一复合变换与二阶矩阵的乘法.ppt

1、第 二 节 变换的复合与二阶矩阵的乘法 及逆变换与逆矩阵,1.二阶矩阵的乘法及其性质 (1)二阶矩阵的乘法,(2)二阶矩阵乘法的性质 设A,B,C是任意的三个二阶矩阵, 结合律(AB)C= _; 特别地：AkAl=_,(Ak)l=_; 矩阵的乘法不满足_; 矩阵的乘法不满足消去律.,Ak+l,Akl,交换律,A(BC),2.逆矩阵的定义、性质及其求法 (1)定义：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得 _,则称矩阵A可逆，并称B是A的逆矩阵. (2)性质： 性质1:设A是一个二阶矩阵,如果A是可逆的,则A的逆矩阵是 _. 性质2:设A,B是二阶矩阵,如果A,B都可逆,则AB也可逆,且 (

2、AB)-1=_.,BA=AB=E2,唯一的,B-1A-1,(3)求法: 二阶行列式：矩阵 表达式_称为二阶行列 式，记作 _， 也称为二阶矩阵A 的行列式，记为|A|或det A; 求法：二阶矩阵 可逆，当且仅当|A|=ad-bc0. 当矩阵 可逆时，A-1= .,ad-bc,ad-bc,3.逆矩阵与二元一次方程组 (1)定理:如果关于变量x,y的二元一次方程组(线性方程组) 的系数矩阵 可逆,那么该方程组有唯一 解 _ (2)推论:关于变量x,y的二元一次方程组 其中 a,b,c,d是不全为零的常数,有非零解的充分必要条件是系数矩 阵的行列式_.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”

3、). (1)设 则 ( ) (2)对于矩阵A,B,AB=BA.( ) (3)对于矩阵A,B,C,若AC=BC,则A=B. ( ) (4)每一个二阶矩阵都可逆.( ) (5)如果A,B都可逆，则AB也可逆.( ),【解析】(1)错误.由矩阵乘法的运算法则可知. (2)错误.矩阵的乘法运算不满足交换律. (3)错误.矩阵的乘法运算不满足消去律. (4)错误.当|A|=0时矩阵不可逆. (5)正确.由可逆矩阵的性质知正确. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),考向1 二阶矩阵的乘法及其应用 【典例1】在直角坐标系中，OAB的顶点坐标O(0,0)，A(2,0)， 求OAB在矩阵MN的作用下变

4、换所得到的图形的面积， 其中矩阵,【思路点拨】由矩阵M,N先计算出MN；再分别计算出点O，A，B在MN的作用下点的坐标，再结合图形求三角形的面积. 【规范解答】,可知O，A，B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为O(0,0),A(2,0),B(2,-1). 可知OAB的面积为1.,【互动探究】在本题中，试求在矩阵NM的作用下变换所得的图形的面积. 【解析】 可知O,A,B三点在矩阵NM的作用下变换所得的点分别为O(0,0),A(2,0),B(0,-1)，可知OAB的面积为1.,【拓展提升】 矩阵的乘法运算的关注点 (1)熟练掌握二阶矩阵的乘法运算法则,注意其用前矩阵的“行”元素,与后矩阵的“

5、列”元素相乘相加的特点. (2)二阶矩阵的乘法运算与二阶矩阵和平面向量的乘法在实质上是一致的.可以类比理解. (3)二阶矩阵的乘法常与矩阵的其他运算,如矩阵的相等、逆矩阵等相结合. (4)变换的复合等价于相应矩阵的乘法运算，采用矩阵的乘法运算可以简化变换的过程，起到化繁为简的作用.,【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)， B(2,0)，C(2,1)设k为非零实数，矩阵 点A，B，C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1，B1，C1，A1B1C1的面积是ABC的面积的2倍，求k的值,【解析】由题设得 可知A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2). 计算得ABC的面

6、积是1,A1B1C1的面积是|k|, 由题设知|k|=21=2,所以k的值为-2或2.,考向2 逆矩阵的求法 【典例2】(2012福建高考)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1 (1)求实数a，b的值. (2)求A2的逆矩阵. 【思路点拨】首先由变换前后的曲线方程、变换公式建立关于a,b的关系式，从而求出a,b，即得矩阵A，再计算A2及其逆矩阵.,【规范解答】(1)设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵A 对应变换下的像是P(x,y)， 又点P(x,y)在x2+y2=1上， 所以x2+y2=1，即a2x2+(bx+y)2=1, 整理

7、得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1. 依题意得 因为a0，所以,(2)由(1)知，,【拓展提升】 求逆矩阵的两个方法 (1)待定系数法：设出矩阵A-1，再利用AA-1=E2,列出方程组求 相应的元素. (2)公式法：先求出|A|，再代入公式A-1= 【提醒】逆矩阵求解公式的特点 将矩阵A的所有元素均除以|A|后，a11与a22互换，a12与a21变号.,【变式训练】已知在矩阵 的作用下将直线2x-y=3 变为其自身. (1)求矩阵A. (2)求矩阵A的逆矩阵. 【解析】(1)方法一：设P(x,y)为直线2x-y=3上任意一点,其在 矩阵A的作用下变为(x,y)，则 代入2x-y=3得：-

8、(b+2)x+(2a-3)y=3. 其与2x-y=3完全一样，,方法二：在直线2x-y=3上任取两点(2，1)和(3，3)， 即得点(a-2,2b+3), 将(a-2,2b+3)和(3a-3,3b+9)分别代入2x-y=3得,则矩阵 (2)因为 所以矩阵A的逆矩阵为,考向3 二阶矩阵的运算在图形变换中的综合应用 【典例3】在平面直角坐标系中，设圆C：(x-1)2+(y-2)2=1在 矩阵 对应的变换下得到曲线F所围成的面积 为4. (1)求k的值. (2)求矩阵A的逆矩阵. 【思路点拨】 (1)表示出曲线F的方程,根据所围成图形的面积 列关于k的方程求解. (2)利用矩阵A的行列式可求出A-1

9、.,【规范解答】(1)设P(x,y)是圆C上任意一点，点P(x,y)在矩阵A对应的变换下变为点P(x,y), 点P在圆C上，,曲线F的方程为(x-k)2+(y-2k)2=k2, 曲线F是以k为半径的圆，k2=4.又k0, k=2. (2)由(1)知,【拓展提升】矩阵的基本运算与解题常规思路的应用 (1)利用变换求矩阵，已知矩阵求其逆矩阵是矩阵中的基本运算. (2)此类题目往往涉及矩阵的乘法、逆矩阵的求法、图形的变换等知识，综合考查矩阵的运算及矩阵在图形变换中的应用，因此要熟悉相关的解题、运算思路，即常规思路，这些方法、思路的熟练运用是解决此类题目的保证.,【变式训练】(2012德化模拟)已知变换T1是绕原点逆时针旋转 的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是 (1)求点P(2,1)在变换T1作用下的点P的坐标. (2