程的基础，,其与向量组的秩等问题都有密切的联系。,1. k 阶子式,定义1 设,在A中任取k 行k 列交叉,称为A的一个k 阶子式。,阶行列式，,处元素按原相对位置组成的,一、矩阵的秩的概念,4,个二阶子式，有,个三阶子式。,例如,矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素,所构成的二阶子式为,而,为 A 的一个三阶子式。,显然，,矩阵

2、A 共有,个 k 阶子式。,5,当 A0 时，,它的任何子式都为零。,当,时，它至少有一个元素不为零，,即它至少有一个一阶子式不为零。,这时再考察二阶子式。,若 A 中有二阶子式不为零，,则再往下考察三阶子式。,依此类推，,最后达到 A 中有 r 阶子式不为零。,而再没有比 r 更高阶的不为零的子式。,这个不为,设,零的子式的最高阶数 r 反映了矩阵 A 内在的重要性，,在矩阵的理论与应用中有重要意义。,6,其中有二阶子式,但它的任何三阶子式皆为0，,即不为零的子式的最高,阶数,例如：,7,2. 矩阵的秩,有r 阶子式不为0，任何r+1阶,记作r(A)或秩(A)。,子式(如果存在的话)全为0

3、,规定秩(A)=0,从本质上说，,的最高阶数。,显然有：,当,时，,定义2,称r为矩阵A的秩，,矩阵的秩就是矩阵中不等于0的子式,称矩阵A 为满秩矩阵。,8,二、矩阵秩的求法,1、子式判别法(定义)。,例1,设,为阶梯形矩阵，,求r(B)。,解,存在一个二阶子式不为0，而,任何三阶子式全为0，,则 r(B) = 2.,结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。,9,例如,一般地，,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”,非零行的行数。,10,如果,求 a .,解,或,例2 设,11,则,例3,12,2、用初等变换法求矩阵的秩,定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。,即,则,注：,只改变子行列式的符号。,是 A 中

4、对应子式的 k 倍。,是行列式运算的性质。,由于初等变换不改变矩阵的秩，,而任一,都等价,于行阶梯矩阵。,其秩等于它的非零行的行数，即为,所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。,13,阶梯形，,秩(A)=阶梯数。,例4,解,R(A) = 2,，,作法,求,14,例5,15,例6 求矩阵,解法一,的秩。,但是包含D3 的所有四阶子式,16,解法二,17,三、满秩矩阵,称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）,称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）,可见：,A 为 n 阶方阵时，,定义3,对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：,每对A施行一次初等行变换，,相当于用一个对应的初

5、等阵左乘A,由此得到下面的,定理,18,定理3,设A是满秩方阵，则存在初等方阵,使得,定理4,设A是满秩方阵的充要条件是A为非奇异矩阵。,19,例如,它的行最简形和标准形是 n 阶,单位阵 E .,对于满秩矩阵A，,A为满秩方阵。,20,若求A 的标准型矩阵,进行列变换,21,重要结论,R(A)=r，则A,为矩阵A的等价标准形矩阵。,(3) 存在 m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q ，使,1、 定理4,与矩阵,等价。称,2、 定理5,则以下三个,条件等价,（1） A与B等价；,P61 证明,矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,22,3、 矩阵的积的秩,(1)推论1,R(A)=r，则存在m阶,可逆矩阵P

6、，n阶可逆矩阵Q，使,(2) 定理6,n阶可逆矩阵，,P、Q 分别为m阶、,则R(A)=,R(PA)=R(AQ)=R(PAQ),(3) 定理7,R(AB),R(A),R(AB),minR(A)，R(B)。,即 对于给定矩阵左乘或右乘可逆矩阵其秩不变。,23,关于矩阵的秩的一些重要结论：,性质1,性质2 如果 A B = 0 则,性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。,性质4 设A 是n 阶方阵，n 2, 则,24,R（A+B）R（A）+R（B）, R（AB） minR（A），R（B）, 若 AmnBns=0，则 R（A）+R（B）n,证：,性质5,25,设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）n,证：, （A