函数奇偶性复习总结课-.ppt

1、函数的奇偶性复习课,知识回顾,1、奇函数定义,2、偶函数的定义,3、用定义判断函数奇偶性的一般步骤：,1、看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则得出结论：该函数无奇偶性。,2、若定义域关于原点对称，则计算f（-x）。 若f(-x)=-f（x），则函数是奇函数； 若f(-x)=f（x），则函数是偶函数。 若两者都不满足，则函数既不是奇函数也不是偶函数。,1.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则 称 f(x) 为偶函数.,一、函数的奇偶性,2.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则 称 f(x) 为奇函数.,

2、二、简单性质,研究半个区间！,1.奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称.,反之成立！,2.单调性:,3.奇函数: f(0)=0(0 在定义域中), 偶函数: f(x)=f(|x|).,3.若函数 f(x) 不具有上述性质, 则称 f(x) 不具有奇偶性; 若函数同时具有上述两条性质, 则 f(x) 既是奇函数, 又是偶函数.,例: 函数 f(x)=0(xD, D关于原点对称)是既奇又偶函数.,三、函数奇偶性的判定方法,1.根据定义判定:,首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称, 则函数是非奇非偶函数;,若对称, 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x

3、).,2.利用定理, 借助函数的图象判定:,3.性质法判定:,在公共定义域内,两奇函数之积(商)为偶函数;,两偶函数之积(商)也为偶函数;,一奇一偶函数之积(商)为奇函数.,(注意取商时分母不为零!),练习1. 说出下列函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,（1）f(x)=x4 _,（2） f(x)=x _,奇函数,（4）f(x)=x 2 _,偶函数,（3） f(x)=x5 _,说明：对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。,例1. 判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x,f(-x)=(-x)3+2(-x),(2),练习2. 判断下列函

4、数的奇偶性,(3) f(x)=5 (4) f(x)=0,解: f(x)的定义域为R f(-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数,解: 定义域为R f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0 f(x)为既奇又偶函数,说明:1常数函数f(x)=a (a0) , (定义域关于原点对称）, 均为偶函数。 2函数f(x)=0(定义域关于原点对称)为既奇又偶函数。,注意：要否定奇偶性只需否定任意性，即举出一个反例即可。,4、奇偶函数图象的性质:, 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数.,奇函数的图象(如y=x3 ),偶函数的图象(如y=x

5、2),o,a,P/(-a ,f(-a),p(a ,f(a),-a,奇偶函数的图像,2.奇偶函数图象的性质:, 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数., 偶函数的图象关于y轴对称.,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.,思考：奇偶函数图象的性质可用于？ .简化函数图象的画法。 .判断函数的奇偶性。,o,y,x,例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。,解：画法略,(1),(2),(3),(4),偶函数,非奇非偶函数,奇函数,非奇非偶函数,小结,o,o,o,o,x

6、,x,x,x,y,y,y,y,例4、判断下列函数的奇偶性,一、对函数奇偶性概念的理解,注：定义域关于原点对称是函数可能具备奇偶性的前提,D,C,二、对奇偶函数图像的理解,D,C,三、利用定义判断函数的奇偶性,对分段函数奇偶性的判断，要找准-x与x的对应关系,(3),f(-1)=0, f(-b)=-f(b), 奇函数,0,0,四、抽象函数判断奇偶性,例3、已知函数f(x)对一切实数x,y都有 f(x+y)= f(x)+ f(y) (1)求证:f(x)是奇函数; (2)若f(-3)=a,试用a表示f(12),对抽象函数的判断关键抓住条件特点，适当赋值，构造出f(-x)与f(x)的关系,【解题回顾】

7、抽象函数是高考考查函数的目标之一,几种常见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如,五、利用奇偶性求函数解析式,A,3、设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数,且 ，求函数f(x),g(x)的解析式,利用奇偶性构造方程,六、函数单调性与奇偶性的综合应用,B,2、若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在 上是减函数，且f(2)=0,则使得f(x)0的x的取值范围是,注意数形结合,1、2、4,4、已知定义在（-1，1）上的奇函数f(x)为增函数， 且 ，求 的取值范围。,小结：解决此类问题时，一定要充分利用已知的 条件，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数 的单调性相反，同时不能漏掉函数自身定义域对

8、 参数的影响。,练习：设函数f(x)在R上是偶函数，在区间 上递增，且 ,求 的取 值范围,体验高考： 已知偶函数f(x)在区间 单调增加， 则满足 的x的取值范围是？,【第1篇】读了法国著名作家罗曼罗兰的名人传后，我深有感触。名人传讲述的是意大利雕刻家米开朗琪罗、德国音乐家贝多芬、俄国作家列夫托尔斯泰的故事，他们面对种种磨难，不愿屈服，向命运挑战，最终成为了举世闻名的伟人。这三位伟人中，给我印象最深刻的是音乐天才贝多芬。热爱音乐的贝多芬经历了痛苦的童年，抱着对音乐火一般的热情艰苦奋斗。当他正沉浸在音乐为他带来的快乐中时，一个沉重的打击如晴天霹雳般降临在他头上贝多芬意识到自己的听觉上的障碍已无

9、法治愈了！然而这样的困难却没有让他向命运屈服，经历了无数磨难，贝多芬终于写出了许多不朽的作品，流传后世。这让我想到了5岁就瘫痪的张海迪。大半身瘫痪的她无法上学，只有在家里自学。15岁时，海迪跟随父母，到农村给孩子当起老师。后来她还自学多门外语。在残酷的命运挑战面前，张海迪没有沮丧和沉沦，以顽强的毅力和恒心与疾病做斗争，经受了严峻的考验，对人生充满了信心。1983年张海迪开始从事文学创作，写了诸多著名作品，为社会作出了巨大贡献。我永远无法忘记那位21岁就开始坐在轮椅上的伟大科学家霍金。他的贡献是他在长达20年被禁锢在轮椅上的情况,【答案】B,【答案】A,1(2011安徽卷理)设f(x)是定义在R

10、上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)() A3B1 C1D3 【答案】A 【解析】f(x)是奇函数，当x0时，f(x)2x2x， f(1)f(1)2(1)2(1)3. 故选择A.,【答案】D,3(2011广东卷理)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是() Af(x)|g(x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数 C|f(x)|g(x)是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数 【答案】A 【解析】由f(x)是偶函数，可得f(x)f(x)， 由g(x)是奇函数可得g(x)g(x)， 故|g(x)|为偶函数，f(x)|g(x)|为偶函数 故选择

11、A.,考点3函数的奇偶性与单调性 例3 如果奇函数f(x)在a，b上是减函数，求证：f(x)在b，a上也是减函数 【分析】判定区间b，a上的单调性，一定要在这个区间上取值，然后再利用单调性及奇偶性的定义进行判定 【证明】设bx1x2a， 则ax2x1b， f(x)在a，b上是减函数， f(x2)f(x1)，又f(x)是奇函数， f(x)f(x)，故f(x2)f(x1)， f(x2)f(x1)， 因此f(x)在b，a上也是减函数,【答案】A,2(2012漳州高三检测题)定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)，若f(x)在区间1,2上是减函数，则f(x)() A在区间2，1上是增函

12、数，在区间3,4上是增函数 B在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是减函数 C在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是增函数 D在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是减函数 【答案】B 【解析】 对x2，1，则x1,2 由f(x)是偶函数，可知f(x)f(x)，则随x增大，x减小，f(x)增大，故f(x)在2，1上为增函数 对x3,4，则2x2，1又f(x)f(2x)，则随x增大，2x减小，f(2x)也减小，故f(x)在3,4上为减函数故选择B.,3(2009高考山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有

13、四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4. 【答案】8 【解析】由f(x4)f(x)f(4x)f(x)，故函数图像关于直线x2对称，又函数f(x)在0,2上是增函数，且为奇函数，故f(0)0，故函数f(x)在(0,2上大于0，根据对称性知函数f(x)在2,4)上大于0，同理推知函数f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)m(m0)的两根关于直线x2对称，故此两根之和等于4，根据f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，函数f(x)以8为周期，故在区间(8,0)上方程f(x)m(m0)的两根关于直线x6对称，此两根之和等于12，综上四个根之和等于8.,七、函数奇偶